Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Алматинский университет энергетики и связи

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

toe

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

01.05.2015

Размер:

7.19 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 / 2521 22 23 24 25 > Следующая >>>

Z пер =	U&2		Y пер =	I&2
		;			.	(8.35)
	&			&
	I1			U1
Зависимости модулей		всех	указанных отношений			от частоты

называются амплитудно-частотными характеристиками четырехполюсника,

а зависимости аргументов этих отношений	от частоты − фазочастотными
характеристиками четырехполюсника.	Эти	характеристики широко
используются для описания работы многих		устройств автоматики	и
радиотехники.

Пример 8.10. Выразить передаточные функции четырехполюсника через его А-параметры.

Решение. При выводе искомых соотношений воспользуемся уравнениями четырехполюсника в А-форме записи, применив формулы (8.1).

1. Находим коэффициент передачи по напряжению. Для этого поделим левую и правую часть первого уравнения (8.1) на напряжение U&2 :

U&1

AU&2 + BI&2

= A +

AZ Н2 + B

Н2

Z Н2

где ZН2

U 2

- сопротивление нагрузки, включенное со стороны выходных зажимов.

Н2

Тогда

Кu =

AZ Н2 +

Находим коэффициент передачи по току,

для чего поделим второе

уравнение (8.1) на ток

I&2 :

I&1

CU&2 + DI&2

= СZ Н2 + D .

I&2

I 2

Тогда Ki =

СZ Н2 +

3. Находим передаточное сопротивление четырехполюсника. С этой

целью поделим второе уравнение (8.1) на напряжение U&2 :

I&1

CU&2 + DI&2

= C + (D / Z Н2 ) =

CZ Н2 + D

U&2

Z Н2

При этом Z пер =

Н2

CZ Н2 + D

4. Находим передаточную проводимость четырехполюсника. Для этого

разделим первое уравнение (8.1)

на ток

I&2 :

U&1

AU&2 + BI&2

= AZ Н2 + B .

I&2

Тогда Y пер =

AZ Н2 +

Пример

8.11.

Дан четырехполюсник, показанный на рис.8.4.

Сопротивление Z 0 = jωL

известно. Определить передаточные функции этого

четырехполюсника, если он нагружен на сопротивление Z Н2 = R .

199

arg Ku

I&1	I&1	Z 0	I&2				1
						-80°	0,8
U&		Y1 Y2	U	2	R	-60°	0,6	mod Ku(ω)			arg Ku(ω)
1			U		R	-40°	0,4
			&			-40°	0,4
						-20°	0,2						lgω
													lgω
						0	0	1	2	3	4	5	6

Рис.8.4 Рис.8.5

Решение. 1. В начале определяем А-параметры четырехполюсника. Будем считать, что этот четырехполюсник имеет П-образную схему, у которой Y 1 = Y 2 = 0 , а Z 0 = jωL . Тогда, в соответствии с формулами (8.16), получаем

A =1 + Z 0 Y 1 =1;

B = Z 0 = jωL Ом;

С = 0 См;

D = 1 + Z 0 Y 2 =1.

2. Определяем передаточные функции четырехполюсника, выраженные

через А-параметры (пример 8.10) :

а)

Кu =

Z Н2

AZ Н2 + B

+ jωL

R2 + (ωL)2 e

jarctg

ωL

− jarctg

ωL

R ;

R2 + (ωL)2

б)

Ki =

I&2

=1 ;

AZ H 2 + D

в)

Z пер

U&2

Z Н2

= R

;

CZ Н2

+ D

0 +1

ωL

I&2

− jarctg

г)

Y пер

1 e

AZ Н2

+ B

R + jωL

R2 + ω2 L2

Заметим, что эти соотношения легко проверить, исходя непосредственно из схемы этого простейшего четырехполюсника.

Пример 8.12. Рассчитать и построить амплитудно-частотную и фазочастотную характеристики коэффициента передачи по напряжению Кu четырехполюсника, рассмотренного в примере 8.11.

Решение. Модуль и аргумент Кu в соответствии с результатами примера

8.11 имеют вид mod Кu =			R	; arg Ku = −arctg ωL .
		R2 + (ωL)2			R
Зависимость	модуля	Кu	от	частоты	– это амплитудно-частотная
характеристика, а	зависимость		аргумента Кu		от частоты – фазочастотная
				200

характеристика. Они представлены на рис.8.5 для R = 100 Ом и L = 0,1 Гн. Результаты расчетов сведены в табл.8.3.

