- •Министерство образования и науки
- •Содержание
- •К решению задач и выполнению контрольной работы
- •Список литературы
- •1. Молекулярная физика
- •1.1. Примеры решения задач.
- •Окончательно
- •Из него
- •С учетом последнего соотношения, для молярной массы смеси имеем
- •1.2. Внутренняя энергия и теплоемкости идеального газа
- •1.2. Примеры решения задач
- •1.3. Функции распределения
- •1.3. Примеры решения задач
- •Данное уравнение является общей формой записи закона распределения скоростей молекул, справедливой для любых интервалов скоростей.
- •1.4. Фазы и условия равновесия фаз. Реальные газы
- •В связи с этим, для реальных газов, Ван-дер-Ваальс предложил
- •1.4. Примеры решения задач
- •После сокращений на a/27b и в правой части на r получи
- •Подставив значения величин в си и произведя вычисление, получим:
- •2. Явления переноса
- •Диффузией называют процесс взаимного проникновения молекул (атомов) вещества, обусловленный их тепловым движением.
- •2. Примеры решения задач
- •Таким образом
- •3. Элементы термодинамики
- •3. Примеры решения задач
- •Подставив эти значения и выполнив вычисление, получим
- •Однако это выражение еще не является ответом, ибо Aвн есть сумма двух работ: работы a силы, приложенной к поршню (например, силы руки), и работы Aатм силы атмосферного давления, т.Е.
- •4. Термодинамические потенциалы
- •4. Примеры решения задач
- •С учетом этого будем иметь
- •5. Строение и свойства жидкостей
- •5. Примеры решения задач
- •Контрольная работа 2
- •Приложения
- •3,723 2,4 5,1846 Следует вычислять выражение
- •2.Основные физические постоянные (округленные значения)
- •3.Плотность твердых тел
- •4. Плотность жидкостей
- •5. Эффективный диаметр молекул, динамическая вязкость и теплопроводность газов при нормальных условиях
- •6. Критические параметры и поправки Ван – дер – Ваальса
- •8. Поверхностное натяжение жидкостей при 20o
- •9.Некоторые астрономические величины
Данное уравнение является общей формой записи закона распределения скоростей молекул, справедливой для любых интервалов скоростей.
Учитывая, что относительная скорость u=v/vв и что в нашей задаче v1=vв и v2=4, получим: u1=1, и u2=. Следовательно, искомая часть молекул:
Чтобы избежать математических трудностей, связанных с нахождением неопределенного интеграла, воспользуемсятем очевидным фактом, что скорости всех молекул лежат в интервале от 0 до . Поэтому, если обозначить через N' число молекул, скорости которых меньше наиболее вероятной, т.е. лежат в интервале от 0 до 1, то можно записать:
.
Таким образом, вместо того, чтобы искать N/N можно найти
а затем вычислить N/N.
Так как зтот интеграл аналитически не вычисляется, воспользуемся методом приближенного интегрирования. Для этого разложим подынтегральную функцию f(u)=exp(-u2)u2 в ряд Маклорена:
exp(-u2)=1-u2/1+u4/2–u6/6+u8/24-...
exp(-u2) u2=u2- u4/1+u6/2–u8/6+u10/24-...
Теперь, произведя интегрирование, имеем:
N'/N=4(1/3-1/5+1/14-1/54+1/264...)/1/2.
Ограничиваясь первыми четырьмя членами разложения, найдем с погрешностью, не превышающей 0,01:
N'/N=0,43.
Тогда
N/N=1-0,43=0,57.
1.3.9. Найти число столкновений <Z>, которые происходят в течение секунды между всеми молекулами, находящимися в объеме V==1,0 мм3 водорода при нормальных условиях. Принять для водорода d=2,310-10 м.
Решение. Число столкновений <z>, испытываемых одной молекулой за одну секунду, определяется по формуле
<z>=2 1/2d2n2<v>V/2,
где d – эффективный диаметр молекулы;
n – концентрация молекул;
<v>=(8RT/)1/2 – средняя арифметическая скорость молекул газа.
