toe

Заметим, что для перевода комплексного тока из алгебраической в показательную форму записи использован рис.4.4 и прилагаемая к нему формула для третьего квадранта комплексной плоскости.

Модуль тока в нейтральном проводе I N = 5,52 А соответствует искомому

показанию амперметра.

Пример 7.8. В условиях примера 7.7 определить показания электромагнитных амперметров А1, А2 и А3 и вольтметра, включенных в

150

Решение. 1. Применяем метод узловых напряжений (п.5.4), в

соответствии с которым промежуточной неизвестной величиной является узловое напряжение U&10 . Приняв нейтраль генератора за узел (1), а нейтраль приемника за опорный узел (0) и направив U&10 от узла 1 к узлу 0, в соответствии с формулой

(5.9а) получаем U&10 = J&11 Y 11 , где J11 = −(E&A Y A + E&B Y B + E&C Y C ) и

Y 11 = (Y А + Y B + Y C ) .

2. Находим численные значения указанных выше величин

Модуль этого напряжения U10 = 234 В определяет показание вольтметра V. 4. Определяем токи в линейных проводах, используя формулу (5.8):

I&A = Y A (E&A +U&10 )= 0,0182[220 + (289 − j46)]= (9,3 − j0,8)= 9,3e− j5o А; I&B =Y B (E&B +U&10 )= − j0,0227[(−110 − j190)+ (289 − j46)]=

= (− 5,4 − j4,1)= 6,7e− j217o А;

I&C =Y C (E&C +U&10 )= + j0,0273[(−110 + j190)+ (289 − j46)]= = (− 3,9 + j4,9)= 6,3e j129o А.

Заметим, что при нахождении начальных фаз искомых токов использовался рис.4.4 и приложенные к нему формулы. Проверку правильности получения линейных токов цепи легко осуществить с помощью формулы (7.3 а), что и предлагаем читателю проделать самостоятельно.

5. Показания амперметров, включенных в линейные провода цепи, соответствуют модулям линейных токов и составляют A1 − 9,3 А; A 2 − 6,7 А;

A 3 − 6,3 А.

151

Пример 7.9. В трехфазной симметричной цепи примера 7.1 произошел обрыв фазы А при отсутствии нулевого провода (на рис.7.2,а ключи К1, К2 и К3 разомкнуты). Требуется определить комплексные токи и напряжения всех трех фаз приемника и комплексное напряжение между нейтральными точками приемника и генератора. Построить векторную диаграмму токов и напряжений цепи на комплексной плоскости.

Решение. 1. Исходные данные для расчета: Еф =220 В; Zф = R = 22 Ом. Совмещая вектор ЭДС фазы А источника с осью вещественных чисел, получаем

симметричном режиме работы цепи (пример 7.1): U&AB = 380e j30o = (330 + j190) В;

U&BС = 380e− j90o = − j380 В; U&СA = (−330 + j190) В. Однако фазные напряжения

здесь изменяются, поскольку в цепи отсутствует нулевой провод, поддерживающий их равными фазными ЭДС генератора.

3. Определяем комплексное напряжение между нейтральными точками приемника и генератора, используя формулу (5.9 а) метода узловых напряжений и принимая нейтраль генератора (0) за опорный узел

4. Определяем комплексные токи в линейных проводах (они же фазные токи приемника), используя формулу (5.8) метода узловых напряжений. С учетом принятых в данном примере направлений токов и напряжений имеем

I&A =Y A (E&A −U N ) = 0 , так как Y A = 0 ;

I&B =Y B (E&B −U&N ) = 0,045[(−110 − j190) − (−110)]= = 0,0455(− j190) = − j8,64 = 8,64e− j90o А;

I&C =Y C (E&C −U&N ) = 0,045[(−110 + j190) − (−110)]= = 0,0455(+ j190) = + j8,64 =8,64e+ j90o А.

