Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Алматинский университет энергетики и связи

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

toe

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

01.05.2015

Размер:

7.19 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 2223 / 2523 24 25 > Следующая >>>

uϕ

uψ

t2 > t1

> t1

ϑϕ

ϑψ

Рис.9.2

Скорость распространения падающей волны напряжения

вдоль

линии

определяется скоростью перемещения

любой ее точки,

фаза колебаний

которой

остается постоянной,

т.е.

ωt + ξ − βx = const,

но

тогда

(ωt + ξ − βx)= 0 или ω − β

= 0 (ξ =const и не зависит от х). В этой формуле

− скорость изменения координаты x во времени при

заданных условиях.

фазовая скорость волны ϑФ. Таким образом,

Это и есть

ϑф =

ω.

(9.23)

На основании (9.22) имеем ω = 2πf = βϑф или β = 2πf

ϑф . Тогда

λ =

2π

ϑф

= ϑфT ,

(9.24)

т.е. за время одного периода

падающая волна перемещается на расстояние,

равное длине волны λ.

второе

слагаемое

Аналогичным образом

можно

исследовать

напряжения (предоставляем читателю возможность проделать это самостоятельно):

uψ =U ψe+αx	2 sin(ωt + η + βx).	(9.25)
При этом оказывается, что	вторая составляющая uψ	напряжения

представляет собой отраженную волну, движущуюся от конца линии к ее началу с той же скоростью, что и прямая волна (рис.9.2,б). Таким образом, мгновенное значение напряжения в каждой точке линии есть результат наложения двух бегущих волн – падающей (прямой) и отраженной (обратной).

219

Все сказанное выше относится и к уравнению (9.14) для тока в каждой

точке линии x от ее начала	1	[1			(U&1 + I&1 Z B ) e−γx ];
	1
I&ϕ =	Z B		2
	Z B		2		(9.26)
	−1 [1				(9.26)
I&ψ =	−1 [1			2	(U&1 − I&1 Z B ) e+γx ].
	Z B			2
	Z B

Заметим,	что отношение				напряжения				прямой		волны U&ϕ к току I&ϕ
прямой волны	в любой точке линии					равно		сопротивлению Z B , а отношение
напряжения обратной волны U&ψ					к току I&ψ обратной						волны в любой точке
линии равно − Z B :			U&ϕ			U&ψ
				= Z B ;					= −Z B .		(9.27)
			I&ϕ				I&ψ

Предоставляем читателю возможность убедиться в этом самостоятельно,
используя формулы (9.20) и (9.26).
Физически		в	линии			существуют				только результирующие
напряжение и ток,		а разложение их на прямую и обратную волны является

удобным приемом, облегчающим анализ процессов.

Заметим, что в цепях постоянного тока при ω = 0 понятие фазовой скорости теряет смысл, но α = RG и β=0.

9.7. Коэффициенты отражения волн

Наличие обратных волн есть результат отражения прямых волн от конца линии. Отношение напряжения отраженной волны к напряжению падающей волны в конце линии (при y=0) называют коэффициентом отражения по напряжению ( nu ), а отношение тока отраженной волны к току падающей

волны называют коэффициентом отражения по току (ni).

Используя формулы (9.14 а) и учитывая, что первое слагаемое в них представляет собой падающую волну, а второе - отраженную волну, получаем для коэффициентов nu и ni следующие соотношения:

U&ψ

U&2 − I&2 Z B

I&2 )

Z пр

− Z B

nu =

;

Z пр

+ Z B

U ϕ

U 2

+ I 2 Z B

I 2 )

ni =

I&ψ

= −

U&2 − I&2 Z B

= −

Z пр − Z B

= −nu .

