toe

При наличии в цепи источника тока его влияние учитываем в правой части уравнений (5.9) для тех узлов, к которым этот источник подключен. Ток источника, направленный к узлу входит в правую часть уравнения со знаком (+), а направленный от узла – со знаком (−). Если, например, к узлам цепи 1 и 2,

представленной на рис.5.4,а, подключен источник тока J&, то система уравнений (5.9) приобретает следующий вид:

U&10 Y11 +U&20 Y12+U& 30Y13 = J&11 −J&

правую часть второго уравнения со знаком (+) потому, что он направлен к узлу 2; третье уравнение осталось без изменений потому, что к узлу 3 источник тока

J& не подсоединен.

Пример 5.5. Для цепи, схема которой дана в примере 5.3 на рис.5.3,а и при тех же исходных данных определить комплексные токи во всех ее ветвях методом узловых напряжений.

Решение. Вариант расчета с предварительным преобразованием источника тока в эквивалентный источник ЭДС

1.Преобразуем источник тока в эквивалентный источник ЭДС по правилам, изложенным в главе 4: Ė1= J&0 /Y01=120 В; Z01=1/Y01=(1+j2) Ом. В результате получаем схему, представленную на рис.5.3,б.

2.В данной цепи всего два узла и, следовательно, одно узловое

напряжение U&10 , направленное на схеме от узла 1 цепи к узлу "0", принятому за

опорный . В соответствии с уравнением (5.9,а) имеем: U&10 Y11= J&11 . Здесь:

Y11=1/Z01+1/Z02+1/ZН =1/(1+j2)+ 1/(1+j2)+1/10 =0,5 − j0,8 =0,94е-j58º См;

J&11= Ė1/Z01+Ė2/Z02 = 120 (0,2 − j0,4) +115 (0,2 − j0,4) = (24 − j48) + (23 − j46)=

47−j94=105е -j63,4° А. Тогда узловое напряжение цепи U&10 = J&11/Y11= (47−j94) / (0,5 −j0,8)=105е-j63,4°/0,94е-j58º =111,7е-j5,4°= (110,9 −j10,56) В.

3. Токи в ветвях цепи определяются в соответствии с формулой (5.8):

İ1 = Y01 (Ė1 −U&10 )=(0,2−j0,4) (120−110,9+j10,56) = (6,04−j1,49) А, где Y01 =1 Z 01 ; İ2 = Y02 (Ė2 −U&10 )= (0,2−j0,4) (115−110,9+j10,56) = (5,4+ j0,47) А, где Y02 =1 Z 02 ;

İН = YН (U&10 ) = 0,1 (110,9 − j10,56 = (11,09 − j1,056) А, где YН =1 Z Н .

Заметим, что полученные значения токов совпадают с результатами решений примеров 5.2 и 5.3.

Вариант расчета без предварительного преобразования источника тока в эквивалентный источник ЭДС

Для цепи, изображенной на рис.5.3,а, составляем уравнение по образцу формулы (5.9) и получаем:U&10 Y11= J&11, где по-прежнему Y11=1/Y01+1/Y02+1/ZН , а J&11 = Ė2 / Z02+ J&1. Здесь J&1 – источник тока, подключенный к узлам "1" и "0".

110

Решая уравнение (5.9), находим узловое напряжение U& 10 , а затем и токи во всех ветвях цепи. Полученные результаты должны в точности совпадать с первым вариантом расчета. В самом деле, преобразовывая источник ЭДС в

5.5. Метод эквивалентного источника

Метод эквивалентного источника применяется для расчета тока в какойлибо одной выделенной ветви сложной цепи. В его основе лежит теорема об эквивалентном источнике, суть которой состоит в следующем: любая сколь угодно сложная электрическая цепь относительно выделенной ветви может быть представлена одним эквивалентным источником ЭДС или одним эквивалентным источником тока .

Рассмотрим здесь метод расчета, основанный на эквивалентном преобразовании сложной цепи в эквивалентный источник ЭДС. На рис.5.5,а представлена сложная цепь со многими источниками и многими сопротивлениями в виде активного двухполюсника. Требуется определить ток İ в выделенном из этой цепи сопротивлении Z.

Представим двухполюсник в виде эквивалентного источника ЭДС, с параметрами ĖГ и ZГ, (рис.5.5,б) и получим, что в соответствии со вторым законом Кирхгофа искомый ток цепи

Подробное доказательство этой теоремы имеется в [1], [2], [3], [4].