Т а б л и ц а 8.3

	Зависимости mod Ku				arg Ku от частоты ω
lg ω		0	1	2		3	4	5	6
ω (1/с)		1	10	102		103	104	105	106
mod Ku		1	1	0,995		0,707	0,1	0,01	0,001
arg Ku (град)		0,06	0,6	5,7		45	84,3	89,4	89,9

8.10. Симметричные четырехполюсники

Четырехполюсник, у которого перемена местами входных и выходных зажимов не изменяет токов и напряжений в присоединенных цепях, называется

симметричным.

У симметричного четырехполюсника параметр А=D , и тогда уравнения (8.1) и (8.1а) становятся одинаковыми. При этом А2 − ВС =1. У такого

четырехполюсника число независимых параметров равно двум. Все ранее полученные соотношения, характеризующие несимметричный четырехполюсник, справедливы и для симметричного при условии, что А = D. Основные его характеристики приведены в табл.8.4.

					Т а б л и ц а 8.4
	Основные свойства и характеристики симметричных
		четырехполюсников
№	Характеристики или		Аналитические выражения характеристик
п/п	свойства		Аналитические выражения характеристик
п/п	свойства
1	Соотношение между			A = D;	А2 − ВС =1
1	А-параметрами
2	Уравнение		U&1 = AU&2 + BI&2		U&2 = AU&1 + BI&1
2	четырехполюсника		I&1 = CU&2 + AI&2		I&2 = CU&1 + AI&1
	в А и В-формах записи		I&1 = CU&2 + AI&2		I&2 = CU&1 + AI&1

Входные сопротивления

Z 1ВХ = Z 2ВХ

= Z ВХ

H 2

+ B

CZ H 2

+ A

I 2

Данные опытов ХХ и КЗ и

Z X

; Z K

;

Z X

BС

Z K

связь между ними

201

О к о н ч а н и е

т а б л.8.4

Связь параметров схем

а)

Z 1

= Z

2 =

Z =

A −1

;

Y 0 = C ;

замещения с А-параметрами:

а) для Т-образной схемы

A =1 + ZY 0

;

B = 2Z + Z 2 Y 0 ;

С =Y 0

(рис.8.2,а)

б) для П-образной схемы

б)

Y 1 =Y 2 =Y =

−

;

Z 0 = B ;

(рис.8.2,б)

A =1 + Y Z 0 ; В = Z 0 ; C = 2Y +Y 2 Z 0

Характеристическое (пов-

торное) сопротивление и

Z C

B ;

g = α + jβ;

= A +

постоянная передачи

(коэффициент

распространения)

Выражение А-параметров

A = ch g ;

B = Z C sh g ;

C =

через характеристические

Z C

Выражение характеристи-

Z C =

Z X Z K

;

th g =

Z K

ческих параметров через

Z X

данные ХХ и КЗ

Уравнения в гиперболичес-

U&1 = ch

gU&2 + sh gZ C I&2 ;

кой форме записи при

chg

произвольной нагрузке

U 2

+ sh

gI 2

Z C

Уравнение в гиперболичес-

кой форме записи при

=U 2 e

;

= I

2 e

U&1

I&1

согласованной нагрузке

или

= e

;

= e

( Z Н2 = Z C и U&2 = I&2 Z C )

U 2

Коэффициент затухания

= e

;

= e

(собственное затухание) α

U 2

I 2

Коэффициент фазы (β)

β = (ψu1 − ψu2 ) − (ψi1 − ψi2 )

Коэффициент передачи по

Кu

U&2

Z Н2

напряжению

U&1

AZ 2

+ B

Коэффициент передачи по

Кi

I&2

току

I&1

CZ 2 + A

Передаточное

Z пер

U&2

Z Н2

сопротивление

I&1

CZ Н2 + A

Передаточная проводимость

Y пер

I&2

AZ 2

+ B

202

Пример 8.13. Дан симметричный четырехполюсник, имеющий Т- образную структуру (рис.8.6,а). Сопротивления его элементов известны: Z=R=100 Ом; Y0 = j5 10-3 См. Требуется определить: 1) А-параметры четырехполюсника; 2) параметры П-образной схемы его замещения; 3) характеристические параметры; 4) ток и напряжение на входе четырехполюсника по известному напряжению на выходе при согласованной нагрузке; 5) переходные функции этого четырехполюсника.

