toe
.pdf
8.12. Понятие об активном четырехполюснике |
|
|
|
|
|||||||||
Активным называется четырехполюсник, содержащий в своей структуре |
|||||||||||||
источники энергии (усилители, линии передачи с дополнительными |
|||||||||||||
источниками энергии, подключенными между ее входными и выходными |
|||||||||||||
зажимами). Эти внутренние источники энергии вызывают появление |
|||||||||||||
напряжения на разомкнутых зажимах такого четырехполюсника. Активный |
|||||||||||||
двухполюсник |
может |
быть |
|
эквивалентно |
заменен |
|
пассивным |
||||||
четырехполюсником и некоторыми эквивалентными ЭДС на его входных ( Е&01 ) |
|||||||||||||
и выходных ( Е&02 ) зажимах (рис.8.7). |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
Е&01 |
|
|
|
|
|
Е&02 |
|
|
|
Е&Г |
U&1 |
|
|
|
U&1′ |
|
А |
|
U&2′ |
|
|
U&2 |
Z 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
Рис.8.7 |
|
|
|
|
||
Воспользуемся Z -формой записи уравнений четырехполюсника (в |
|||||||||||||
соответствии с поз.4 |
табл.8.1) и получим для активного четырехполюсника |
||||||||||||
следующую систему уравнений: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
U&1 = Z 11I&1 + Z 12 I&2 + E&01 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
& |
|
& |
& |
2 + |
& |
. |
|
|
|
(8.36) |
|
|
|
U |
2 = Z 21I1 + Z 22 I |
E02 |
|
|
|
|
||||
Заметим, что активный четырехполюсник характеризуется пятью |
|||||||||||||
независимыми параметрами. Параметры Z11, Z12, Z21, Z22 его пассивной части |
|||||||||||||
соответствуют параметрам пассивного четырехполюсника и не зависят от |
|||||||||||||
внутренних |
источников энергии. Однако параметры Е&01 и Е&02 |
зависят как от |
|||||||||||
источников энергии внутри четырехполюсника, так и от внутренней его |
|||||||||||||
структуры. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8.13. Дополнительные задания к главе 8. Вопросы и примеры |
|||||||||||||
для самотестирования |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1. В условиях |
примера 8.1 |
найти |
Y-параметры |
четырехполюсника |
|||||||||
(поз.3 табл.8.1 ) путем непосредственного решения его уравнений в Z-форме |
|||||||||||||
записи относительно I&1 и |
I&2 , а также с помощью табл.8.2. |
|
|
|
|||||||||
2. По известным параметрам Т-образной схемы замещения |
|||||||||||||
четырехполюсника (ответы примера 8.5) определить параметры холостого хода |
|||||||||||||
и короткого замыкания ( Z 1X , Z1K , Z2 X , Z2K |
) . |
|
|
|
|
||||||||
Ответы: |
Z 1X |
= + j3000 Ом; |
Z1K = - j3250 Ом; |
Z2 X |
= + j4000 Ом; |
||||||||
Z 2K = -j4333 Ом. Полученные результаты соответствуют формуле (8.10). |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
210 |
|
|
|
|
|
|
|
3. По данным опытов холостого хода и короткого замыкания из задания 2 найти А-параметры четырехполюсника.
Ответы: полученные А-параметры должны соответствовать результату решения примера 8.5, т.е. А = 0,6; В =-j2600 Ом; С = -j2 10-4 См; D= 0,8.
4. |
Известны данные опытов холостого и короткого замыкания |
||||||
четырехполюсника: |
Z 1X = + j3000 Ом; Z1K = - j3250 Ом; |
Z2 X = + j4000 Ом; |
|||||
Z 2K = -j4333 Ом. Найти характеристические параметры |
Z 1C , Z 2C и g этого |
||||||
четырехполюсника. |
|
|
|
|
|
|
|
Ответы: воспользовавшись формулами (8.24), получаем Z 1C = 3122 Ом; |
|||||||
Z 2C = 4163 Ом; α=0; β = 0,8 рад; g = α+jβ = j0,8 рад. |
|
|
|
||||
5. |
|
|
|
|
|||
Определить |
характеристические параметры четырехполюсника по |
||||||
известным А-параметрам: А= 2 ; В = (2 + j10) Ом; C = 0,5 См; D =1 + j2,5 .