(9.28)

Z пр + Z B

U 2

+ I 2 Z B

В этих формулах Z пр

=U&2 / I&2

– комплексное сопротивление приемника,

подключенного к концу линии. Заметим здесь, что при коротком замыкании линии (Zпр = 0 и U&2 = 0) коэффициент nu = −1, а при холостом ходе линии (Zпр = =∞ и I&2 = 0 ) коэффициент nu = 1; если сопротивление приемника Z пр = Z B , то

ni = nu = 0 и отраженные волны отсутствуют. При отсутствии обратной волны вся мощность, переносимая прямой волной к концу линии, поглощается

220

приемником. Поэтому в линиях связи (относительно маломощных) стремятся к согласованию сопротивления приемника с волновым (характеристическим) сопротивлением линии. При этом входное сопротивление линии равно волновому.

9.8. Неискажающая линия

Волновое сопротивление Z B , коэффициент затухания α , коэффициент

фазы β, а также скорость распространения волны ϑФ зависят от частоты. Это обстоятельство может вызвать искажение речи в телефонных линиях и искажение сигнала в телеграфных линиях, так как передача речи и сигналов осуществляется спектром токов разных частот. Однако, если в линии соблюдается соотношение R C = G L, то ϑФ и α не зависят от частоты, а β изменяется прямо пропорционально частоте, такая линия называется неискажающей. У нее форма сигнала в начале и в конце одинакова. Для неискажающей линии имеем

Z B = CL ; β = ω LC ; ϑф = LC1 ; α = RG. (9.29)

Кроме того, для устранения возможных искажений, вызванных наличием отраженных волн, сопротивление приемника должно быть равным характеристическому.

9.9. Линия без потерь
Если ωL >> R и ωC >> G, то				наличием R и	G можно пренебречь,	и
тогда α =0 и γ = α+ jβ = jβ.			На практике этим условиям соответствуют
относительно	короткие	высокочастотные			линии, применяемые	в
радиотехнике.			фазы β, фазовой скорости ϑФ и волнового
Выражения коэффициента			фазы β, фазовой скорости ϑФ и волнового
сопротивления	ZВ совпадают			с таковыми для	неискажающей линии.
Длина волны линии без потерь		2π		2π .
	λ =	2π	=	2π .	(9.30)
		β		ω LC

Заметим, что в соответствии с формулой (9.10) волновое сопротивление ZВ в линии без потерь (R = 0 и G = 0) является вещественным числом:

	Z B =	jωL	=	L = zB .
		jωC		C
Ввиду	того, что в линии без потерь α=0 и γ = jβ,				гиперболические
функции	преобразуются		в	тригонометрические	chjβ = cos β и
shjβ = j sin β.

Поэтому уравнения (9.15а) для комплексных токов и напряжений в любом месте линии на расстоянии y от ее конца принимают вид

Справочник по математике, п.3.4.4.3 [9].

221

U& =U&2 cos βy + jzB I 2 sin βy;

I& = I&2 cos βy + j(U&2 / zB ) sin βy.

(9.31)

Рассмотрим два важных режима работы линии без потерь – холостой ход и короткое замыкание.

Холостой ход линии без потерь (Z пр = ∞,								I&2 = 0).
Из формул (9.31) для такого режима получаем
U& =U&2 cos βy;			I& = j			U&2		sin βy.			(9.32)
							zB

Выразив здесь β через λ в соответствии с формулой (9.30),											находим
	2π		I& = j	U&	2				2π
U& =U&2 cos		y;					sin			y.	(9.33)

	λ			zB					λ

Из этих формул следует:

2π

а) в точках линии, где

y =

0 + kπ, sin

y = 0

и cos

= ±1.

Следовательно, в них I&

равно нулю, а U& соответствует максимальному

значению. В этих точках имеют место узлы тока и пучности напряжения;

2π

б) в точках линии, где

y = 0

+ kπ/ 2 , sin

y ±1 и cos

y = 0 .

В них U& равно нулю, а I& максимален. В этих точках имеют место узлы напряжения и пучности тока.

