![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Министерство образования и науки
- •Содержание
- •К решению задач и выполнению контрольной работы
- •Список литературы
- •1. Молекулярная физика
- •1.1. Примеры решения задач.
- •Окончательно
- •Из него
- •С учетом последнего соотношения, для молярной массы смеси имеем
- •1.2. Внутренняя энергия и теплоемкости идеального газа
- •1.2. Примеры решения задач
- •1.3. Функции распределения
- •1.3. Примеры решения задач
- •Данное уравнение является общей формой записи закона распределения скоростей молекул, справедливой для любых интервалов скоростей.
- •1.4. Фазы и условия равновесия фаз. Реальные газы
- •В связи с этим, для реальных газов, Ван-дер-Ваальс предложил
- •1.4. Примеры решения задач
- •После сокращений на a/27b и в правой части на r получи
- •Подставив значения величин в си и произведя вычисление, получим:
- •2. Явления переноса
- •Диффузией называют процесс взаимного проникновения молекул (атомов) вещества, обусловленный их тепловым движением.
- •2. Примеры решения задач
- •Таким образом
- •3. Элементы термодинамики
- •3. Примеры решения задач
- •Подставив эти значения и выполнив вычисление, получим
- •Однако это выражение еще не является ответом, ибо Aвн есть сумма двух работ: работы a силы, приложенной к поршню (например, силы руки), и работы Aатм силы атмосферного давления, т.Е.
- •4. Термодинамические потенциалы
- •4. Примеры решения задач
- •С учетом этого будем иметь
- •5. Строение и свойства жидкостей
- •5. Примеры решения задач
- •Контрольная работа 2
- •Приложения
- •3,723 2,4 5,1846 Следует вычислять выражение
- •2.Основные физические постоянные (округленные значения)
- •3.Плотность твердых тел
- •4. Плотность жидкостей
- •5. Эффективный диаметр молекул, динамическая вязкость и теплопроводность газов при нормальных условиях
- •6. Критические параметры и поправки Ван – дер – Ваальса
- •8. Поверхностное натяжение жидкостей при 20o
- •9.Некоторые астрономические величины
После сокращений на a/27b и в правой части на r получи
Это и есть уравнение Ван-дер-Ваальса в приведенной форме. Ононе содержит никаких параметров, характеризующих индивидуальные свойства газа, и поэтому является универсальным.
Теперь ответим на вопрос задачи. Так какдавление остается постоянным (p=pкр), то =1; молярный объем газа согласно условию увеличился в два раза, т.е. Vm=2Vmкр; следовательно, =2.
Из уравнения выразим приведенную температуру:
Подставив сюда значения и произведя вычисления, найдем =35/32.
Температура T, как отмечалось, связана с приведенной температурой и критической Tкр соотношением T=Tкр. Произведя вычисление по этой формуле, получим
T=322 К.
1.4.3. В цилиндре под поршнем находится хлор массой m=20 г. Определить изменение DU внутренней энергии хлора при изотермическом расширении его от V1=200 см3 до V2=500 см3.
Решение. Внутренняя энергия U реального (вандерваальсового) газа определяется выражением
Выразив в этом выражении молярный объем Vm через объем V и количество вещества ( Vm=V/) и учтя, что =m/, получим
Изменение внутренней энергии в результате изотермического расширения найдемкак разность двух значений внутренней энергии при объемах V2 и V1:
Подставив значения величин в си и произведя вычисление, получим:
Заметим, что для идеального газа такое изменениевнутренней энергиисоответствовалобы нагреванию на 26,3 К.
1.4.4. В очень прочном стальном баллоне заключена вода, занимающая при комнатной температуре половину объема баллона. Найти давление (в технических атмосферах) и плотность водяных паров при повышении температуры до 400 oС.
Решение. Из таблицы критических температур возьмем для воды t=374 oС. Таким образом, при нагревании воды в баллоне до 400 oС она оказалась при температуре выше критической. Следовательно, она вся будет находится в газообразном, или, как это принято говорить в отношении воды, парообразном состоянии.