Ответы: Z 1C = 2,83 Ом; Z 2C = (1,5 + j5) Ом; g = 1,32+j0,8 .
6.Найти передаточное сопротивление Z пер и передаточную
проводимость Y пер четырехполюсника по известным А-параметрам: |
А= 0,6 ; |
В = − j2600 Ом; C = − j2 10 −4 См; D = 0,8 , если сопротивление |
нагрузки |
Z Н2 = R = 3000 Ом.
Ответы: воспользовавшись формулами примера 8.10, находим, что
Z пер = 3000e j37o = (2400 + j1805) Ом;
Y пер = 3,16 10−4 e j55,3o = (1,8 + j2,6) 10−4 См.
7. Найти коэффициент передачи по напряжению (Кu) и коэффициент передачи по току (Кi) для четырехполюсника с известными А-параметрами:
А= 0,6 ; |
В = − j2600 Ом; C = − j2 10 −4 См; D = 0,8 , если |
сопротивление |
|
нагрузки Z 2 = 3000 Ом. |
|
||
Ответы: |
воспользовавшись формулами примера 8.10, получаем |
||
Ku = 0,95e j55o ; |
Ki =1e+ j37o . |
|
|
8. |
Найти |
передаточные функции четырехполюсника, |
А-параметры |
которого известны из задания 7, при напряжении U&2 = 300 В и Z Н2 = 3000 Ом, непосредственно используя А-форму записи уравнений.
Ответы: предварительно рассчитаем |
ток |
и напряжение на входе |
|
четырехполюсника, а также ток на |
его выходе. |
Тогда Ku = 0,95e− j55,3o ; |
|
Ki =1e− j37o ; Z пер = 3000e j37o Ом; Y пер |
= 3,16 |
10−4 e j55,3o См. |
|
9.Ответить на все вопросы любого из шести вариантов тестовых карт разд.6 сборника тестовых карт [6].
10.Рассмотреть примеры с решениями 15 и 16 из методического сборника [7].
211
Глава 9
Цепи с распределенными параметрами
9.1. Общие положения
Параметры линий электропередачи, линий связи, волноводов и некоторых других электро- и радиотехнических устройств распределены на всем их протяжении и указываются на единицу длины (на 1 метр или 1 километр). Обозначим их R, L, G и C и назовем первичными параметрами. Линии, у которых параметры распределены равномерно по их длине, называются однородными. Именно такие линии рассматриваются в данной главе.
В качестве примера возьмем двухпроводную |
линию передач. Если к |
||||||
ней приложить некоторое |
напряжение |
u1, |
то, продвигаясь вдоль линии, |
||||
можно |
заметить, что |
напряжение между проводами и ток в проводах не |
|||||
остаются |
одинаковыми, а изменяются вдоль линии из-за |
токов утечки через |
|||||
изоляцию и токов смещения. |
|
|
|
|
|
||
Таким образом, напряжение и ток в линии есть функции двух |
|||||||
переменных - времени t |
и расстояния x от ее начала. |
|
|
||||
9.2. Дифференциальные уравнения линии |
|
|
|||||
Найдем зависимость тока i и напряжения |
u от |
времени t и расстояния |
|||||
х. Для этого рассмотрим |
бесконечно |
малый |
участок |
линии длиной dx, |
|||
расположенный на расстоянии x от начала линии (левые зажимы). Общую длину линии обозначим l.