а)

б)

Y 0

Рис.8.6

Решение. 1. Находим А-параметры, используя формулы позиции 5

табл.8.4 : А =1 + ZY 0 =1 + j5 10−3 100 = (1 + j0,5) =1,12e j26,5o ;

B = 2Z + Z 2 Y 0 = 2R + R 2 Y 0 = 200 +10000 j5 10−3 = (200 + j50) = 206e j14o Ом;

C =Y 0 = + j5 10−3 = 5 10−3 e j90o См.

Проверку правильности этих вычислений можно произвести, вновь определив параметры Т-образной схемы замещения по известным А- параметрам (табл.8.4). Предоставляем читателю возможность проделать это самостоятельно и получить вышенайденные значения А , В и С.

2.Находим параметры П-образной схемы замещения четырехполюсника

всоответствии с формулами поз.5 из табл.8.4

		Z 0 = B = 200 + j50 = 206e j14o Ом;
Y =	A −1	=	(1 + j0,5) −1		=	0,5e j90o		= 2,43 10−3 e j76o	= (6,58 10−3 + j2,36 10−3 ) См.
	B
			206e	j14o		206e	j14o

Заметим, что элемент Z0 состоит из последовательного соединения активного и индуктивного сопротивлений, а элемент Y – из параллельного соединения активной и емкостной проводимостей.

Проверку правильности расчетов предлагаем читателю провести самостоятельно, найдя А-параметры четырехполюсника по известным Z0 и Y .

3. Находим характеристические параметры Z и g через А-параметры,

используя формулы позиции 6 табл.8.4. Характеристическое (повторное) сопротивление четырехполюсника ZС :

Z C =	B	=	206e j14o	o = 41,23 103 e− j76o = 203 e− j38o Ом.
	C		5 10−3 e j90

Постоянная передачи g :

203

g = ln[A +

j0,5) +

206e

j14o

−3

j90o

ВС] = ln (1

= ln (1+ j0,5) + 1,03e j104o

= ln (1

+ j0,5) +1,015e j52o = ln[(1+ j0,5) + (0,625 + j0,8)]=

= ln[1,625 +

j39o

= α + jβ = 0,732 + j0,68.

j1,3]= ln 2,08e

= ln e

Здесь α = ln 2,08 = 0,732 Нп; β = 39° или β=0,68 рад.

Проверим правильность расчетов, вновь определив параметры А-формы по известным характеристическим параметрам ZC и g . В соответствии с

позицией 7 табл.8.4 имеем A = ch g ;

B = Z C shg ; C =

Z C

математики известно , что

Из курса

ch g = chα cos β + jshα sin β и

sh g = shα cos β + chα sin β. В этих формулах

eα

+ e−α

e0,732

+ e−0,732

2,08 + 0,48

сhα =

=1,28;

shα =

eα

− e−α

2,08 − 0,48

1,6

0,8 ; sin β = sin 39

= 0,63 ; cosβ = 0,78.

Тогда chg =1,28 0,78 + j0,8 0,63 = (1 + j0,5) =1,12e j26,5o ;

sh g = 0,8 0,78 + j1,28 0,63 = (0,624 + j0,8) =1,01e j52o .

Таким образом, А= сhg = (1 + j0,5) =1,12e j26,5o ;

B = Z C sh g = 203e− j38o

1,01e j52o

= 206e+ j14o = (200 + j50) Ом;

C =

1,01e j52o

= 0,005e j90o

= 5 10−3 e j90o См.

203e− j38o

Z C

Как видим, полученный результат совпадает с исходными А-параметрами исследуемого четырехполюсника, следовательно, все предыдущие расчеты произведены правильно.

4. Находим ток и напряжение на входе четырехполюсника при согласованной нагрузке. Для этого подключим на выходные зажимы

нагрузочное	сопротивление		Z Н2 = Z C = 203e− j38o Ом,		приняв (произвольно)
напряжение	на	выходных	зажимах	U&2 = 203e− j38o В.	Тогда	ток в нагрузке
составит I&2 =U&2		ZC =1 А.
Используя формулы (8.1), получаем
U&1 = AU&2 + BI&2 =1,12e j26,5o 203e− j38o				+ 206e j14o 1 = 227e− j11,5o		+ 206e j14o =

= (222,4 − j45,3) + (200 + j50) = (422,4 + j4,7) = 422,4e j0,63o 422 В.

Справочник по математике, разд. 2.5, 2.3.2 [9].

204

I&1 = CU&2 + AI&2 = 5 10	−3 e j90o 203e− j38o +1,12e j26,5o 1 =1,015e j52o +1,12e j26,5o =
= (0,625 + j0,8) + (1 + j	0,5) =1,625 + j1,3 = 2,08e j39o А.

