toe

емкостное сопротивление цепи. Оно возникает как реакция электрического поля цепи на процесс изменения запаса энергии в нем и не сопровождается тепловыми явлениями. Величина, обратная емкостному сопротивлению, называется емкостной проводимостью

Это закон Ома для цепи синусоидального тока с емкостью.

б) Начальная фаза тока ψi = ψu + 90°, т.е. в цепи с емкостью ток опережает приложенное напряжение по фазе на 90°. При этом в соответствии с формулой (3.8) ϕ = ψu – ψi = – 90°.

Результаты исследования простейших цепей синусоидального тока представлены в табл.3.1. Там же показаны их векторные диаграммы, а на рис.3.7 даны осциллограммы токов и напряжений для цепей с R , L и С.

3.9. Зависимость активного, индуктивного и емкостного сопротивлений от частоты

Эти зависимости представлены в виде графика на рис.3.8.

Активное сопротивление R в при низких частотах практически не зависит от частоты и остается неизменной величиной, но индуктивное и емкостное сопротивления цепи синусоидального тока в принципе зависят от частоты приложенного напряжения.

пропорционально частоте : при ω →0 емкостное сопротивление XC →∞, что соответствует отсутствию тока в емкости в цепи постоянного тока

(п. 2.1 главы 2).

Т а б л и ц а 3.1

Частота ω = 0 имеет место в цепи постоянного тока.

40

Амплитудные и фазовые соотношения между током и напряжением в простейших электрических цепях

Рис.3.7

R, X

XL =ωL

R = const

XC =1/ωC

Рис.3.8

3.10. Цепь с последовательным соединением R, L, C

41

Известно приложенное к цепи синусоидальное напряжение u=Umsin(ωt+ψu) и параметры R,L,C цепи (рис.3.9,а). Требуется определить ток цепи i , т.е. его амплитуду Im и начальную фазу ψi.

В цепи с последовательным соединением R,L,C ток во всех ее элементах одинаков, а напряжения на элементах различные. К такой цепи применим 2-й закон Кирхгофа, который в векторной форме записи в соответствии с формулой

Рис.3.9

Решим поставленную задачу с помощью векторной диаграммы. Она показана на рис.3.9,б для случая, когда UL > UC. Диаграмму начинаем строить с вектора тока I, откладывая его на плоскости чертежа вертикально вверх (выбор произвольный).

В соответствии с табл.3.1 вектор UR совпадает с вектором I по фазе, вектор UL опережает вектор I по фазе на 90°, а вектор UC отстает от вектораI по фазе на 90°.

Применяя правило многоугольника для сложения векторов и откладывая векторы UR , UL и UC друг за другом, находим вектор U приложенного к цепи напряжения. Полученный результат показывает, что действующие значения напряжений этой цепи (длины векторов) соотносятся между собой как стороны прямоугольного треугольника. Этот треугольник напряжений показан на рис.3.9,в. Применяя к этому треугольнику теорему Пифагора, находим

Эта формула является законом Ома для цепи синусоидального тока с последовательным соединением активного и реактивных сопротивлений. Здесь

- полное сопротивление данной цепи.

Из формулы (3.22) следует, что активное R, реактивное X и полное z сопротивления рассматриваемой цепи также соотносятся между собой как

42

стороны прямоугольного треугольника. Этот треугольник сопротивлений показан на рис.3.9,г. Заметим, что треугольник сопротивлений подобен треугольнику напряжений: поделив все стороны треугольника напряжений на величину действующего значения тока I цепи, получаем треугольник сопротивлений.

Из векторной диаграммы видно, что ток и напряжение цепи не совпадают по фазе. Угол сдвига фаз ϕ определяется из треугольника напряжений или треугольника сопротивлений:

Этот угол по абсолютному значению меньше 90°. В нашем примере UL > UC , угол ϕ > 0 и цепь имеет индуктивный характер (рис.3.10,а). Если UL < UC , то ϕ < 0 и цепь имеет емкостной характер (рис.3.10,б). Если же UL = UC, то ϕ = 0 и цепь ведет себя как чисто активная (рис.3.10,в).

