toe

сопротивлений треугольником, а также обратное преобразование; 3) преобразование источника ЭДС в источник тока и обратное преобразование.

1. Преобразование последовательной цепи в эквивалентную параллельную и обратное преобразование

При таком преобразовании на зажимах цепи должны остаться неизменными U& и I&. Отсюда следует, что у эквивалентных цепей Z и Y -

Таким образом, для нахождения проводимостей эквивалентной параллельной цепи следует по известному Z определить Y , а для нахождения сопротивлений эквивалентной последовательной цепи по известной Y найти

Z .

Пример 4.20. Дана цепь с последовательным соединением R и X (табл.3.2, поз.1). Определить проводимости G и b эквивалентной параллельной цепи (табл.3.3, поз.1).

Заметим, что знак (+) у мнимой части комплексного сопротивления и знак (-) у мнимой части комплексной проводимости указывает на индуктивный характер цепи, а противоположные знаки – на емкостной характер.

У рассмотренных эквивалентных цепей сопротивления R, X и проводимости G, b – не обратные величины. Взаимообратными являются только Z и Y , а также полное сопротивление z и полная проводимость y.В самом деле, пусть величины активного и реактивного сопротивления последовательной цепи составляют R = 3 Ом и Х = 4 Ом. Тогда величины проводимостей эквивалентной параллельной цепи оказываются равными G = 0,12 См и b = 0,16 См. Эти значения G и b, как видим, не являются

здесь взаимообратными величинами.

Пример 4.21. Дана цепь с параллельным соединением активного R и емкостного Х сопротивлений (табл.3.3, поз.2). Определить сопротивления R′ и X ′ эквивалентной последовательной цепи (табл.3.2, поз.2).

90

Решение. Из условий эквивалентности этих цепей следует, что комплексное сопротивление последовательной цепи есть обратная величина

реактивное сопротивления эквивалентной последовательной цепи.

Пусть, например, известны величины активного и реактивного сопротивлений исходной параллельной цепи: R = 33,3 Ом и Х = 25 Ом. Тогда

емкостного сопротивлений эквивалентной последовательной цепи окажутся равными:

Здесь также как и в предыдущем примере, эти сопротивления не взаимообратные с исходными сопротивлениями R и X . Взаимообратными являются только полное сопротивление z и полная проводимость y:

z = R2 + X 2 = 122 +162 = 20Ом; y = G 2 + b2 = 0,032 + 0,042 = 0,05 См.

Пример 4.22. В условиях примера 4.14 (рис.4.10,а) определить активное, реактивное и полное сопротивление всей цепи, используя формулы преобразований параллельного участка цепи в эквивалентный последовательный участок.

Решение. 1. Преобразуем участок аb (рис.4.10,а) с параллельным соединением R и C в эквивалентный участок с последовательным соединением этих элементов и находим его активное и реактивное сопротивления, используя формулы примера 4.21

91

Пример 4.23. В условиях примера 4.15 (рис.4.11,а) определить активную, реактивную и полную проводимости всей цепи, используя формулы преобразований последовательного участка цепи в эквивалентный параллельный участок.

Решение. 1. Преобразуем участок аb (рис.4.11,а) с последовательным соединением R и C в эквивалентный участок с параллельным соединением этих элементов и находим его активную и реактивную проводимости, используя формулы примера 4.20

Заметим, что полученные данные соответствуют результатам расчета проводимости y в примере 4.15 символическим методом.

2. Преобразование треугольника сопротивлений в эквивалентную звезду сопротивлений и обратное преобразование

В некоторых разветвленных цепях сопротивления ветвей соединены между собой таким образом, что цепь не может быть непосредственно преобразована ни к чисто последовательному, ни к чисто параллельному соединению. Такими являются соединения звездой (условное обозначение ) и треугольником (условное обозначение ∆), показанные на рис.4.14.

Между сопротивлениями звезды и сопротивлениями эквивалентного треугольника имеют место следующие соотношения .

А

С В

Z BC

Рис.4.14

Подробный вывод нижеприведенных формул, вытекающих из условий эквивалентности, имеется в [1-4].

92

эквивалентности этих соединений получаем для сопротивлений треугольника

мост, состоящий из комбинаций звезд и треугольников. Соединения

треугольники. Ток I& такой цепи легко рассчитать, если заменить одну из звезд цепи на эквивалентный треугольник или один из треугольников цепи на эквивалентную звезду. Один из вариантов решения следующий:

93

сопротивления эквивалентной звезды в соответствии с формулой (4.10 а) составят: Z A = Z B = Z C = Z ∆ 3 = 3 3 =1 Ом.

в). Находим сопротивление участка цепи относительно точек а и d

Предлагаем читателю найти ток I&, предварительно преобразовав звезду Z 1 , Z 3 , Z 5 в эквивалентный треугольник.

3. Преобразование источника ЭДС в эквивалентный источник тока

иобратное преобразование

Втеории цепей источники энергии изображают либо в виде источника ЭДС (последовательная цепь - рис.4.16,а), либо в виде источника тока (параллельная цепь - рис.4.16,б).

J&= const также не зависит от режима работы цепи.

Обе схемы источников равноценны и могут быть эквивалентно

94

В цепях, где поддерживается неизменность напряжения у потребителей, источники энергии изображаются на схемах, как правило, в виде источников ЭДС, а в цепях со стабилизированным током − в виде источников тока.

Заметим, что идеальный источник ЭДС ( Z 0 =0) и идеальный источник тока (Y 0 =0) эквивалентно преобразовать друг в друга невозможно.