Электрическая схема этого участка dx показана на рис.9.1. Вся линия может рассматриваться как цепная схема с бесконечно большим числом бесконечно малых звеньев. Каждое из звеньев состоит из следующих элементов: Rdx − активное сопротивление проводов участка; Ldx − индуктивность участка; Cdx − емкость между проводами участка; Gdx −
активная проводимость изоляции участка. |
(u); напряжение в конце участка |
|||||||
При этом: напряжение в начале участка |
||||||||
(u+du); ток в начале участка (i); ток в конце участка |
(i+di); ток в изоляции |
|||||||
i(x). |
|
|
|
|
|
|
|
|
В начале составим уравнение по |
2-му |
закону |
Кирхгофа для контура |
|||||
acdb, обойдя его по часовой стрелке: |
|
|
|
di |
|
|||
− u + iRdx + Ldx |
di |
+ (u + du) = 0, |
откуда |
− du = iRdx + Ldx |
|
|||
|
dt |
|||||||
|
|
dt |
|
|
|
|||
или |
|
|
−∂ u = iR + L |
∂ i . |
|
(9.1) |
||
|
|
|
∂ x |
∂ t |
производных поскольку u и i |
|||
Заметим, |
что (9.1) записано в частных |
|||||||
являются функциями двух независимых переменных: времени t и расстояния х .
212
начало |
|
|
|
Rdx |
|
Ldx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
конец |
|
|||
линии |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
линии |
|
|||||
i1 |
а i |
|
|
|
|
|
1 i+di |
c |
i2 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
iG |
|
i(x) |
iC |
|
|
|
|
|||||
u1 |
|
|
iRdx Ldx(dx/dt) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
u |
|
Gdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
Cdx |
u2 |
|
|
Z пр |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(u+du) |
2 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
b |
|
dx |
2 |
|
|
|
d |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
y = l-x |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l
Рис.9.1
Затем составим уравнение для токов, протекающих на участке dx. В соответствии с 1-м законом Кирхгофа для узла 1 имеем
i= i(x)+ (i + di) или i(x)= i −(i + di)= −di.
Всвою очередь, ток i(х) есть сумма токов, протекающих через активную
проводимость iG = Gdx(u+du) и через емкость iC= Cdx ddt (u + du) участка dx.
Поэтому
i(x)= Gdx(u + du)+ Cdx ddt (u + du)= Gdxu + Gdxdu + Cdx dudt + Cdx ddt (du).
В этом уравнении величинами Gdxdu и |
Cdх |
d |
(du) |
можно пренебречь |
|
dt |
|||||
|
|
|
|
||
как бесконечно малыми второго порядка |
малости. Тогда получаем, что |
||||
i(x)= −di = Gdxu + Cdx dudt , откуда − di = Gu + C dudt dx или
−∂∂ xi = G u +C ∂∂ ut .
(9.2)
Заметим, что (9.2) записано в частных производных поскольку u и i являются функциями двух независимых переменных: времени t и расстояния х .
Уравнения (9.1) и (9.2) представляют собой систему дифференциальных уравнений линии. В электротехнической литературе эти уравнения известны как телеграфные. Их решение дает значения тока и напряжения в любой точке линии при любом характере изменения тока и напряжения во времени на зажимах линии и при любых видах электромагнитных процессов в ней - установившихся и переходных.