Таким образом, в конце линии без потерь (y=0) при холостом ходе находится узел тока и пучность напряжения. Далее с увеличением координаты у узлы и пучности чередуются через расстояние, равное четверти длины волны ( λ / 4 ). Так, при y = λ / 4 имеем узел U& и пучность I&; при y = λ / 2 имеем

пучность U& и узел I& и т.д. Это легко обнаружить, подставив указанные значения y в формулы (9.33).

Картина распределения пучностей и узлов для модулей тока и напряжения при холостом ходе линии без потерь показана на рис.9.3,а (модули комплексных напряжений и токов − величины всегда положительные).

а) холостой ход		I U	б)	короткое замыкание		I U
		U				U
		I				I
y			y
λ	λ/2	0	3/2λ	λ	λ/2	0
		Рис.9.3
			222

Короткое замыкание линии без потерь (Z пр = 0,U&2 = 0) .

Из формул (9.31) для такого режима работы получаем

2π

I& = I&2 cos βy = I&2

2π

= jI&2 zB sin βy = jI&2 zB sin

cos

(9.34)

Из этих формул следует:

2π

а) в точках линии, где

y =

0 + kπ,

sin

= 0

и cos

= ±1.

Следовательно, в них U&

равно нулю,

а I&

максимален.

В этих точках

имеют место узлы напряжения и пучности тока;

2π

б) в точках линии, где

y = 0

+ kπ/ 2 , sin

±1 и cos

y = 0 .

В них U& достигает максимума,

а I& равно нулю.

Следовательно,

в них

имеют место пучности напряжения и узлы тока.

Таким образом, в конце линии без потерь (y=0) при коротком замыкании находится узел напряжения и пучность тока. Далее с увеличением координаты у узлы и пучности чередуются через расстояние вдоль линии, равное четверти

длины волны ( λ / 4 ). Так, при y = λ / 4 имеем узел I& и пучность U& ; при y = λ / 2

имеем пучность I& и узел U& и т.д.

Картина распределения пучностей и узлов для модулей тока и напряжения при коротком замыкании линии без потерь показана на рис.9.3,б .

Заметим, что узлы тока и узлы напряжения свидетельствуют здесь об отсутствии передачи энергии от источника к приемнику; в линии имеют место стоячие волны. Эффект стоячих волн наблюдается также при нагрузке линии чисто реактивным сопротивлением. Во всех других случаях имеют место

бегущие волны.

9.10. Входное сопротивление линии

Входным сопротивлением Z BX линии называется отношение U& к I& в

любой ее точке на расстоянии y от ее конца:
Z BX =U& / I&,	(9.35)
где U& и I&соответствуют формулам (9.15 а).

Подробный анализ показывает, что модуль входного сопротивления с изменением координаты y колеблется между некоторыми максимумами и минимумами, которые чередуются вдоль координаты y через промежутки, равные λ / 4.

При холостом ходе	линии (Z пр = ∞, I&2 = 0) из уравнений (9.15 а)
получаем для напряжения и тока
U&XX =U&2 chγy;	I&XX = (U&2 / Z B )shγy.						(9.36)
Тогда входное сопротивление линии на расстоянии y							от ее конца
	U&			Z	B
Z BХ(XX )	=	XX	=			.	(9.37)
		&
		I ХХ		thγy
	223


При коротком	замыкании			линии ( Z пр = 0,U&2 = 0 )	из уравнений
(9.15а) получаем для тока и напряжения в любой точке линии
U&KЗ = I&2 Z B shγy;				I&KЗ = I&2 chγy.	(9.38)
Отсюда имеем входное сопротивление линии на расстоянии y от конца
	U&
Z BХ	(KЗ) =	KЗ	= Z B thγy.		(9.38 а)
		&
		I KЗ

В частности, chjβ = cos β, а shjβ =

Z BХ(XX ) = zBβ

jtg y

для линии

j sin β		для
=	zB
		2π
	jtg		y

		λ

без	потерь с учетом того,	что		γ = jβ и
Z ВХ	при ХХ и КЗ, получаем	2π

;	Z BХ(KЗ) = zB jtgβy = zB jtg		y.	(9.39)

		λ

Эти реактивные сопротивления через расстояние вдоль оси y, равное четверти длины волны, меняют свой характер (с емкости на индуктивность и наоборот), а по величине изменяются от 0 до ± ∞.