Пример 4.25. Два источника ЭДС Е&1 и Е&2 включены параллельно и

Решение. Используем эквивалентные преобразования источников ЭДС в источники токов и обратные преобразования.

1. Преобразуем оба источника ЭДС в эквивалентные источники тока (рис.4.17,б), воспользовавшись соотношениями (4.12)

В результате получаем схему, представленную на рис.4.16,б.

3. Преобразуем результирующий источник тока J& в эквивалентный источник ЭДС, воспользовавшись соотношениями (4.12)

95

и получаем последовательную цепь (рис.4.16,а), ток которой определяется из уравнения, составленного по второму закона Кирхгофа

Модуль этого тока IН = 11,13 A соответствует показанию амперметра А. Комплексное напряжение на нагрузке

U&H = I&H Z H = (11,08 − j1,056) 10 =110,8 − j10,56 =111,3e− j5,5o В.

Его модуль U H =111,3 В соответствует показанию вольтметра V.

4. Для проверки решения найдем комплексные токи первого I&1 и второго I&2 источника и затем применим первый закон Кирхгофа к узлу (1) цепи.

Комплексный ток I&1 определяется на основании 2-го закона Кирхгофа, для контура [I], образованного ветвью первого источника и сопротивлением

Комплексный ток I&2 определяется по второму закону Кирхгофа, составленного для контура [II], образованного ветвью второго источника и

4.11. Дополнительные задания к главе 4. Вопросы и примеры для самотестирования

1. Известны напряжение и ток на зажимах некоторого двухполюсника

u = 282 sin (942 t − 20°) В; i = 14,1 sin (942 t − 50°). Записать ток и напряжение этого двухполюсника в виде комплексных действующих значений в показательной и алгебраической формах записи.

Ответы: U& = 200e− j20o = (188 − j68,4) В; I& =10e j50o = (6,43 − j7,7) А.

96

2. Известны комплексный ток и комплексное напряжение на зажимах

6.Рассчитать цепь примера 3.17 символическим методом.

7.Вывести выражение резонансной частоты для цепи, представленной в табл.4.5, поз.6, если параметры R, L и С всех ее элементов известны.

8.Вывести выражение резонансной частоты для цепи, представленной в табл.4.5 поз.7, если параметры R, L и С всех ее элементов известны.

9.Для последовательной цепи (табл.3.2, поз.1) известны активное и реактивное сопротивления ее элементов R = 3 Ом, Х = 4 Ом. Определить активную и реактивную проводимости эквивалентной параллельной цепи

(табл.3.3, поз.1).

12.Определить реактивное сопротивление цепи, представленной в табл.4.5 поз.4, используя формулы преобразования параллельного участка R,L в эквивалентный последовательный участок.

13.Определить реактивную проводимость цепи, представленной в табл.4.5 поз.5, используя формулы преобразования последовательного участка R,L в эквивалентный параллельный участок.

14.Ответить на вопросы 7,8,10 любого из шести вариантов раздела 2 сборника тестовых карт [6].

15.Ответить на вопросы 1,2,3 любого из шести вариантов раздела 3 сборника тестовых карт [6].

16.Рассмотреть примеры с решениями 2; 3,а; 3,б; 4,а; 4,б; из методического сборника [7].

97

Глава 5

Методы расчета сложных цепей синусоидального тока

5.1. Введение

Сложной называют электрическую цепь, имеющую разветвленную структуру и содержащую несколько источников энергии (2.7).

Существует целый ряд методов расчета таких цепей. Все они основаны на законах Кирхгофа. В данном учебном пособии рассматриваются следующие: а) метод расчета, основанный на непосредственном применении 1-го и 2-го законов Кирхгофа; б) метод контурных токов; в) метод узловых напряжений; г) метод эквивалентного источника; д) метод наложения .

5.2. Метод расчета, основанный на непосредственном применении 1-го и 2-го законов Кирхгофа

Для расчета цепи этим методом (2.7 гл.2) надо составить систему уравнений, общее число которых соответствует числу неизвестных токов (т.е. числу ветвей цепи).

Сначала составляют уравнения по первому закону Кирхгофа, (как более простые в написании). При этом число таких уравнений берется на единицу меньше общего числа узлов цепи (последнее уравнение есть следствие всех предыдущих и не вносит ничего нового). Оставшиеся уравнения (до полной системы) составляют по второму закону Кирхгофа для любых произвольно выбранных контуров цепи.

Предварительно следует задать (произвольно) направление комплексных токов во всех ветвях цепи и направление обходов выбранных контуров. Произвольность этого выбора не влияет на конечный результат расчета.

При составлении уравнений по 1-му закону Кирхгофа (в соответствии с 4.5 гл.4) все комплексные токи, направленные к узлу цепи берутся со знаком (+), а направленные от узла − со знаком (−).

При составлении уравнений по 2-му закону Кирхгофа (в соответствии с 4.5 гл.4) все комплексные ЭДС и токи, совпадающие по направлению с выбранным направлением обхода контура, берутся со знаком (+), а не совпадающие с ним − со знаком (−).

Пример 5.1. Для цепи, изображенной на рис.5.1,а, известны все Ė и все Z. Требуется определить комплексные токи всех ветвей, непосредственно используя первый и второй законы Кирхгофа.

Решение. В данной цепи шесть ветвей и, следовательно, шесть неизвестных токов. Поэтому для их определения необходимо составить систему из шести уравнений.

Экспериментальное исследование сложной цепи синусоидального тока осуществляется в лабораторной работе

N 3 [8].

98