toe

Это показательная форма записи. Здесь y – полная проводимость цепи, а ϕ - угол сдвига фаз между напряжением и током (знак минус появился здесь чисто формально в результате взятия обратной величины от Z ). Положение вектора Y на комплексной плоскости показано на рис.4.6,б. Переходя от показательной к алгебраической форме записи комплексной проводимости (табл.4.1), находим,

Таким образом, комплексная проводимость содержит в себе полную проводимость у, активную проводимость G, реактивную проводимость b и угол сдвига фаз ϕ между напряжением и током.

Заметим, что формулы (4.2) и (4.3) представляют собой закон Ома в комплексной форме записи для участка цепи с Z или Y .

Эти формулы имеют обобщенный характер и справедливы для комплексных сопротивлений и проводимостей, имеющих как активные, так и реактивные составляющие. Однако в теории цепей важно знать также комплексную форму записи чисто активных, чисто индуктивных и чисто емкостных сопротивлений, проводимостей и формулы закона Ома для цепей, содержащих такие сопротивления и проводимости. Все эти соотношения представлены в табл.4.2 и 4.3. При их составлении использованы формулы (4.2), (4.3), табл.3.1 и табл. 1.4.

где 12,1= z – полное сопротивление цепи, Ом; 9,4=R – активное сопротивление цепи, Ом; 7,6 = Х − реактивное сопротивление цепи, Ом; +39° = ϕ − угол сдвига фаз между напряжением и током цепи.

Заметим, что тот же результат можно получить, если поделить комплексное напряжение на комплексный ток, записанные в алгебраической форме:

= 160 + j130 = +

17

(9,4 j7,6) Ом.

Здесь, для разделения вещественной и мнимой частей комплексного сопротивления, числитель и знаменатель дроби умножили на комплексное число, сопряженное знаменателю, и получили в знаменателе вещественное число, позволившее произвести почленное деление числителя (табл.4.1, поз.7 и 8).

70

Т а б л и ц а 4.2

Активные, индуктивные, емкостные сопротивления и проводимости в комплексной форме записи

Пример 4.7. В условиях примера 4.4 определить активную, реактивную, полную проводимости цепи и угол сдвига фаз между напряжением и током цепи.

Решение. Находим комплексную проводимость цепи в соответствии с формулой (4.3)

= (0,064 − j 0,052) См,

где 0,064=G – активная проводимость цепи; 0,052 = b – реактивная проводимость цепи; 0,08= y – полная проводимость цепи; 39°= ϕ − угол сдвига фаз между напряжением и током (цепь имеет емкостной характер).

Заметим, что тот же результат получаем, разделив I& на U& в алгебраической форме записи

Т а б л и ц а 4.3

Комплексная форма записи закона Ома для цепей с активным, индуктивным, емкостным сопротивлениями

Из этой табл.4.3 вытекают следующие соответствия между мгновенными и комплексными значениями напряжений и токов:

где (÷) – принятый здесь знак соответствия.

4.4. Комплексная мощность

Комплексная мощность есть произведение комплексного напряжения на сопряженный комплексный ток цепи

S% =U& I* =U e jψu I e− jψi =UI e j(ψu −ψi ) = S e jϕ.

Это показательная форма записи комплексной мощности . Здесь S – полная мощность цепи; ϕ − угол сдвига фаз между напряжением и током; I*= Ie− jψi −

определяемый в соответствии с поз.3 табл.4.1. Так приходится формально поступать для того, чтобы в формуле комплексной мощности показатель степени

Знак над комплексной мощностью носит название «тильда» и ставится вместо точки потому, что мощность не является синусоидой.

72

алгебраической форме записи (табл.4.1), находим, что ее вещественная часть Scosϕ соответствует активной мощности цепи Р (табл.3.4, поз.6), а ее мнимая часть Ssinϕ − реактивной мощности цепи Q. Поэтому

Таким образом, комплексная мощность цепи содержит в себе полную мощность S, активную мощность Р, реактивную мощность Q и угол сдвига фаз ϕ между напряжением и током.

Пример 4.8. В условиях примера 4.4. определить активную, реактивную и полную мощности на зажимах двухполюсника.