График изменения этих сопротивлений с изменением координаты y показан на рис.9.4. Предоставляем читателю возможность убедиться в этом

самостоятельно.
а) холостой ход			б) короткое замыкание
		zвх	zвх
			инд
	инд		инд

y				y
	λ	λ/2	0
	λ			5λ/4	3λ/4	λ/4	0
				5λ/4	3λ/4	λ/4	0
		емк			емк

Рис.9.4

9.11. Экспериментальное определение параметров линии

Зная данные опытов холостого хода (Z BХ(XX )) и короткого замыкания

(Z BХ(KЗ)), можно рассчитать характеристические		параметры линии Z B и γ.
В самом деле:
а) умножив Z BХ(XX ) на Z BХ(KЗ) в соответствии с (9.37) и (9.38), получим
Z BХ(XX ) Z BХ(KЗ) = Z 2B	или Z B =	Z BХ(XX ) Z BХ(KЗ);	(9.40)
б) поделив Z BХ(KЗ) на Z BХ(XX ), получим

Справочник по математике, п.3.4.4.3 [9].

224

Z BХ(KЗ)

= th 2 γl

или

thγl

Z BХ(KЗ)

(9.41)

ВХ( ХХ)

Z BХ(XX )

Формулы

(9.40)

(9.41)

позволяют

найти

характеристические

параметры линии.

9.12. Примеры расчетов длинных линий

Пример 9.1. Стальная двухпроводная

линия

связи имеет следующие

первичные параметры: R=38,4 Ом/км; L = 88,4 10−4 Гн/км;

C = 5,12 10−9 Ф/км.

G = 0,05 10−6 Cм/км. Частота сигнала f

800 Гц. Определить

вторичные

параметры

линии:

волновое (характеристическое) сопротивление

Z B

коэффициент распространения γ.

Решение. 1. Волновое сопротивление определяем по формуле (9.10)

Z B =

R +

jωL

38,4 + j2π 800 88,4 10−4

38,4 + j44,5

G +

jωC

0,05 10−6 + j2π 800 5,12 10

−9

10−6

(0,05 +

j25,7)

58,8e

+ j49,17o

−6 25,7e j89,87o

=1510e− j20,35 1 = (1415 − j525) Ом.

2. Коэффициент распространения определяем по формуле (9.5)

γ = (R + jωL)(G + jωC )= (α + jβ) =

58,8e j49,17o

10−6 25,7e j89,87o

= 38,9 10−3 e j69,52o

= (13,6 10−3 + j36,4 10−3 )

км -1.

Здесь α =13,6 10−3 Нп/км,

β = 36,4 10−3 рад/км.

Пример 9.2. Для некоторой

линии с частотой f

=1000 Гц известны

вторичные

параметры

Z B

= 500− j37o Ом

γ = 0,2e j45o км-1.

Определить

первичные параметры линии R,G,L,C.

Решение.

Из формул

(9.5)

(9.10)

следует,

что

γZ B = R + jωL

γ / Z B = G + jωC.

Следовательно:

а) R + jωL = 0,2e j45o

500e− j37o

=100e j8o = (99 + j13,9)

Ом;

б) G + jωС = 0,2e j45o

/ 500e− j37o

= 0,0557 10−3 + j0,396 10−3

См.

Таким образом, получаем

R = 99 Ом/км, L = ωL / 2πf =13,9 / 2π 1000 = 2,2 10−3 Гн/км, G = 0,0557 10−3 См/км, C = ωC / 2πf = 0,396 10−3 / 2π 1000 = 0,063 10−6 Ф/км.