213
9.3. Уравнения для установившегося синусоидального режима
Пусть ток |
и напряжение в начале линии определяются следующими |
|||||||||||||||||||
уравнениями: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i1 = I m1 sin(ωt + ψi1 ) . |
|
||||||
u1 =U m1 sin(ωt + ψu1 ) ; |
|
|||||||||||||||||||
Определим значения тока i и напряжения u на расстоянии x от начала |
||||||||||||||||||||
линии. При решении |
|
|
задачи |
воспользуемся символическим методом (гл. 4). |
||||||||||||||||
В соответствии с табл.4.3 имеем следующие соответствия: |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
di |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
du |
|
||
iR ÷ I&R ; |
L |
|
|
|
|
÷ jωLI& ; |
Gu ÷ GU& ; |
C |
|
÷ jωCU& . |
|
|||||||||
dt |
|
dt |
|
|||||||||||||||||
Тогда уравнения (9.1) и (9.2) приобретают в комплексной форме записи |
||||||||||||||||||||
следующий вид: |
|
dU& |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dI& |
|
|
|
|
|
||
|
− |
|
|
= (R + jωL)I&; |
− |
(G + jωC )U&. |
(9.3) |
|||||||||||||
|
dx |
|
|
dx |
||||||||||||||||
Заметим, что в этих |
|
уравнениях |
частные |
|
производные |
заменены |
||||||||||||||
на обыкновенные, |
так |
|
|
|
как комплексные числа |
U& и I& являются только |
||||||||||||||
функциями от x и не зависят от времени t. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Решая эту систему уравнений сначала относительно U& , |
а затем |
|||||||||||||||||||
относительно I&, после ряда простых преобразований получаем |
|
|||||||||||||||||||
|
|
d 2U& |
= (R |
+ jωL)(G |
+ jωC )U&, |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(9.4) |
||||||
|
|
|
|
|
d |
2 |
& |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
& |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
dx |
2 |
= (R |
+ jωL)(G + jωC )I. |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
через γ2 , |
|||||||
Обозначим для сокращения |
записи коэффициент при I& и U& |
|||||||||||||||||||
т.е. положим, что |
|
|
|
|
|
|
(R + jωL)(G + jωC)= α + jβ. |
|
|
|
||||||||||
|
γ = |
|
|
|
|
(9.5) |
||||||||||||||
Эта величина называется коэффициентом распространения. В общем случае это комплексное число, вещественная часть которого α называется
коэффициентом |
затухания, а |
мнимая часть |
β - |
коэффициентом |
фазы. |
|||||||||
Подробный |
анализ, |
выходящий |
за |
пределы данного учебного пособия, |
||||||||||
показывает, что эти коэффициенты |
всегда положительны, т.е. α >0 и β>0. |
|||||||||||||
Физический |
смысл |
коэффициента распространения |
будет |
выявлен |
при |
|||||||||
последующем изложении в пункте 9.5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
С учетом формулы (9.5) уравнения (9.4) приобретают следующий вид: |
||||||||||||||
|
2 & |
|
|
|
|
d |
2 |
& |
|
|
|
|
|
|
|
|
d U |
|
2 & |
|
|
|
I |
|
2 |
& |
|
|
|
|
|
dx2 |
− γ U = 0 ; |
|
|
dx 2 |
− γ |
|
I = 0. |
|
(9.6) |
|||
Это однородные дифференциальные уравнения второго |
порядка. Из |
|||||||||||||
курса высшей математики известно, |
что общий интеграл (решение) |
таких |
||||||||||||
уравнений представляет собой сумму экспонент вида A&e px . Для напряжения U& получаем
U& = A&1e p1x + А&2 e p2 x .