Решение. Находим комплексную мощность цепи по формуле (4.4)

S% = 206e j39° = 206cos39o + j206sin 39o =160 + j130 ВА, где 160 = Р – активная мощность, Вт; 130 = Q – реактивная мощность, вар; 206 = S – полная мощность,

4.5. Законы Кирхгофа в комплексной форме записи

Законы Кирхгофа в комплексной форме записи являются фактически модификацией законов Кирхгофа в векторной форме записи (п.3.5 главы 3).

Первый закон Кирхгофа относится к узлам цепи: алгебраическая сумма комплексных токов в узле равна нулю:

k =1

где К − число ветвей подходящих к данному узлу цепи. При этом комплексные токи, направленные на схеме к узлу цепи, берутся в уравнении со знаком (+), а направленные от узла, – со знаком (−).

Второй закон Кирхгофа относится к контурам цепи: алгебраическая сумма комплексных ЭДС контура равна алгебраической сумме комплексных напряжений на всех комплексных сопротивлениях этого контура:

73

где Q – число источников ЭДС контура; N – число комплексных сопротивлений контура. При этом комплексные ЭДС и токи берутся в уравнении со знаком (+), если их направление на схеме совпадает с произвольно выбранным направлением обхода контура, и со знаком (−), если не совпадает.

4.6. Аналогия с цепями постоянного тока

Сравнивания формулы закона Ома (2.1) и законов Кирхгофа (2.3) и (2.4) для цепей постоянного тока с соответствующими формулами (4.2), (4.3), (4.5), (4.6) для цепей синусоидального тока в комплексной форме записи, легко убеждаемся в том, что они формально тождественны (аналогичны) друг другу, хотя физические процессы в сравниваемых цепях различны. Таким образом, если в

формулах для цепей постоянного тока заменить U, I, E, R и G на U&, I&, E&, Z и Y ,

то получаем формулы, записанные в символической форме. Это обстоятельство помогает быстро освоить данный метод расчета.

В табл.4.4 представлены расчетные формулы цепей синусоидального тока с последовательным, параллельным и смешанным соединением комплексных сопротивлений, которые тождественны соответствующим расчетным формулам цепей постоянного тока (табл.2.1). Естественно, что внутренняя «начинка» формул символического метода отличается от цепей постоянного тока. Здесь приходится действовать не с вещественными, а с комплексными числами, основные правила обращения с которыми (как уже упоминалось выше) представлены в табл.4.1.

4.7. Решение простейших примеров и задач на применение символического метода

Пример 4.9. Известны мгновенные значения напряжения и тока на зажимах двухполюсника (рис.4.7,а): u = 282 sin(ωt + 30o ) В, i =14,1sin(ωt + 70o ) А.

Требуется: а) записать напряжение и ток в комплексной форме; б) построить векторную диаграмму цепи на комплексной плоскости; в) определить комплексное сопротивление ; г) найти комплексную проводимость; д) рассчитать комплексную мощность.

Решение. а) Комплексное напряжение находим в соответствии с формулой

(4.1), заметив при этом, что амплитуда синусоидального напряжения, деленная на

2 , становится модулем комплексного напряжения, а начальная фаза – аргументом:

напряжения по оси вещественных чисел; 100 – координата комплексного напряжения по оси мнимых чисел.

74

Комплексный ток цепи определяется аналогичным образом: амплитуда

синусоидального тока, деленная на 2 становится модулем комплексного тока, а начальная фаза тока – его аргументом

I& = Ie jψi = 142,1 e+ j70o =10e j70o =10 cos 70o + j10 sin 70o = 3,4 + j9,4 А.

б) Векторная диаграмма цепи, построенная на комплексной плоскости, показана на рис.4.7,б.

в) Комплексное сопротивление двухполюсника находим в соответствии с формулой (4.2):

=(15,3 − j12,9) Ом.

Вэтой формуле 20 = z − полное сопротивление , Ом; 15,3 = R − активное

сопротивление, Ом; 12,9 = ХC – емкостное сопротивление, Ом; 40°= ϕ − угол сдвига фаз между напряжением и током (знак минус указывает здесь на емкостной характер цепи).