225

Пример 9.3. Известны вторичные параметры линии связи:

Z B =1510e− j20,21o	Ом, γ = (α + jβ) = (13,6 10−3 + j36,4 10−3 ) км-1.
К линии длиной l=38	км	подключен приемник с сопротивлением

Z пр =1355e j21,1o Ом. Напряжение на входных зажимах линии U&1 =10 В при
частоте f = 800 Гц. Определить напряжение U&2 и			ток	I&2 в нагрузке;	ток
I&1 в начале линии;	входное сопротивление Z BХ		нагруженной линии;		КПД
линии.
Решение. 1. Напряжение в		конце линии найдем,		исходя из формул
(9.15а). Примем	в формуле	для напряжения		y = l и получим

U&1 =U&2 chγl + I&2 Z B shγl. Но I&2 =U&2 / Z пр ,					и тогда
	&						Z B
U&1 =U&2 chγl	+		U 2 Z B	shγl	=U&2 chγl +		Z B	shγl .
U&1 =U&2 chγl	+		Z пр	shγl	=U&2 chγl +		Z пр	shγl .
			Z пр				Z пр
Отсюда напряжение U&2	на конце линии:
U&2 =				U&1		.
U&2 =				Z B		.
		chγl +		Z B	shγl
		chγl +		Z пр	shγl
				Z пр
Здесь γl = l(α + jβ)= 0,517 + j1,384 .
Из курса математики известно, что
chγl = ch(αl + jβl)= chαlcos βl + jshαlsin βl;

shγl = sh(αl + jβl)= shαlcos βl + jchαlsin βl.

В свою очередь, chαl и shαl вычисляются по формулам

eαl + e

−αl

eαl

− e−αl

chαl =

;

shαl =

Произведя подробные вычисления, получаем, что

chγl = 0,56e j68o и

shγl =1,114e j85o .

При этом напряжение на конце линии

U&2 =

5,78e− j52,3

1510e

− j20,35

0,56e j68o

1,114e j85o

Ток в нагрузке

1355e j21,1

I&2 =

U&2

5,78e− j52,3o

= 4,27

−3

− j73,35o

Α.

Z пр

1355e j21,1

2. Для нахождения тока в начале линии используем формулы (9.15 а). Принимая в формуле для тока y = l, получаем

Справочник по математике, п.2.5.2.3.3 и 3.4.4.3 [9].

226

I&1 = I&2 chγl +

U&2

shγl = 4,27 10−3 e− j73,35o 0,56e j68o

Z B

5,78e− j52,3o

1,114e j85o = 5,78 10−3 e j32,8o A.

1510e− j20,21

3. Входное сопротивление линии

Z BХ =

U&1

=1731e

− j32,8o

Ом.

I&1

5,78 10−3 e j32,8

4. КПД любой электротехнической установки,

как

известно,

есть

отношение активной мощности P2 на ее выходе к активной мощности P1

на

входе:

η = Р2 / Р1.

Активная мощность

на выходе линии (на ее конце)

− j52,3o

4,27 10

−3

+ j73,35o

= 23,1 10

−3

Вт.

P2 = Re U&

2 I 2

= Re 5,78e

Активная мощность

на входе линии (в начале)

−3

− j32,8o

−3

Вт.

= Re U&1

1 = Re 10 5,78 10

= 48,6 10

Напомним,

что в этих формулах (гл.4)

комплексные токи,

I 1

и I 2

сопряженные известным токам I&1 и I&2 . Таким образом, КПД линии

η= P2 = 23,1 = 0,475. P1 48,6

Пример 9.4. Для линии, приведенной в примере 9.3, определить коэффициенты отражения по напряжению и по току.

