киб_3_семестр_матан_лекции
.pdfЗамечание5. В случае, когда элемент f не принадлежит этому пространству, тогда это пространство пополняют предельными элементами, тем самым расширяют это пространство.
Замечание6. Скалярное произведение в таких пространствах вводится в виде (1), только в правой части этого равенства стоит интеграл Лебега.
Определение11(гильбертова пространства)
Полное линейное пространство, с введенным в нем скалярным произведением, называется гильбертовым пространством и обозначается L2[a,b].
Элементы этого пространства - функции с интегрируемым квадратом.
Замечание7: примеры пространств L2[-l;l], L2[-π;π], где базисом является система тригонометрических функций являются гильбертовыми пространствами.
|
|
Обобщенный ряд Фурье. |
|
Пусть последовательность |
- ортогональные функции в некотором |
||
|
|
L[a;b]." |
|
линейном пространстве |
{ } |
|
|
{ "( )} ,,ϵ |
|
|
|
Пусть f(x) |
L[a;b] ; Представим f(x) в виде ряда по ортогональной системе |
||
т.е. |
|
(2) |
|
)( ) = [ |
\ ( ) |
|
|
"]^ |
как найти Ck? |
{ "} |
|
|
|||
") ¥ ϕ ×ϕ
=∑ Ck ( k n) , используя ортогональность и в предположении, что ряд
k = 0
(2)сходится равномерно на [a,b], чтобы можно было интегрировать, найдем CkСкалярно умножим левую и правую части равенства (2) на
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
( f ×ϕk ) |
|
∫ f (x) ×ϕk (x) × dx |
|||||||||
Ck= |
= |
a |
|
|
|
(3) |
||||||
|
|
b |
|
|
||||||||
|
|
ϕk |
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ϕk |
(x) × dx |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
a
Определение12: (обобщенный ряд Фурье)
Ряд (2) с коэффициентами, вычисленными по формуле (3), называется обобщенным рядом Фурье, Ck-называются коэффициентом ряда Фурье.
Замечание8: В гильбертовом пространстве L2[a,b] скалярное произведение
b |
|
(f,g)= ∫ f (x) × g(x) × dx |
(4) |
a
Замечание9: для обобщенного ряда Фурье , так же как и для тригонометрического ряда Фурье имеет место утверждение об экстремальном свойстве коэффициентов ряда Фурье.
В случае, когда система {ϕk } оказывается полной, неравенство Бесселя переходит в равенство Парсеваля и имеет место сходимость частичных сумм обобщенного ряда Фурье
n |
|
Sn= ∑ Сk ×ϕk |
|
k = 0 |
(5) |
к f в среднем, т.к. также как в случае тригонометрических рядов Фурье, частичные суммы обобщенного ряда Фурье дают наилучшее приближение к f(x) в системе сходимости в среднем.
, |
|
|
2. Неравенство Бесселя имеет вид: |
|
|
[ \ || || ? ) ( ) |
|
|
]^ |
, |
|
|
|
|
|
Парсеваля: |
|
3. Равенство |
|
|
) ( ) = [ \ || || |
|
|
|
]^ |
|
|
|
|
4. Можно показать, что условие полноты системы { |
} равносильно |
|
|
ряда |
Фурье в среднем к |
условию сходимости частичных сумм обобщенного ( ) |
|
|
f(x) , а это достигается, когда неравенство Бесселя переходит в равенство Парсеваля.
5. {Ck}-дискретный спектр сигнала f(x)
На дом: изучить стр. 82-96 и приложение 1 по книге, названной ранее.