214
Здесь |
|
А& |
и |
|
А& |
|
|
|
|
- |
|
постоянные |
|
интегрирования; |
p1 и |
|
|
p2 |
- |
корни |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
характеристического |
|
|
уравнения, |
|
которое |
|
|
получают из исходного уравнения |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
& |
|
|
|
|
2 |
|
на |
p |
2 |
и заменой |
|
& |
|
на 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
заменой d U / dx |
|
|
|
|
U |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
Произведя указанную замену, получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p2 − γ2 = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(9.7) |
||||||||||||
Корни этого уравнения |
|
p |
|
= ± |
|
γ2 . Отсюда |
|
p |
= −γ |
и |
p |
2 |
= +γ . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||
Таким |
|
образом, |
|
|
|
|
|
|
решение |
|
|
|
|
уравнения |
|
|
(9.6) |
для |
комплексного |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
напряжения приобретает вид |
& |
|
|
−γx |
|
|
|
& |
|
|
|
+γx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
& |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(9.8) |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U |
= A e |
|
|
|
A e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
I& |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Комплексный |
|
ток |
|
в |
линии |
|
|
|
получаем, |
|
|
|
подставив |
(9.8) |
в |
первое |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
уравнение (9.3) : |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
dU |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
d |
|
[A&1e−γx + A&2 e+γx ]= |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
I& |
= − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
R + jωL |
|
dx |
R + jωL |
|
dx |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= − |
1 |
[− γA&1e−γх + γA&2 e+γx ]= |
γ |
(A&1e−γx − A&2 e+γx ). |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
R + jωL |
R + jωL |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Используя понятие о коэффициенте распространения (9.5), получаем |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I& = |
|
|
G + jωС (A& |
|
e−γx − A& |
|
e+γx ). |
|
|
|
|
|
(9.9) |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R + jωL |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Здесь |
коэффициент |
перед |
|
|
скобками |
|
представляет собой |
обратную |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
величину так называемого волнового сопротивления линии |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z B = |
|
|
|
R + jωL |
|
|
Ом. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(9.10) |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
G + jωС |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
С учетом (9.10) уравнение (9.9) приобретает вид |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I& = |
1 |
|
(A& |
e−γx |
− A& |
|
|
e+γx ). |
|
|
|
|
|
|
(9.11) |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z B |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А& |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А& |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Постоянные |
интегрирования |
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
, |
|
входящие |
в |
(9.8) |
и |
(9.11), |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
определяются из граничных условий. В начале линии (при x=0) имеем |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
U& |
1 |
|
= A& |
e |
−γ0 + A& |
|
e |
+γ0 = A& |
|
+ A& |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
(A&1e −γ0 |
|
|
A&2 e+γ0 ) |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
(A&1 − A&2 ). |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
I&1 |
= |
|
|
|
|
|
|
|
− |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(9.12) |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z B |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Решая систему из двух уравнений (9.12) относительно A1 и A2, получаем |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
A& |
= |
1 |
(U& |
1 |
+ |
I& |
|
Z |
B |
); |
|
|
|
A& |
|
= |
1 |
(U& |
1 |
− I& |
|
Z |
B |
). |
|
|
|
|
|
|
|
(9.13) |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Подставляя |