Из этих расчетов следует, что I&C и I&B это фактически один и тот же ток в контуре 0ВВ0′СС0 (фаза А разорвана), направление которого на рис.7.2 принято в соответствии с направлением U&BС , т.е. в направлении I&B . Поэтому ток I&C имеет

152

знак противоположный I&B . Действующее значение этого тока I В = IС =8,64 А.

Проверку правильности вычислений линейных токов предлагаем читателю осуществить самостоятельно, воспользовавшись формулой (7.3 а).

5. Определяем комплексные фазные напряжения U&B и U&C приемника,

воспользовавшись формулой закона Ома

U&B = I&B Z B = − j8,64 22 = − j190 В; U&С = I&С Z С = − j8,64 22 = + j190 В.

Отсюда следует, что U&C = −U&B и истинное направление напряжения U&C на

схеме рис.7.2,а противоположно принятому. Действующие значения этих напряжений равны между собой и каждое из них равно половине действующего

соединенных между собой последовательно и находящихся под воздействием

153

Рис.7.15

В первом варианте (рис.7.15,а) все векторы исходят из начала координат комплексной плоскости (точка 0). Во втором варианте (рис.7.15,б) векторы линейных напряжений перенесены параллельно самим себе так, чтобы они опирались на концы векторов фазных напряжений. Такое их расположение позволяет определять действующие значения токов и напряжений, используя только геометрию равностороннего треугольника.

Очевидно, что здесь нейтральная точка 0′ симметричного режима опустилась

U В =UC =U л / 2 = 380 / 2 =190 В ( на схеме цепи два одинаковых сопротивления R = 22 Ом соединены последовательно и находятся под воздействием линейного напряжения U&л = 380 В). Действующее значение напряжения U&А на разорванной фазе А определяет высота равностороннего треугольника, величина которой

U& А =U& AB cos 30o = 380 0,86 = 330 В.

Действующее значение напряжения на нейтральном проводе UN определяется на диаграмме рис.7.15,б расстоянием между точками 0′ при

симметричном и исследуемым режимами работы: UN = 220 cos 600 =110 В. Заметим, что при определении UA и UN можно использовать также известный из курса математики факт, что центр равностороннего треугольника делит его высоту в отношении 2 : 1. Действующие значения токов в фазах В и С

IB = IC = Uл / 2R = 380 / 44 = 8,64 А.

Пример 7.10. В трехфазной цепи примера 7.1 произошло короткое замыкание фазы А при отсутствии нейтрального провода (на рис.7.2,а ключ К1 замкнут, а ключ К3 разомкнут; ключ К2 может находиться в любом положении). Требуется определить комплексные токи и напряжения всех трех фаз приемника, а также напряжение между нейтральной точкой приемника и генератора; построить векторную диаграмму токов и напряжений на комплексной плоскости.

напряжения приемника претерпевают изменения.

3. Определяем комплексное напряжение U&N между нейтральными точками приемника и генератора. Формула (5.9,а) метода узловых напряжений здесь не годится, так как при коротком замыкании фазы А YА = ∞ и она приводит к

154

неопределенности вида ∞ / ∞. Поэтому комплексное напряжение U&N находим, рассмотрев контур 0АА′0′ и составив для него уравнение по второму закону Кирхгофа: Е&А =U&A +U&N . При коротком замыкании фазы А, U&A = 0 , и получаем, что U&N = E&A = 220 В.

4. Определяем комплексные токи в фазах В и С приемника, используя формулу (5.8) метода узловых напряжений:

I&B =Y B (E&B −U&N ) = 0,045[(−110 − j190) − 220]= (−15 − j8,6) = 17,3e− j150o А; I&С = Y С (E&С −U&N ) = 0,045[(+110 + j190) −220]= (−15 + j8,6) =17,3e+ j150o А.

7.Векторная диаграмма токов и напряжений при коротком замыкании фазы

Апоказана на рис.7.16 в двух вариантах.

Рис.7.16

В первом варианте (рис.7.16,а) все векторы расположены в начале координат комплексной плоскости (точка 0). Во втором варианте (рис.7.16,б) векторы линейных напряжений перенесены параллельно самим себе так, чтобы они расположились между концами соответствующих фазных векторов. Такое их расположение позволяет определять действующие значения всех фазных токов и напряжений цепи, не произведя ее полного расчета.