111

Неизвестные величины ĖГ и ZГ можно найти из опыта холостого хода (ХХ) и короткого замыкания (КЗ). При проведении опыта ХХ (рис.5.5,в) ветвь с

сопротивлением Z размыкается и на ее зажимах возникает напряжение U& ХХ , равное ЭДС эквивалентного генератора: U& ХХ = ĖГ . При проведении опыта КЗ

сопротивлению эквивалентного генератора: ZВХ =ZГ.

Пример 5.6. Для цепи, представленной в примере 5.2 схемой 5.2,б (эта схема повторена на рис.5.6,а) и при тех же исходных данных, определить ток в сопротивлении ZН методом эквивалентного источника ЭДС. Исходные

данные: Е&1 =120 В; Е&2 =115 В; Z 01 = Z 02 = (1 + j2) Ом; Z Н =10 Ом. Решение. 1. Выделяем из схемы ветвь с сопротивлением ZН, а всю

остальную часть цепи представляем в виде эквивалентного источника ЭДС

(рис.5.6,а).

Рис.5.6

2. Проводим опыт холостого хода. Для этого, разомкнув ветвь ZН,

находим напряжение U& ХХ на ее зажимах (рис.5.6,б). Исследуя образовавшуюся цепь, замечаем, что в левом ее контуре протекает ток İ, а в правом контуре – тока нет. Составляя уравнение по 2-му закону Кирхгофа для левого контура,

получаем Ė1−Ė2=İ (Z01+Z02). Откуда ток левого контура İ = (Ė1−Ė2) / 2Z01= = 5 / (2+j4) = (10−j20) / 20 = (0,5−j1) А. Составляя уравнение по 2-му закону

Кирхгофа для правого контура цепи, получаем Ė2 = U& ХХ − İZ02, откуда

напряжение холостого хода U& ХХ = Ė2+İZ02=115+(0,5+j1) (1+j2) = 115 + [0,5 − j0,1+j0,1+2]=115+2,5=117,5 В. Это напряжение равно ЭДС эквивалентного

генератора: U& ХХ =ĖГ =117,5 В.

3. Проводим опыт короткого замыкания. Для этого в схеме рис.5.6,б удаляем источники ЭДС Ė1 и Ė2 и заменяем их короткозамкнутыми перемычками. Тогда получаем схему, показанную на рис.5.6,в, из которой находим, что

112

Пример 5.8. Для схемы, представленной на рис.5.2,б и при тех же

Рис.5.7

напряжение U&12′ =Ė1−U&1′=Ė1−I1′Z01 =120 − (63,3+j54)= (56,6 − 5,4) В; ток İ2' =U&12′ / Z02 = (56,6 − j5,4) / (1 + j2) = (9,17 − j23,74) А;

ток İН ' = U&12′ / ZН = (56,6 − j5,4) / 10 = (5,7 − j0,54) А.

2. Оставляем в схеме только один источник Ė2 и рассчитываем токи во всех ее ветвях от действия только этого источника (рис.5.7,б).

Сопротивление всей цепи для источника Ė2:

ZЭ'' = Z02 + [(Z01·ZН ) / (Z01 + ZН )] = (2,2 + j3,6) Ом;

ток İ2'' =Ė2 / ZЭ'' = 115 / (2,2 + j3,6) = 14,21 − j23,26 А;

напряжение U&12′′ = Ė2 - İ2'' Z02 = 115 − [(14,2 − j23,26) (1+j2)]= (54,3 − j5,14) В;

ток İ1''=U&12′′ / Z01 = (54,3 − j5,14) / (1+j2) = (44 −j113,42) / 5 = (8,8 −j22,68) А;

ток İН'' = U&12′′ / ZН = (54,3 − j5,14) / 10 = (5,43 − j0,514) А.

3. Находим реальные токи во всех трех ветвях цепи при одновременном действии обоих источников энергии исследуемой цепи. Сопоставляя направления токов на рис.5.2 и применяя принцип наложения, получаем (в соответствии с первым законом Кирхгофа):

İ1 = İ1' − İ1''= (14,83 − j24,26) − (8,8 − j22,18) = (6,03 − j1,58) А; İ2 = İ2'' − İ2' = (14,21 − j23,26) − (9,17 − j23,74) = (5,04 + j0,48) А;

114

İН = İН' + İН'' = (5,7 − j0,54) + (5,43 − j0,514) = (11,13 − j1,05) А.