Плотность водяного пара определим,учитывая, что объем одной и той же массы воды в результате ее нагреванияувеличился в два раза (массу паров, находящихся над водой при комнатной температуре, можно не учитывать). Следовательно, плотность пара, равная отношению массы к объему, будет вдвое меньше плотности воды В=1103 кг/м3:
=В/2=5102 кг/м3.
Так как плотность пара в баллоне оказаласьбольшойпо сравнению с плотностями газов при нормальных условиях (например, плотность воздуха при нормальных условиях равна 1,29 кг/м3), то, очевидно, водяной пар здесь можно рассматривать как реальный газ, параметры которого связаны уравнением состояния Ван-дер-Ваальса:
Решив его относительно p, получим
Здесь Vo – молярный объем, но не объем всей массы пара. Поэтому на основании определения плотности можно записать
Vo=/,
где – молярная масса пара.
Подставив это значение Vo в вышенаписанную формулу, найдем
Взяв из таблиц значения постоянных a и b для воды, выразив все величины, входящие в формулу, в единицахСИ: Т=673 К, а =0,55 м4Н/моль2, b=3105 м3/моль, =0,018 кг/моль. Выполнив вычисления, найдем
p=5,1108 Па=5,2103 ат.
1.4.5. Определить давление m=280 г азота, находящегося при температуре 27 oС в сосуде, объем которого равен: 1) V=1,00 м3; 2) V=0,50 л.
Решение. Чтобы решить вопрос о том, каким следует считать данный газ-идеальным или реальным,-найдем молярныйобъем газа Vo. Пусть в сосуде содержится =m/ молей газа. Тогда
Vo=V/=V/m.
Учитывая, что молярная масса азота =0,028 кг/моль, получим:
1) Vo=1,000,28/0,28=0,10 м3/моль;
2) Vo=0,510-30,028/0,28=5,010-5 м3/моль.
Сравнивая вычисленные значения Vo с молярным объемом газа при нормальных условиях Vo(норм) =22,410-3 м3/моль, видим, что в первом случае газ достаточно разряжен и его можно считать идеальным. Уравнение состояния идеального газа для одного моля запишем так:
Отсюда
Во втором случае Vo<Vo(норм), и газ следует считать реальным. Его давление найдем из уравнения Ван дер Ваальса для реального газа
Взяв из таблиц значения постоянныхВан-дер-Ваальсадля азота: a=0,13 м4Н/моль2, b=3,710-5 м3/моль, произведем вычисление, получим:
p=1,4108 Па.
Заметим, что, вычисляя давление по формуле, характерной для состояния идеального газа, получили бы в этом случае неверный результат: p=0,5108 Па.
1.4.6. Определить массу кислорода в баллоне объемом V=10,0 л при температуре 27 oС и давлениях:1)p1=1,00 ат; 2)p2=410 ат.
Решение. В первом случае (p=1,00 ат) кислород в баллоне находитсяпри условиях, близких кнормальным. То обстоятельство, что температура газа несколько вышенормальной, означает лишь, что его плотность при этом давлении меньше, чем при нормальных условиях. Поэтомубез большой погрешностиможно считать газ идеальным. На основании уравнения состояния идеального газа, учитывая, что для кислорода =0,032 кг/моль, получим:
Во втором случае (p=410 ат), учитывая большое по сравнению с нормальным давление газа, следует считать его реальным и вести расчеты на основании уравнения Ван дер Ваальса.
Масса газа определяется соотношением:
где – молярная масса;
– число молей;
V – объем газа;
Vo – его молярный объем.
Таким образом, необходимо из уравнения Ван-дер-Ваальса
найти величину Vo, а затем массу газа.
Уравнение Ван дер Ваальса является уравнением третьей степени относительно Vo и поэтому имеет, вообще говоря, три корня. Однако, учитывая, что кислород в баллоне находится при температуре выше критической (tкр=-119 oС), можно утверждать, что при определенном давлении газ будет иметь лишь один определенный объем. Следовательно, кубическое относительно Vo уравнение Ван-дер-Ваальса имеет в данном случае лишь один действительный корень. Его можно найти методом последовательных приближений, поскольку расчеты, связанные с решением кубического уравнения по общей формуле Кардано, весьма громоздки.
