киб_3_семестр_матан_лекции

Где Ak и Bk неопределенные коэффициенты, которые еще нужно найти.

Подставляем (11) и (10) в уравнение (4)

Равенство (12) уже является решение уравнения колебания струны, удовлетворяющее граничным условиям (2).

Поскольку (1)-линейное и однородное, то

(при условии, что ряд сходится равномерно, т.к. тогда его можно дважды дифференцировать при подстановке в (1) )

Вывод: решение уравнения (1) с граничными условиями (2) и начальными условиями (3) задается формулой (13), где коэффициенты Ak , Bk ищутся по формулам соответственно (15) и (17), как коэф.Фурье.

Замечание 1: если начальная скорость ϕ ( x) = 0 , то Bk = 0

Где под f(x) понимается продолжение начального условия f(x) нечетно на (-ℓ;0), а затем периодически повторяется на всю прямую и с физической точки зренияэто представляет собой полусумму двух разбегающихся волн. На этом результате (19) основан метод Даламбераэто метод бегущих волн.

Замечание2: ( о физическом смысле решения задачи методом Фурье) Из(13) следует (в более компактной форме), что

Т.е. струна длины l разбивается на k участков, колеблющихся по закону (12) 2) точки max Сk

πkx = π (2n + 1) l 2

Xnmax = 2n + 1 l ((n=0)….(k-1)) – точки пучности (середины отмечены

2k

выше участков) колеблются с наибольшей амплитудой Ck.

3) на соседних участках отклонения струны различны по знаку.

Определение 3: (стоячие волны)

Явление, для которого выполняются все три условия, называется

стоячими волнами.

Гармоническое колебание с ω1 получается при k=1)

U1 (x, t)

Основной тон определяется составляющими U1(x,t). Суммарное действие отдельных тонов дает тембр звука струны, т.е. суммарной гармоники, накладываясь друг на друга, определяют тембр струны.

k=1

k=2

k=3

k=4

Лекция 19.

Понятие гильбертова пространства. Ортогональные и

ортонормированные системы функций. Обобщенный

ряд Фурье по полной ортогональной системе

функций.

Рассмотрим примеры линейных бесконечномерных функциональных пространств.

L : 1) линейное пространство ( бесконечно мерное) функций L=С[a,b] непрерывных на [a,b];

2) L = [a,b] –линейное пространство функций, кусочнонепрерывных на [a,b];

Со скалярным произведением в следующем виде:

a

Заданием на дом:

Проверить, что для (1) выполняются все свойства скалярного произведения. Замечание 1. В правой части (1) стоит интеграл Римана для функций с интегрируемым квадратом, т.е. выполняется

Свойства нормы:

1) f > 0, f = 0 , тогда и только тогда, когда f=0.

2)λf = λ f , λ - вещественное число.

3) f + g < f + g (неравенство треугольника)

Определение5(ортогональной системы функций). Бесконечная система действительных функций {ϕn } из рассматриваемого пространства

квадратом, если не существует в этом пространстве ненулевого{ } элемента такого, который был бы ортогонален каждой функции " из системы. Пример1. Базис в конечномерном евклидовом пространстве является

полной системой. Здесь только 0-вектор ортогонален каждому вектору базиса Пример2. Тригонометрические системы 1),2),3) каждая в своём

пространстве, на своём отрезке.

Определение 8(сходимость по норме):

{fn}Є L сходится по норме к элементу f, если выполняется следующее условие:

сходиться к элементу f Є другому пространству, а не пространству L[a,b].

Пример 1:

Частичные суммы Sn(x) Є C[a,b] не всегда сходятся к непрерывной функции f Є C[a,b], иногда сходится к f Є [a,b], т.е. к кусочно-непрерывной функции. В результате мы можем получить предельные элементы, которые не принадлежат4 (исходному) 6 78; :;пространству.

Пример 2: 5 сходимость не к кусочно-непрерывным функциям, а к обобщенным функциям (дельта функция Дирака).

Пределом этой последовательности кусочнонепрерывных функции является обобщенная4 * функция

функция Дирака –

функции Хевисайда

2) функция Хевисайда:

0, x<0

Замечание4. Теория обобщенных функций была построена советским математиком С.Л. Соболевым и французским математиком Шварцем.

Определение10(полное линейное пространство).

Если любая последовательность {fn} сходится по норме к f из этого же пространства, то такое пространство является полным.