Проверку правильности вычислений осуществим, найдя входное сопротивлений четырехполюсника, которое при согласованной нагрузке

должно быть

равно

характеристическому

(8.17) :

Z 1ВХ

U&1

422

= 203e

− j39o

Ом, что и имеет место.

I&1

2,08e j39

5. Определяем переходные функции четырехполюсника, используя

данные поз.13−16

табл.8.4.

Коэффициент передачи по напряжению

Кu =

Z Н2

203e− j38o

AZ Н2 + B

1,12e j26,5

203e− j38

+ (200 + j50)

203e− j38o

= 0,48e− j39o .

− j11,5o

(422 + j4,7)

227e

+ (200 +

j50)

422e

j0,63o

Коэффициент передачи по току

Ki =

I&2

I&1

СZ Н2 + A

5 10−3 e j90

203e− j38

+ (1 + j0,5)

1,015e e

+ j52o

(0,62 + j0,8) +(1+ j0,5)

1,62 + j1,3

+(1+ j0,5)

= 0,48e− j39

2,08e

+ j39o

Передаточное сопротивление

Z пер

U&2

Z Н2

203e− j38o

I&1

CZ Н2 +

5 10−3 e j90

203e− j38

+ (1 + j0,5)

203e− j38o

= 97,6e− j77o

Ом.

+ j52o

(0,62 + j0,8)(1 +

j0,5)

1,015e

+ (1 + j0,5)

2,08e

+ j39o

Передаточная проводимость

Y пер

I&2

AZ Н2 +

203e− j38

+ (200

1,12e j26,5

+ j50)

= 0,00237 = 2,37 10−3 См.

422

j4,7

422e

j0,63o

422

Проверим результаты расчетов, используя известные токи и напряжения на входных и выходных зажимах четырехполюсника, полученные в п.4 данного примера:

205

Кu

U&2

203e− j38o

= 0,48e

− j38o

; Ki =

I&2

= 0,48e

− j39o

;

U&1

422

I&1

2,08e j39

Z пер =

203e− j38o

= 97,6e

− j77o

;

пер =

I&2

= 0,00237 = 2,37 10

−3

См.

I&1

2,08e j39

U&1

422

Эти данные совпадают с результатами расчетов переходных функций с использованием А-параметров, и, следовательно, предыдущие расчеты произведены верно.

8.11. Способы соединения четырехполюсников
В	электротехнической	практике	широко	используются цепи,
состоящие из нескольких четырехполюсников, различным					образом связанных
между	собой. Различают	каскадное,	параллельное,		последовательное,

последовательно-параллельное и параллельно-последовательное соединения. В табл.8.5 показаны различные способы соединения на примере двух

четырехполюсников. В зависимости от способа их соединения для описания работы составного четырехполюсника используют ту или иную форму записи

уравнений.	Критерием выбора являются соображения удобства определения
параметров	составного четырехполюсника.
Так, при каскадном соединении используют А-форму записи уравнений,
в связи с	тем, что А-матрица составного четырехполюсника равна

произведению А-матриц составляющих его четырехполюсников. При параллельном соединении используют Y-форму записи уравнений, поскольку Y-матрица составного четырехполюсника равна сумме Y-матриц составляющих его четырехполюсников. При последовательном соединении используют Z-форму записи, так как Z-матрица составного четырехполюсника представляет собой сумму Z-матриц отдельных четырехполюсников, входящих в это соединение. Аналогичные утверждения справедливы также для H-матрицы при последовательно-параллельном соединении четырехполюсников и для G-матрицы при параллельнопоследовательном их соединении. При всех способах соединения четырехполюсников необходимо соблюдать условия регулярности соединения: через первичные, а также вторичные зажимы каждого четырехполюсника должны протекать равные по величине и противоположные по направлению

токи.	Тогда матрица каждого четырехполюсника остается, такой же, какой
она	была до соединения четырехполюсников между собой.

Пример 8.14. Два одинаковых симметричных четырехполюсника с параметрами, соответствующими примеру 8.13, соединены каскадно так, что выходные зажимы первого четырехполюсника соединены с входными зажимами второго в соответствии с поз.1 табл.8.5. Требуется определить А- параметры результирующего четырехполюсника.