Решение. Коэффициенты отражения определяем из (9.28). Для волны напряжения

nu =

Z пр

− Z B

1355e j21,1o

−1510e− j20,35o

(1264 +

j488) - (1417 - j522)

Z пр

+ Z B

1510e− j20,35

(1264 +

j488) + (1417 - j522)

1355e j21,1

(−206 + j1010)

1031e j101,5o

= 0,38e j102o .

(2681 − j34)

2681e

− j0,7o

Для волны тока

ni = −nu = −0,38e j102o .

Пример 9.5. Для линии с известным характеристическим сопротивлением Z B =1510e− j 20,21° найти мгновенные значения напряжений прямой и обратной волны на ее конце (y=0) , если известно, что U2=10 В и сопротивление Zпр = 1355e j21,1o .

227

Решение. 1. Определяем комплексный ток в конце линии, воспользовавшись формулой закона Ома:

I&2	=	U&	2	=	10		= 0,0074e	− j21,1o	А.
		Z пр				o
					1355е j21,1

2. Определяем комплексные действующие значения прямой и обратной

волны напряжения в конце линии (y = 0),

используя формулы (9.14 а):

U&ϕ =

(U&2 + I&2 Z B )e j0 ; U&

ψ =

(U&2 − I&2 Z B )e j0 .

10 + 0,0074e− j21,1o

1510e j20,21o

10 + (8,72 −

j7,85)

а) U ϕ =

= (9,36 − j3,93) =10,3e− j22,7 o

10 −

0,0074e− j21,1o

1510e j20,21o

10 − (8,72 −

j7,85)

б) U ψ =

=(0,64 + j3,93) = 3,98e j80,7 o B.

3.Определяем мгновенные значения напряжений прямой и обратной волны в конце линии

uϕ =10,3 2 sin(ωt − 22,7o ) В; uψ = 3,98 2 sin(ωt + 80,7o ) В.

4. Проверку расчетов осуществляем путем нахождения коэффициента отражения волны по напряжению, используя его определение данное в п.9.7:

	&	ψ			3,98e	j80,7o			o
nu =	U		=					= 0,38e j103,4		.
	U&	ϕ		10,3e− j22,7			o

Этот результат практически совпадает с величиной коэффициента отражения, полученного для тех же условий в примере 9.4 иным способом. Следовательно, все вышеприведенные расчеты выполнены верно.

Пример	9.6. Известны	первичные параметры	телефонной линии:
R =14 Ом/км;	L = 2 10−3 Гн/км;	G = 5 10−6 См/км;	C = 6,35 10−9 Ф/км.

Определить, является ли эта линия неискажающей и, если нет, как нужно изменить ее параметры, чтобы линия стала неискажающей.

Решение. Для неискажающей линии должно иметь место соотношение

RC = GL или R / L = G / C .

В нашем примере

= 7 10

3 ;

5 10−6

= 0,787 103.

2 10−3

6,35 10−9

Таким образом, линия является искажающей. Для того чтобы линия

стала неискажающей,

нужно

на каждый километр ее длины включить

такую дополнительную индуктивность

Lдоп, чтобы отношение

R/L

стало

равным 0,787 103 .

Отсюда

результирующая

индуктивность

Rрез

для

неискажающей линии

228

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 2223 / 2523 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.05.2015147.46 Кб30test СУПБ_отв.doc
#
01.05.201527.14 Кб11testy_otsos-ekz.doc
#
13.08.201953.23 Кб1Testy_po_telefonii.docx
#
01.05.201599.33 Кб364TEST_PO_SOTsIOLOGII_s_otvetami.doc
#
01.05.20152.23 Mб38TKS_ekzamen.doc
#
01.05.20157.19 Mб59toe.pdf
#
01.05.201534.3 Кб20topics.doc
#
10.03.20166.3 Mб2TPEMViAFU1.pdf
#
01.05.20153.33 Mб542Tyagovye_podstantsii.docx
#
01.05.2015784.5 Кб20TZ_Otdel_kadrov.docx
#
19.11.20193.96 Mб88Uch_posobie_EMS_2.doc