В качестве первого приближения вычислим молярный объем Vo1 газа, рассматривая его как идеальный. Тогда из уравнения состояния идеального газа получим
Теперь, обозначив в уравнении Ван-дер-Ваальса поправку на давление через po1=a/Vo2, найдем величину Vo
Взяв из таблиц значения постоянныхa и b для кислорода, выразим в единицах СИ входящие в формулу величины: p=4109,8104 Па, Vo1=0,6210-4 м3/моль, R=8,3 Дж/(мольК), Т=300 К, a=0,13 м4Н/моль2, b=3,110-5 м3/моль. Выполнив вычисление, найдем
Vo2=0,6510-4 м3/моль.
Еще раз вычислив по формуле, полученной изуравнения Ван дер Ваальса, считая при этом p1=a/Vo22, получим третье приближение:
Vo3=0,6610-4 м3/моль.
Повторяя, таким образом, вычисления, будем получать все более точные значения Vo:
Vo4=0,6710-4 м3/моль;
Vo5=0,6710-4 м3/моль.
Видим, что при дальнейших вычислениях, если ограничиться точностью до второго знака, результат небудет изменяться. Еслиже взять значение Vo5=0,6810-4 м3/моль, то получим прежнее значение
Vo6=0,6710-4 м3/моль.
Поэтому, действительнымкорнемкубическогоуравнения Ван дер Ваальса, вычисленным с точностью до второго знака, будет
Vo=0,6710-4 м3/моль.
Теперь вычислим искомую массу газа
Легко убедиться в том, чтовычисление по уравнениюМенделеева-Клапейрона дало бы в этом случае неверный результат
1.4.7. Какую часть объема стеклянной ампулы должен занимать жидкий эфир при t=20 oС, чтобы при его нагревании можно было наблюдать переход вещества через критическое состояние? Для эфира =0,074 кг/моль, =714 кг/м3 при 20 oС, t=194 oС, p=35,6 ат.
Решение. Переход вещества через критическое состояние характерен тем, что при этомисчезает различие междужидкойи газообразной фазами вещества. Критическое состояние характеризуется определенными для каждого вещества параметрами: критическими значениями температуры Тк, давления pк и молярного объема V0к. При этом критический объем всей массы вещества, содержащей =m/ молей, равен:
Vк=V0к=(m/)V0к.
Если вещество, нагретое до критической температуры Tк, окажется в объеме V, не равном Vк, то оно не будет при этом находиться в критическом состоянии. В этом случае при достижении температуры Tк не будет исчезать различие между двумя фазами, так как еще до достижения Tк все вещество при нагревании постепенно перейдет в одну фазу (при V>Vк вся жидкость в сосуде испарится, при V<Vк весь пар сконденсируется). Таким образом, для того чтобы наблюдать переход вещества, находящегося в ампуле, через критическое состояние, необходимо, чтобы при достижении критической температуры занимаемый им объем V был равен критическому объему Vк.
Так как в этот момент вещество будет равномерно заполнять всю ампулу, то V является одновременно и объемом ампулы.
Искомое отношение объема Vж жидкого эфира к объему V ампулы найдем из ранее написанных уравнений, с учетом того, что m/Vж= – плотность жидкого эфира:
Vж/V=Vж/Vк=Vж/(mVок)=/Voк.
Выразив величину Vок через известные pк и Tк получим
Tк/pк=8a27b2/(27bRa)=8b/R;
Vок=3b=3RTк/8pк.
Окончательно для искомого отношения имеем:
Vж/V=8pк/(3RTк).
Выразим в единицах СИ данные величины: =0,074 кг/моль, p=35,69,8104 Па, =714 кг/м3, Тк=467 К. Подставив эти значения в формулу и выполнив вычисление, найдем
Vж/V=0,25.