А& |
|
|
|
и |
А& |
|
из |
уравнения |
(9.13) |
|
в |
уравнения |
(9.8) |
и |
(9.11), |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
любом месте x от начала |
|||||||||
окончательно получаем для тока и напряжения |
|
|
|
в |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
линии |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
215 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
U& |
= |
|
1 |
|
(U&1 + I&1 Z B )e−γх + |
1 |
(U&1 − I&1 Z B )e+γх; |
|
|||||||
2 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
(9.14) |
|||
|
|
1 |
|
|
1 |
(U& |
1 + I&1 Z B )e−γx − |
1 |
(U&1 − I&1 Z B )e+γx . |
||||||
I& |
= |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
Z B 2 |
2 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
||||||||||||
Если известны |
ток и напряжение не в начале линии, |
а в ее конце |
|||||||||||||
(U&2 , I&2 ), то удобно рассчитывать расстояние |
до любой точки |
линии от ее |
|||||||||||||
конца. При этом уравнения для тока и напряжения в любой точке линии на любом расстоянии y от ее конца (после ряда простых преобразований) приобретают следующий вид :
U& |
= |
|
1 |
|
(U&2 |
+ I&2 Z B )eγy + |
1 |
(U&2 − I&2 Z B )e−γy ; |
|
||||
2 |
|
2 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(9.14 а) |
|||
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|||
I& |
= |
|
|
(U&2 + I&2 Z B )eγy − |
(U&2 − I&2 Z B )e−γy . |
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
Z B 2 |
|
|
2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|||||||||
В ряде случаев уравнения длинной линии удобно выражать через гиперболические функции. Из курса математики известно , что
eγx + e−γx |
= chγx и |
eγx − e−γx |
= shγx. |
|
2 |
2 |
|||
|
|
Используя эти соотношения, получаем выражения для тока и напряжения в любом месте x линии через гиперболические синус и косинус. Для этого в формулах (9.14) раскрываем скобки и группируем члены,
содержащие только U& и только I&. Тогда при счете расстояний от начала линии получаем
U& =U1chγx − I&1 Z B shγx; |
I& = I&1chγx − |
U&1 |
shγx. |
(9.15) |
||
|
|
|||||
|
|
Z B |
|
|||
Поступая аналогичным образом с формулами (9.14а) при счете |
||||||
расстояний от конца линии находим, что |
|
|
|
|
|
|
U& =U&2 chγy + I&2 Z B shγy; |
I& = I&2 chγy + |
U&2 |
shγy. |
(9.15 а) |
||
|
||||||
|
|
|
Z B |
|
||
9.4. Линия как симметричный четырехполюсник |
|
|||||
Если в (9.15 а) положить y= l, то |
получим |
уравнения, выражающие |
||||
ток и напряжение линии в начале через ток и напряжение в ее конце: |
|
|||||
Подробное преобразование имеется в [1−3], [5] .Справочник по математике, п.2.5.2.3.1 [9].
216
& |
& |
|
& |
& |
shγl |
& |
|
U1 |
=U 2 chγl + I 2 |
Z B shγl; |
I1 |
=U 2 |
Z B |
+ I 2 chγl. |
(9.16) |
|
|
|
|
|
|
|
Это уравнения симметричного четырехполюсника в А-параметрах (поз.2 табл.8.4), где
A = D = chγl; |
B = Z B shγl; |
C = |
shγl |
. |
(9.17) |
|
|
||||||
|
|
|
|
Z B |
|
|
При этом AD − BC =1, поскольку ch 2 γl − sh 2 γl ≡1. |
|
|||||
9.5. Характеристические параметры линии |
|
|||||
Волновое сопротивление |
Z B выражается через первичные параметры |
|||||
линии формулой (9.10), |
а |
коэффициент |
распространения |
γ= (α + jβ) − |
||
формулой (9.5). Они однозначно определяются через R, G, L, C и поэтому также являются параметрами линии. Их называют вторичными или
характеристическими параметрами. Подробный анализ |
показывает, |
что |
|||||||||
коэффициент |
затухания (α) |
и коэффициент фазы (β) |
выражаются |
через |
|||||||
первичные |
параметры |
линии R, |
G, L, C |
и частоту приложенного |
|||||||
напряжения ω следующими соотношениями : |
|
|
|
||||||||
β = |
1 |
|
[(ω2 LC − RG)+ |
(R 2 + ω2 L2 )(G 2 + ω2C 2 )], |
|
(9.18) |
|||||
2 |
|
||||||||||
α = |
1 |
[(RG − ω2 LC)+ (R 2 + ω2 L2 )(G 2 + ω2C 2 )]. |
|
|
|||||||
2 |
|
|
|||||||||
При высоких частотах (1 МГц и выше) формулы (9.18) упрощаются, так |
|||||||||||
как при этом R << ωL и G<< ωC. Тогда можно приближенно считать, что |
|||||||||||
|
|
|
|
α R |
L |
+ G |
L ; |
β = ω |
LC. |
(9.19) |
|
|
|
|
|
2 |
C |
2 |
C |
|
|
|
|
9.6. Бегущие волны. Длина волны. Коэффициенты затухания и фазы. Фазовая скорость
Рассмотрим уравнение (9.14) для напряжения в любой точке линии.
