- •Министерство образования и науки
- •Содержание
- •К решению задач и выполнению контрольной работы
- •Список литературы
- •1. Молекулярная физика
- •1.1. Примеры решения задач.
- •Окончательно
- •Из него
- •С учетом последнего соотношения, для молярной массы смеси имеем
- •1.2. Внутренняя энергия и теплоемкости идеального газа
- •1.2. Примеры решения задач
- •1.3. Функции распределения
- •1.3. Примеры решения задач
- •Данное уравнение является общей формой записи закона распределения скоростей молекул, справедливой для любых интервалов скоростей.
- •1.4. Фазы и условия равновесия фаз. Реальные газы
- •В связи с этим, для реальных газов, Ван-дер-Ваальс предложил
- •1.4. Примеры решения задач
- •После сокращений на a/27b и в правой части на r получи
- •Подставив значения величин в си и произведя вычисление, получим:
- •2. Явления переноса
- •Диффузией называют процесс взаимного проникновения молекул (атомов) вещества, обусловленный их тепловым движением.
- •2. Примеры решения задач
- •Таким образом
- •3. Элементы термодинамики
- •3. Примеры решения задач
- •Подставив эти значения и выполнив вычисление, получим
- •Однако это выражение еще не является ответом, ибо Aвн есть сумма двух работ: работы a силы, приложенной к поршню (например, силы руки), и работы Aатм силы атмосферного давления, т.Е.
- •4. Термодинамические потенциалы
- •4. Примеры решения задач
- •С учетом этого будем иметь
- •5. Строение и свойства жидкостей
- •5. Примеры решения задач
- •Контрольная работа 2
- •Приложения
- •3,723 2,4 5,1846 Следует вычислять выражение
- •2.Основные физические постоянные (округленные значения)
- •3.Плотность твердых тел
- •4. Плотность жидкостей
- •5. Эффективный диаметр молекул, динамическая вязкость и теплопроводность газов при нормальных условиях
- •6. Критические параметры и поправки Ван – дер – Ваальса
- •8. Поверхностное натяжение жидкостей при 20o
- •9.Некоторые астрономические величины
1.3. Примеры решения задач
1.3.1. Средняя квадратичная скорость молекул некоторого газа 450 м/с. Давление газа 50 кПа. Найти плотность газа при этих условиях.
Решение. Средняя квадратичная скорость молекул газа связана с его температурой соотношением
где R – универсальная газовая постоянная;
– молекулярная масса газа;
T – абсолютная температура газа.
Для определения температуры газа воспользуемся уравнением Менделеева-Клапейрона
где =m/V – плотность газа.
Следовательно
.
Откуда
Подставляя численные значения имеем
1.3.2. Найти среднюю длину свободного пробега молекул воздуха при нормальных условиях. Эффективный диаметр молекул воздуха =0,3 нм.
Решение. Средняя длина свободного пробега молекул газа
,
где <v> – средняя арифметическая скорость молекул;
<Z> – среднее число столкновений каждой молекулы с остальными молекулами в единицу времени;
– эффективный диаметр молекулы;
n – число молекул в единице объема (концентрация молекул). Для определения числа молекул в единице объема воспользуемся основным уравнением молекулярно-кинетической теории для давления
p=nkT,
где k – постоянная Больцмана;
Т – температура газа.
.
Тогда для средней длины свободногопробегаимеем
.
Подставляячисленные значения, окончательно получаем:
м.
1.3.3. Найти среднее число столкновений в единицу времени молекул углекислого газа при температуре 100 oС, если средняя длина свободного пробега <>=870 мкм.
Решение. Число столкновений молекул газа в единицу времени связаносо средней длиной свободного пробега соотношением
,
где – средняя арифметическая скорость.
Следовательно,
Подставляячисленные значения имеем
1.3.4. При некотором давлении и температуре 0 oС средняя длина свободного пробега молекул кислорода 95 нм. Найти среднее число столкновений в единицу времени молекул кислорода, если давление кислорода уменьшить в 100 раз.
Решение. Среднее число столкновений в единицу времени
,
где <v>=(8RT/)1/2 – средняя арифметическая скорость молекул газа;
<> – средняя длина свободного пробега молекул.
При изменении давления газа длины свободного пробега обратно пропорциональныдавлению:
,
где 1, 2 – длина свободного пробега молекул газа при соответствующих давлениях p1 и p2.
В нашем случае:
Подставляя численные значения для <Z>, имеем
.
1.3.5. Какая часть молекул кислорода при t=0 oС обладает скоростями от 100 до 110 м/с?
Решение. Распределение молекул по скоростям можно определить из закона Максвелла
,
где u=v/vв – относительная скорость;
v – данная скорость;
vв=(2RT/)1/2 – наиболее вероятная скорость молекул;
u – интервал относительных скоростей, малый по сравнению со скоростью u.