155

Заметим, что действующие значения всех трех фазных токов одинаковы:

I A′B = IBC = ICA′ = Iф =10 А.

4. Определяем комплексные токи в линейных проводах, используя (7.8):

I&A = I&A′B −I&CA′ = (8,7 + j5) − (−8,7 + j5) =17,3 А;

комплексных токов равна нулю, а их действующие значения одинаковы и в 3 раз больше действующих значений фазных токов, что соответствует формуле

(7.9).

5. Векторная диаграмма токов и напряжений приемника при симметричном режиме работы представлена на рис.7.17 в двух вариантах.

а) б)

Рис.7.17

В первом варианте (рис.7.17,а) все векторы исходят из точки "0" начала координат комплексной плоскости. Во втором варианте (рис.7.17,б) векторы

157

линейных токов перенесены параллельно самим себе так, что они располагаются между концами векторов фазных токов в соответствии с формулами (7.8) и

наглядно демонстрируют соотношение Iл / Iф = 3 . Из векторной диаграммы следует также, что при симметричном режиме работы достаточно рассчитать токи и напряжения только одной фазы, например фазы АВ, токи и напряжения двух других фаз будут равны по величине токам и напряжениям фазы АВ, но сдвинуты относительно них по фазе на ±120°.

б) Расчет цепи при обрыве фазы А′В.

На рис.7.8 ключ К1 разомкнут, а ключ К2 замкнут. При этом U&AA′ = 0 и

фазные напряжения приемника равны линейным напряжениям генератора.

1. При данном режиме работы на фазы приемника подается такая же система линейных напряжений генератора, что и при симметричном режиме:

I&C = I&CA′ −I&BC=[(−8,7 + j5) − (− j10)] = (−8,7 + j15) =17,3e+ j120o А.

При переходе от алгебраической к показательной форме записи этих токов используем рис.4.4 и прилагаемые к нему формулы.

158

Проверку этих расчетов производим с помощью формулы (7.7), согласно которой I&A + I&B + I&C = 0 . Предоставляем читателю возможность убедиться в

этом самостоятельно.

4. Векторная диаграмма трехфазного приемника при исследуемом режиме работы показана на рис.7.18 в двух вариантах. В первом варианте (рис.7.18,а) начала всех векторов находятся в точке "0" комплексной плоскости. Во втором варианте (рис.7.18,б) векторы фазных и линейных токов перенесены параллельно самим себе, так чтобы наглядно продемонстрировать соотношение между ними в соответствии с формулами (7.7) и (7.8). Заметим, что векторная диаграмма на рис.7.18,б позволяет находить действующие значения фазных и линейных токов, не применяя символического метода. Непосредственно из рис.7.8 и векторной диаграммы следует, что I A′B = 0 , I BC = ICA′ =10 А, I A = I B =10 А,

IC =10 3 =17,3 А.

в) Расчет цепи при обрыве линейного провода А .

На рис.7.8 ключ К1 замкнут, а ключ К2 разомкнут; напряжение на разрыве U&AA′ ≠ 0 , U&A′B отлично от U&AB и U&CA′ отлично от U&CA .

1. Линейные напряжения генератора U&AB , U&BC и U&CA при обрыве линейного провода А остаются такими же, как и при симметричном режиме

по сравнению с симметричным режимом. При обрыве линейного провода А эти сопротивления оказываются соединенными между собой последовательно.

3.Определяем фазные токи приемника. Ток в фазе ВС остается таким же как

ипри симметричном режиме:

4. Определяем токи в линейных проводах

I&A = I&A′B −I&CA′=[(+ j5 − (− j5)] = 0 А; I&B = I&BC −I&A′B=[(+ j10 − (+ j5)] = − j15А; I&C = I&CA′ −I&BC=[(+ j5 − (− j10)] = + j15 А.

159