Каждое из них состоит из двух слагаемых. |
Обозначим для краткости |
||||||||
U&ϕ = |
1 |
(U&1 + I&1 Z B ) e−γx ; |
U&ψ = |
1 |
|
(U&1 − I&1 Z B ) eγx . |
(9.20) |
||
2 |
2 |
|
|||||||
Они представляют собой бегущие |
волны |
напряжения, |
причем первое |
||||||
слагаемое U&ϕ |
|
является |
прямой (падающей) волной, а второе слагаемое U&ψ |
||||||
является обратной (отраженной) волной. |
|
|
|
||||||
Рассмотрим вначале первое слагаемое. |
Выражение, |
стоящее здесь в |
|||||||
скобках, представляет |
собой |
некоторое |
комплексное напряжение, |
||||||
которое в показательной форме записи имеет вид
Их вывод имеется в [1].
217
|
|
|
U&ϕ = |
1 |
(U&1 + I&1 Z B )=U ϕe jξe−γx |
, |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
где Uϕ - модуль (действующее |
2 |
значение) |
этого напряжения; |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||
ξ - аргумент (начальная фаза) этого напряжения. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Учитывая, что γ = α + jβ, |
имеем U&ϕ =U ϕe jξe−αx e−βx =U ϕe−αx e j(ξ−βx). |
||||||||||||||||||
Переходя от комплексного числа к |
синусоидальной |
функции времени |
|||||||||||||||||
(по известным из предыдущих |
глав |
правилам), |
получаем |
для любой |
|||||||||||||||
точки линии на расстоянии x от ее начала |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
uϕ =U ϕe−αx |
2 sin(ωt + ξ − βx). |
|
|
|
|
|
|
(9.21) |
|||||||||
Это напряжение есть не только функция времени |
t, |
но и функция |
|||||||||||||||||
расстояния x от начала линии. |
|
|
|
|
x = const |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
При фиксированном значении |
(т.е. |
в каждой |
точке линии) |
||||||||||||||||
напряжение |
есть |
синусоидальная |
функция |
|
времени |
с |
постоянной |
||||||||||||
амплитудой и начальной фазой (ξ − βx). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
При фиксированном значении |
t = const (т.е. |
в |
любой |
момент времени) |
|||||||||||||||
напряжение |
вдоль линии изменяется по синусоидальному закону. Начальная |
||||||||||||||||||
фаза этой синусоиды - (ωt+ξ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Коэффициент β в формуле |
(9.21) |
характеризует |
скорость изменения |
||||||||||||||||
фазы напряжения |
вдоль |
линии на единицу ее длины и поэтому называется |
|||||||||||||||||
коэффициентом фазы. |
Множитель (e−αx )показывает, что по мере увеличения |
||||||||||||||||||
x (по мере удаления от начала линии) амплитуда синусоиды |
уменьшается |
||||||||||||||||||
(затухает), так как коэффициент |
|
|
α |
всегда |
положителен. |
Скорость |
|||||||||||||
уменьшения амплитуды |
зависит |
от |
величины этого |
коэффициента α, и |
|||||||||||||||
поэтому он называется коэффициентом затухания. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Расстояние между |
двумя |
|
|
точками |
линии, |
на |
котором |
фаза |
|||||||||||
напряжения изменяется |
на |
2π, |
называется |
длиной |
волны λ. Следовательно, |
||||||||||||||
2π =βλ или |
|
|
|
|
|
|
2π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ = |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
(9.22) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
β |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Расчеты показывают, |
что, |
например, |
при частоте f=50 Гц λ =6000 км; |
||||||||||||||||
при f = 800 Гц λ =375 км; |
при f = 3 109 Гц λ =10 см.. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Линии, физическая длина которых |
соизмерима |
с |
длиной |
волны |
|||||||||||||||
называются длинными линиями. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
напряжения uϕ вдоль |
||||||||
На рис.9.2,a |
представлен |
|
|
график |
|
изменения |
|||||||||||||
линии во времени, которое можно наглядно представить в виде бегущей волны. С течением времени t волна uϕ перемещается от начала линии к ее концу и
поэтому называется прямой или падающей волной.
а) прямая (падающая) волна б) обратная (отражённая) волна
218