Заметим, что полученный результат практически совпадает с результатами расчета этой цепи всеми другими методами расчета, использованными в примерах 4.2, 5.2, 5.3, 5.5, 5.6 и 5.7.

Пример 5.9. Для цепи, показанной на рис.5.2,а, известны параметры источников и сопротивления всех ее ветвей: J&1 =24 − j48 А; Y01 = 0,2 − j0,4 См;

Ė2 =115В; Z02 =1+j2 Ом; ZН =10 Ом. Требуется определить токи во всех ветвях цепи, используя метод наложения.

Решение. 1. Рассчитываем токи в цепи от действия только источника ЭДС

данной цепи. При этом источник Ė2 следует удалить и заменить его короткозамкнутой перемычкой, оставив в цепи только его внутреннее сопротивление Z02 (рис.5.8,б).

3. Определяем реальные токи во всех ветвях цепи при действии обоих источников энергии одновременно. С учетом принятых направлений токов в цепях, изображенных на рис. 5.2,а, 5.8,а и 5.8,б, получаем (в соответствии с 1-м

законом Кирхгофа) İ1 = İ1'' − İ1'; İ2 = İ2' − İ2''; İН = İН' + İН''.

Все численные расчеты предлагаем проделать читателю самостоятельно. В качестве образца можно воспользоваться примером 11 из методического сборника [7] . Результаты расчета должны соответствовать примеру 5.8, так как схемы а) и б) на рис. 5.2 эквивалентны.

5.7. Баланс мощностей цепи синусоидального тока

Энергетический баланс любой цепи синусоидального тока заключается в том, что сумма комплексных мощностей источников энергии равна сумме комплексных мощностей приемников энергии:

115

где К – число источников энергии, а М – число приемников энергии цепи. В формуле (5.11) мощность каждого источника энергии

Таким образом, в любой цепи синусоидального тока сумма активных мощностей всех источников равна сумме активных мощностей приемников, а сумма реактивных мощностей всех источников равна сумме реактивных мощностей всех приемников.

Заметим, что баланс мощностей цепи синусоидального тока (как и баланс мощностей цепи постоянного тока, рассмотренной в 2.9) является, фактически, следствием закона сохранения энергии.

Пример 5.10. Для условий примера 5.2 составить баланс мощностей цепи, показанной на рис.5.2,б. Исходные данные для расчета: Е&1 =120 В ;

4. Находим комплексные мощности приемников энергии

116

6. Сопоставляя суммы активных мощностей источников и приемников, убеждаемся в том, что они практически (с учетом точности расчетов) совпадают. Сопоставляя суммы реактивных мощностей источников и приемников, убеждаемся в том, что они также практически совпадают. Таким образом, баланс мощностей рассматриваемой цепи сошелся и, следовательно, расчет цепи произведен верно.

5.8.Дополнительные задания к главе 5. Вопросы и примеры для самотестирования

1.Рассчитать цепь примера 2.6 (рис.2.10) методом контурных токов.

2.Рассчитать цепь примера 2.6 (рис.2.10) методом узловых напряжений.

3.Рассчитать цепь примера 2.6 (рис.2.10) методом эквивалентного источника ЭДС.

4.Рассчитать цепь примера 2.6 (рис.2.10) методом эквивалентного источника тока.

5.Рассчитать цепь примера 2.6 (рис.2.10) методом наложения.

6.Определить все токи цепи примера 4.14 (рис.4.10,а), составив для нее систему уравнений по первому и второму законам Кирхгофа.

7.Определить все токи цепи примера 4.14 (рис.4.10,а), применив метод контурных токов.

8.Определить все токи цепи примера 4.14 (рис.4.10,а) методом узловых напряжений.

9. В условиях примера 4.14 (рис.4.10,а) определить ток I&3 методом

эквивалентного источника ЭДС.

10. Рассчитать все тока примера 4.15 (рис.4.11,а) методом контурных токов.

11.Ответить на вопросы 4, 5 и 6 любого из шести вариантов раздела 3 сборника тестовых карт [6] .

12.Рассмотреть примеры с решениями 7, 8, 9, 10,а, 10,б из методического сборника [7].

117