206

Т а б л и ц а 8 .5

Различные виды соединения пассивных четырехполюсников

№

Вид соединения и матри-

Схема соединения

п/п

ца четырехполюсника

Каскадное

I&1

I&2

А′

А′′

U&1

U&2

А′

А′′

I&1

I&2

Y′

Параллельное

U&1

U&2

Y′

Y′′

I&1

I&2

Последовательное

Z′

U&1

U&2

Z′

Z′′

			I&1	I&2
	Последовательно-	U&1	H′	U&2
4	Последовательно-
4	параллельное		H′′
	Н = Н′ + Н′′		H′′
	Н = Н′ + Н′′

I&1

I&2

Параллельно-

G′

последовательное

U 2

G′′

G′

G′′

В этой таблице

, и

− матрицы четырехполюсников.

Решение. При каскадном соединении двух четырехполюсников матрица А результирующего четырехполюсника равна произведению матриц

соединенных четырехполюсников .

Справочник по математике, разд. 2.4.4.2.1 [9].

207

Для двух одинаковых четырехполюсников имеем

А′

А′′

A B

A2 + ВC АВ + В А

АЭ ВЭ

C A

С А+ A C С В + А2

СЭ АЭ

Здесь А2

= (1,12е j26,5 )2 =1,25e j53o = (0,75 + j1) ;

ВС = 206е j14o 5 10 −3 e j90o =1,03e j104o = (−0,25 + j1) ;

СА = 5 10−3 е j90o 1,12e j26,5o = 5,6 10−3 e j116,5o

= (−2,5 + j5) 10−3 ;

AB =1,12e j26,5o 206e j14o

= 230,7e j40,5o = (175 + j150) .

Тогда А-параметры результирующего четырехполюсника

AЭ = А2 + ВС = (0,75 + j1) + (−0,25 + j1) = (0,5 + j2) = 2,06e j76o ; B Э = 2( AB) = 2(230,7e j40,5o ) = 461,4e j40,5o = (350 + j300) ;

C Э = 2( AC) = 2(5,6 10−3 e j116,5o ) =11,2 10−3 e j116,5o = (−5 + j10) 10−3 =

= (−0,005 + j0,01) .

Проверку вычислений осуществляем по формуле, соответствующей


позиции 1	табл.8.4: AЭ2 − ВЭ СЭ =1. Здесь
АЭ2	= (2,06e j76o )2 = 4,24e j152o = (−3,75 + j2) ;
B Э СЭ = 461,4e j40,5o		11,2 10−3 e j116,5o = 5,17e j157o = (−4,75 + j2) .
Таким образом, AЭ2		− ВС = (−3,75 + j2) − (−4,75 + j2) =1.
Поэтому можно считать, что расчеты произведены правильно.

Пример 8.15. Два одинаковых симметричных четырехполюсника с А- параметрами, как в примере 8.13 (п.1 решения), соединены последовательно, в соответствии с поз.3 табл.8.5. Требуется определить А-параметры результирующего четырехполюсника.

Решение. 1. При последовательном соединении двух четырехполюсников удобно пользоваться Z-формой записи их уравнений, при которой матрица Z

результирующего четырехполюсника равна сумме матриц соединяемых четырехполюсников. Для двух одинаковых четырехполюсников (табл.8.1) имеем

Z Э

Z11

Z12

Z11

Z12

2Z11

2Z12

Z11Э

Z12 Э

Z21

Z22

Z21

Z22

2Z21

2Z22

Z21Э

Z22 Э

2. Предварительно находим Z-параметры симметричного четырехполюсника ( А= D ) из примера 8.13, воспользовавшись табл.8.2:

Z11 = Z 22 =	A	;	Z12 = Z 21 =	1	.
	C
				C

Подставляя в эти соотношения известные значения А и С, получаем

208

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 / 2521 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.05.2015147.46 Кб30test СУПБ_отв.doc
#
01.05.201527.14 Кб11testy_otsos-ekz.doc
#
13.08.201953.23 Кб1Testy_po_telefonii.docx
#
01.05.201599.33 Кб364TEST_PO_SOTsIOLOGII_s_otvetami.doc
#
01.05.20152.23 Mб38TKS_ekzamen.doc
#
01.05.20157.19 Mб59toe.pdf
#
01.05.201534.3 Кб20topics.doc
#
10.03.20166.3 Mб2TPEMViAFU1.pdf
#
01.05.20153.33 Mб542Tyagovye_podstantsii.docx
#
01.05.2015784.5 Кб20TZ_Otdel_kadrov.docx
#
19.11.20193.96 Mб88Uch_posobie_EMS_2.doc