Чтобы установить соотношение между величинами <z> и <Z>, учтем, что если умножить число столкновений одной молекулы за одну секунду на число всех молекул N, то получим результат, превышающий в два раза искомое число <Z>. Действительно, в одном столкновении участвуют сразу две молекулы, поэтому в число <z>N каждое столкновение входит дважды: один раз в счет столкновений одной из молекул данной пары, другой раз в счет столкновений второй молекулы. Следовательно, правильным будет выражение
<Z>=<z>N/2=<z>nV/2,
где n =p/kT – концентрация молекул.
Подставив вместо <z>, n и <v> их значение, окончательно получим:
<Z>=2 1/2d2p2V(8R/T)1/2/2k2T.
Выразим входящие в формулу величины в единицах СИ, подставив их в формулу и выполнив вычисление, будем иметь
<Z>=1,61026 с-1.
1.3.10. Пылинки массой m=10-18 г взвешены в воздухе. Определить толщину слоя воздуха, в пределах которого концентрация пылинок различается не более чем на 1%. Температура T воздуха во всем объеме одинакова и равна 300 К.
Решение. При равновесном распределении пылинок концентрация их зависит только от координатыz по оси, направленной вертикально. В этом случае к распределению пылинок можноприменить формулу Больцмана
Так как в однородном поле силы тяжести U=mgz, то
По условию задачи, изменение Dn концентрации с высотой мало по сравнению с n (n/n=0,01), поэтому без существенной погрешности изменение концентрации n можно заменить дифференциалом dn.
Дифференцируя выражение по z, получим
Так как
noexp(-mgz/(kT))=n,
то
dn=- mgndz/kT.
Отсюда находим интересующее нас изменение координаты:
dz=-kT dn/mgn.
Знак минус показывает, что положительным изменениям координаты (dz>0) соответствует уменьшение относительной концентрации (dn<0).
Знак минус опустим (в данном случае оннесущественен)и заменим дифференциалы dz и dn конечными приращениями z и n:
z=kTn/mgn.
Выразив входящие вформулувеличины в системе СИ, подставив их в эту формулу, произведем вычисления
z=1,3810-233000,01/10-219,81=4,2310-3 м=4,23 мм.
1.3.11. Барометр в кабине летящего самолета все время показывает одинаковое давление p=79 кПа, благодаря чему летчик считает высоту h полета неизменной. Однако температура воздуха за бортом самолета изменилась с t=5oC до t=1 oC. Какую ошибку h в определении высоты допустил летчик? Давление p у поверхности Земли считать нормальным.
Решение. Для решения задачи воспользуемся барометрической формулой
Барометр может показывать неизменное давление p при различных температурах T1и T2 за бортом только втом случае, если самолет находится не навысоте h1 (которую летчик считает неизменной), а на некоторой другой высоте h 2.
Запишем барометрическую формулу для двух случаев:
Найдем отношение po/p и обе части полученных равенств, прологарифмируем:
Из полученных соотношений выразим высоты h1 и h1 и найдем их разность
Проверим, дает ли правая часть полученногоравенства единицу длины:
Выразив величины в СИ, подставив их в полученную формулу, произведем вычисления:
1.3.12. Средняя длина свободного пробега <> молекулы углекислого газа при нормальных условиях равна 40 нм. Определить среднюю арифметическую скорость <v> молекул и число <z> соударений, которые испытывает молекула в 1с.
Решение. Средняя арифметическая скорость молекул определяется по формуле
где – молярная масса вещества.
Среднее число <z> соударений молекулы в 1 с определяется отношением средней скорости <v> молекулы к средней длине ее свободного пробега <>:
Размерность полученных величин очевидна. Подставив значения входящих в формулы величин в СИ, будем иметь
<v>=362 м/с;
<z>=9,05109 с-1.