Рис.3.10

На этом поставленная задача определения тока цепи решена: а) действующее значение тока определяется в соответствии с формулой (3.21), где z – полное сопротивление цепи, состоящее из заданных в условии задачи величин; б) начальная фаза тока определяется в соответствии с формулой (3.8): ψi = ψu – ϕ, где ψu – начальная фаза напряжения, известная из условий задачи, а ϕ – угол сдвига фаз между напряжением и током, определяемый в соответствии с формулой (3.23).

Полученные результаты позволяют рассчитывать цепи, содержащие последовательно соединенные элементы в любой комбинации. В табл.3.2 представлены некоторые частные случаи исследуемой цепи. Приведены основные расчетные формулы и показаны векторные диаграммы.

3.11.Частотные характеристики цепи с последовательным соединением R, L, C. Резонанс напряжений

В электрических цепях частота источника остается неизменной (f = 50 Гц; ω=314 1/с). Однако в цепях автоматики, вычислительной техники,

Т а б л и ц а 3.2

Некоторые частные случаи цепи с последовательным соединением R, L, C

43

сопротивление z изменяется более сложным образом. При изменении частоты от 0 до ω0 оно имеет емкостной характер и с увеличением частоты изменяется от ∞ до R . При изменении частоты от ω0 до ∞ оно имеет индуктивный характер и изменяется от R до бесконечности. Ток цепи (при U=const) изменяется по формуле I =Uz и при частоте ω0 достигает своего максимума.

Режим работы цепи, при котором XL = XC (и, следовательно, UL = UC), называется резонансом напряжений; а частота ω0 этого режима называется

резонансной частотой.

Векторная диаграмма цепи при таком резонансе показана на рис.3.10,в. Здесь UL и UC равны между собой, а их векторы находятся в противофазе (угол сдвига фаз между ними 180°) и компенсируют друг друга. Все напряжение U приходится на активное сопротивление R, угол сдвига фаз между и напряжением и током цепи ϕ = 0. В этом режиме работы цепь ведет себя как чисто активная, несмотря на то, что в ее составе имеется индуктивность и емкость.

Из условия XL = XC вытекает, что при резонансе напряжений

Это есть резонансное уравнение, которое показывает соотношение между R,L,С и ω при резонансе. Если в частном случае L и C известны, то резонансная частота цепи с последовательным соединением R,L,C имеет вид

При резонансе напряжений ток достигает максимального значения, так как при этом сопротивление цепи минимально (zрез = R) и равно ее активному сопротивлению. Если при этом оказывается, что XL рез = XC рез > R , то напряжения на индуктивности и емкости (UL и UC) превышают приложенное к цепи напряжение, т.е. возникает перенапряжение на этих элементах цепи.

Явление резонанса напряжений широко используется в радиотехнике, в частности, потому, что, настроив цепь (контур, как говорят радисты) в

45

резонанс, получают наибольший возможный ток (сигнал). В энергетических же цепях резонанса напряжений избегают из-за возможных перенапряжений на реактивных элементах цепи и максимального тока.

3.12. Цепь с параллельным соединением R, L и C

Известно приложенное к цепи (рис.3.12,а) синусоидальное напряжение u = Um sin(ωt+ψu) и ее параметры R,L,C. Требуется определить ток

цепи i (Im и ψi).

В цепи с параллельным соединением R, L, C напряжение на всех ее элементах одинаково, а токи разные. Здесь действует 1-й закон Кирхгофа, который в соответствии с формулой (3.6) имеет вид I = IR + IL + IC . Для решения задачи построим векторную диаграмму цепи. Она показана на рис.3.12,б при условии, что IL > IC . Диаграмму начинаем строить с общего для всей цепи вектора напряжения U, откладывая его на плоскости вертикально вверх (произвольный выбор).