Найденные значения z, R, XC и ϕ соответствуют эквивалентной цепи с последовательным соединением активного и емкостного сопротивлений, вид которой представлен позицией 2 в табл.3.2.

г) Комплексную проводимость двухполюсника находим в соответствии с формулой (4.3)

В этой формуле 0,05 = y – полная проводимость, См ; 0,04 = G – активная проводимость, См; 0,03 = bC – емкостная проводимость, См; +40°= ϕ − угол сдвига фаз между напряжением и током (знак + указывает здесь на емкостной характер цепи).

Найденные значения y, G, bC и ϕ соответствуют эквивалентной цепи с параллельным соединением активной и емкостной проводимостей, вид которой представлен поз.2 в табл.3.3.

76

д) Комплексную мощность двухполюсника определяем в соответствии с

напряжением и током цепи. Заметим, что условие данного примера и результаты его расчета символическим методом тождественны условиям и результатам примера 3.17, рассчитанного с помощью векторной диаграммы.

Пример 4.10. Дана цепь с последовательным соединением активного

1

Z = Z R + Z L = 2 + j1 = 22 +12 e j ar c tg 2 = 2,24e j27,5o Ом (переход от алгебраической к показательной форме записи показан в табл.4.1). В этой формуле полное

где y = 0,05 – полная проводимость цепи, См; ϕ = 53° – угол сдвига фаз между напряжением и током (знак "плюс" показывает здесь, что цепь имеет емкостной характер).

Требуется определить показания амперметра и вольтметров электромагнитной системы. Задачу решить символическим методом и построить векторную диаграмму цепи на комплексной плоскости. Записать ток цепи и напряжения на активном и индуктивном сопротивлениях в виде синусоид.

77

Начальная фаза приложенного напряжения ψu не задана и поэтому ее величину приняли (произвольно) равной нулю, так как результат расчета цепи от величины начальной фазы напряжения не зависит. Действующее значение найденного тока I = 10 A соответствует показанию амперметра А.

3. Находим комплексное напряжение U&R на активном сопротивлении

U&R = I&Z R = I&R =10e− j53o 6 = 60e− j53o = 60 cos (−53o ) + j 60 sin (−53o ) =

=(36 − j48) B.

Вэтой формуле действующее значение напряжения на активном сопротивлении UR = 60 В соответствует показанию вольтметра VR.

4. Находим комплексное напряжение U&L на индуктивном сопротивлении

U&L = I&Z L = I& jX L = (10e− j53o j8) = (10e− j53o 8e j90o ) = 80e+ j37o = = 80 cos 37o + j80 sin 37o = (64 + j48) B.

В этой формуле действующее значение напряжения на индуктивном сопротивлении U L = 80 В соответствует показанию вольтметра VL.

5. Проверку расчетов производим, используя второй закон Кирхгофа в комплексной форме записи: U& =U&R +U&L = (36 − j48) + (64 + j48) =100 В.

Полученный результат совпадает с заданной величиной действующего значения напряжения, и поэтому можно считать, что задача решена верно.

6. Векторная диаграмма цепи, построенная на комплексной плоскости, показана на рис.4.8,б и графически поясняет аналитическое решение.

78

7. Записываем синусоиды тока и напряжений на R и ХL, используя результаты примера 4.9: i =10 2 sin(ωt − 53o ) А; uR = 60 2 sin(ωt − 53o ) В;

uL = 80 2 sin(ωt + 37o ) В.

Пример 4.13. Дана цепь с параллельным соединением активного и емкостного сопротивлений (рис.4.9,а), величины которых известны: R = 33,3 Ом; ХС = 25 Ом. Цепь подключена к источнику синусоидального напряжения с действующим значением U = 100 В. Требуется определить показания всех амперметров электромагнитной системы. Задачу решить символическим методом. Построить векторную диаграмму цепи на комплексной плоскости. Записать токи всех ветвей в виде синусоид.

Решение. Существует три варианта решения данного примера: а) через проводимости ветвей, б) через сопротивление ветвей, в) с помощью 1-го закона Кирхгофа.