Тогда искомая часть молекул, которую необходимо определить (распределение молекул по скоростям)
В нашем случае v=100 м/с; v=10 м/с; Наиболее вероятная скорость v=(2RT/)1/2=376 м/с. Следовательно, u=v/vв=100/376, u2=0,071; u=10/376; exp(-u2)=0,93.
Тогда
Таким образом, число молекул кислорода, скорости которых лежат в указанном интервале, равно 4%общего числа молекул.
1.3.6. Сосуд, содержащий газ, движется со скоростью vo, затем быстро останавливается. На сколько увеличится при этом средний квадрат скорости теплового движения молекул газа в случаях: одноатомного газа? Двухатомного газа? Газ считать идеальным.
Решение. Воспользуемся законом сохранения энергии. Пусть M-масса газа в сосуде. Двигаясь со скоростью v газ, как целое, обладает кинетической энергией
Wк=Mvo2/2.
Эта формула определяет кинетическую энергию направленного движения молекул, в котором ониучаствуют вместе с сосудом. После остановки сосуда направленное движение молекул в результате их соударений со стенками сосуда очень скоропревратится в хаотическое.
Пренебрегая теплообменом между газом и стенкамисосуда за рассматриваемый промежуток времени, можно газ считать изолированной системой. Тогда из закона сохранения энергии следует, что "исчезнувшая" кинетическая энергия направленного движения молекул W должна быть равна приросту энергии хаотического движения молекул (приросту внутренней энергии U:
Wк=U.
Определим внутреннюю энергию газа. Для идеального одноатомного газа это есть энергия поступательного хаотического движения молекул:
где m – масса молекулы;
N – число молекул в сосуде.
Имеем
Отсюда следует, что изменение внутренней энергии одноатомного газа при торможении
U=U2–U1=M[v2кв2-v2кв1]/2,
где vкв1,vкв2 – средние квадратичные скорости молекул газа соответственно в начале и конце торможения.
Подставив в уравнение Wк=U значения Wк и U, получим первый ответ
v2кв2-v2кв1=v2o.
Внутренняя энергия идеального двухатомного газа складывается из энергий поступательного и вращательного движения молекул. При этом три степени свободы приходятся на поступательное движение и две - на вращательное. В соответствии сзакономо равномерном распределении энергии по степенямсвободы, три пятых кинетической энергии W пойдет на увеличениеэнергии поступательного движения молекул и две пятых - на увеличение энергии их вращательного движения. Таким образом, теперь имеем
Откуда получим второй ответ:
1.3.7. Какая часть молекул водорода, находящегося при температуре T, обладает скоростями, отличающимися от наиболее вероятной скорости не свыше чем на 5,0 м/с? Задачу решить для двух значений T: 1) 400 К, 2) 900 К.
Решение. Распределение молекул по скоростям выражается законом Максвелла: число молекул N, относительные скорости которых лежат в интервале от u до u+u:
где N-полное число молекул газа;
–функция распределения Максвелла;
u=v/vв – относительная скорость;
v – данная скорость;
vв – наиболее вероятная скорость.
Закон распределения Максвелла оказывается справедливым при условии u<u. Поскольку в задаче идет речь о наиболее вероятной скорости, надо считать v=vв. Следовательно, u=v/vв=1 и выше написанное уравнение примет более простой вид:
.
Отсюда найдем ту часть молекул, относительные скорости которых лежат в интервале u:
Прежде чем производить расчеты, необходимо убедиться в том, что выполняется условие u<u. Так как u=v/vв, то u=v/vв.
Чтобы вычислить u, найдем сначала наиболее вероятную скорость при Т=400 К и Т=900 К по формуле:
vв1=28,31400/0,002=1,82103 м/с,
vв2=28,31900/0,002=2,73103 м/с.
Подставляя эти значения vв и имея в виду, что v=10 м/с, поскольку в задаче идетречь о скоростях, лежащих в интервале от vв=-5,0 м/с до vв=+5,0 м/с, получим:
u1=1/182, u2=1/273.
Так как u=1, видим, что условие u<u выполняется для обеих температур.
Теперь найдем
N1/N=4/((3,14)1/2 2,7182)=0,0046,
N2/N=4/((3,14)1/22,7273)=0,0030.
Таким образом, приувеличении температуры наиболее вероятная скорость молекул увеличивается,а числомолекул, скорости которых лежат в одном и том же интервале около наиболее вероятной, уменьшается.
1.3.8. Какая часть молекул газа имеет скорости превышающие наиболее вероятную скорость?
Решение. В условии задачи речь идет о молекулах, скорости которых заключеныв интервале от наиболеевероятной скорости vдо v+v, т.е. в бесконечно большом интервале скоростей v. Таким образом, условие применимости закона распределения скоростей, заключающееся в том, что u<u, или v<v, здесь не выполняется. Поэтому от уравнения в форме:
надо перейти к дифференциальнойформе этого закона
.
Полное число N молекул, относительные скорости которых лежат в заданном интервале от u1 до u2, найдем, интегрируя правую часть в этих пределах: