С учетом последнего соотношения, для молярной массы смеси имеем

_см=(₁n₁+₂n₂) (n₁+n₂).

Решив систему уравнений, найдем неизвестные n₁ и n₂:

n₁=(RT-p₂)/(kT(₁-₂)),

n₂=(RT-p₁)/(kT(₂-₁)).

Выражая входящие в формулы величины в единицах СИ, подставив их значения, выполнив вычисления, получим

n₁=3,5710²⁴ м^-3; n₂=4,110²⁵ м^-3.

1.2. Внутренняя энергия и теплоемкости идеального газа

Внутренняяэнергиягаза складывается из энергии отдельных молекул. В одном киломоле любого газа содержится N_А молекул (N_А--число Авогадро ). Следовательно, один киломоль идеального газа имеет внутреннюю энергию, равную

Внутренняя энергия произвольной массы газа m:

где  – молярная масса газа.

Удельной теплоёмкостью "c" газа называется физическая величина, численно равнаяколичеству теплоты, которое необходимо сообщить единице массы газа для нагревания её на один градус.

Молярной теплоёмкостью " C " называется физическая величина, численно равная количеству теплоты, которое необходимо сообщить одному молю газа, чтобы увеличить его температуру на один градус.

Связь между удельной и молярной теплоемкостями:

C=c.

Молярная теплоёмкость при постоянном объёме "C_v" – физическая величина, численно равная количеству теплоты, которое необходимо сообщить одному молю газа, чтобы увеличить его температуру на один градус в условиях постоянного объема.

Молярная теплоёмкость при постоянном давлении "C_p" – физическая величина, численно равная количеству теплоты, которое необходимо сообщить одному молю газа, чтобы увеличить его температуру на один градус в условиях постоянного давления.

Если газ нагревается при постоянном объёме, то подводимое к газу тепло идётна увеличение его внутренней энергии. Следовательно, в этом случае изменение внутренней энергии газа принагревании его на один градус будет равно молярнойтеплоёмкости

т.е.

а

При нагревании одного молягаза в условияхпостоянного давления сообщаемое ему извне тепло идёт не только на увеличение его внутренней энергии, но и на совершение работы против внешних сил.

Следовательно

Работа, совершаемая по расширению одного моля газа, в условиях постоянного давления

A=R,

где R – универсальная газовая постоянная.

Следовательно

C_p=C_v+R,

а

c_p=c_v+R/.

Окончательно

а

Отношение

С_p/С_v=;

=C_p/C_v=c_p/c_v; =(i+2)/i.

1.2. Примеры решения задач

1.2.1. Вычислить удельные теплоемкости при постоянном давлении и при постоянном объеме неона и водорода, принимая газы за идеальные.

Решение. Между молярными и удельными теплоемкостями идеального газа при постоянном давлениии и при постоянном объеме существует связь:

C_p=c_p и C_v=c_v,

где

, а .

Таким образом, для удельныхтеплоемкостей имеем:

а.

Зная, что неон одноатомныйгаз длянего число степеней свободы i=3, =2010^-3 кг/моль, а водород двухатомный газ для него число степеней свободы i=5, =2710^-3 кг/моль. Подставляя в каждую из выше записанных формул значения и значение универсальной газовой постоянной R=8,31 Дж/(мольК), вычисляем удельные теплоемкости для:

1) неона

2) водорода

.

1.2.2. Найти отношение удельных теплоемкостей при постоянном давлении и постоянном объеме для кислорода.

Решение. Отношение удельных теплоемкостей при постоянном давлении и постоянном объеме идеального газа равно отношению его молярных теплоемкостей при постоянном давлении и постоянном объеме:

Зная, что молярные теплоемкости при постоянном давлении и при постоянном объеме связаны с числом степеней свободы и равны

и

Для отношения удельных теплоемкостей будем иметь

Кислород двухатомный газ, следовательно, число степеней свободы i=5. Подставляя значение i в вышезаписанную формулу, имеем:

1.2.3. Удельная теплоемкость некоторого двухатомного газа равна 14,7 кДж/(кгК). Найти молярную массу этого газа.

Решение. Известно, что удельная теплоемкость при постоянном давлении связана с молярной теплоемкостью газа:

Молярная теплоемкость при постоянном давлении

где I – число степеней свободы газа.

Таким образом:

Откуда

Подставляяв полученную формулу значения данных в условии задачи величин, сучетом того, что для двухатомного газа i=5, будем иметь:

1.2.4. Вычислить удельные теплоемкости при постоянном объеме и постоянном давлении смеси неона и водорода, если массовые доли неона и водорода составляют ₁=80% и ₂=20% соответственно. Удельные теплоемкости для неона с_v=6,2410² Дж/(кгК), с_p==1,0410³ Дж/(кгК); для водорода-с_v=1,0410⁴ Дж/(кгК), с_p==1,4610⁴ Дж/(кгК).

Решение. В общем случае количество тепла необходимого для нагревания смеси газов, например, при нагревании в условиях постоянного объема от температуры Т₁ до температуры Т₂ равна:

где с_v(см) – удельная теплоемкость смеси;

(m₁+m₂) – масса смеси;

(T₂–T₁) – изменение температуры.

С другой стороны это количество тепла может быть вычисленопо формуле:

где Q₁ и Q₁ – соответственно количество тепла, которое необходимо

сообщить, чтобы изменить температуру неона и водорода в отдельности;

с_v1 и с_v2 – удельные теплоемкости неона и водорода при постоянном объеме;

m₁ и m₂ – массы неона и водорода.

Таким образом имеем:

или

откуда

где и– массовые доли неона и водорода соответственно.

Подставляячисленные значения для удельнойтеплоемкости смеси неона иводорода при постоянномдавлении, будемиметь:

Аналогично можно получить формулу для определения удельной теплоемкости смеси неона и водорода при постоянном давлении:

Подставляя численные значения для удельной теплоемкости смеси при постоянном давлении, будем иметь:

1.2.5. Кислород массой 2 кг занимает объем V1=1 м3 и находится под давлением p₁=0,2 МПа. Газ был нагрет сначала при постоянном давлении до объема V₂=3 м³, а затем при постоянном объеме до давления p₃=0,5 МПа. Найти изменение внутренней энергии газа.

Решение. Изменение внутренней энергии газа

U=c_vmT,

где c_v=iR/2 – удельная теплоемкость при постоянном объеме;

 – молярная масса газа;

Т=(Т₂ – Т₁) – изменение температуры газа в конечном и начальном состояниях;

i=5 – число степеней свободы (кислород двухатомный газ).

Температуру газа в начальном и конечном состояниях можно определить из уравнения Менделеева–Клапейрона:

.

Для начальной температуры

.

Для конечной температуры

Тогда изменение внутреннейэнергиигаза

Подставляячисленные значения, будем иметь

1.2.6. Масса m=10 г кислорода находится при давлении p=0,3 МПа и температуре 10 ^oС. После нагревания при постоянном давлении газ занял объем V₂=10 л. Найти количество теплоты Q, полученное газом, и энергию теплового движения молекул газа W до и после нагревания.

Решение. Количество теплоты Q, полученное газом в процессе нагревания

где – молярная теплоемкость газа при постоянном давлении;

i=5 – число степеней свободы (кислород двухатомный газ);

R=8,31 Дж/(моль7К) – универсальная газовая постоянная;

=0,032 кг/моль – молекулярная масса кислорода;

T₁ и T₂ – температуры газа в начальном и конечном состояниях. Для определения температуры газа в конечном состоянии воспользуемся соотношением между температурой и объемом газа, нагреваемого в условиях постоянного давления:

откуда

Воспользовавшись уравнением Менделеева–Клапейрона:

находимобъем газа в начальном состоянии:

Для конечной температуры будем иметь соотношение:

Подставляя численные значения, определяем конечную температуру газа:

Подставляячисленные значения находим количество теплоты, полученное газом в процессе нагревания:

Энергию теплового движения молекул газа можно определитьпо формуле

где C_V=iR/2 – молярная теплоемкость газа при постоянном объеме.

Таким образом, для энергии теплового движения молекул газа в начальном состоянии имеем:

в конечном состоянии:

.

1.2.7. Кислород массой 2 кг занимает объем V₁=1 м³ и находится под давлением p₁=0,2 МПа. Газ был нагрет сначала при постоянном давлении до объема V₂=3 м³, а затем при постоянном объеме до давления p₃=0,5 МПа. Найти изменение внутренней энергии газа, совершенную им работу и теплоту, переданную газу.

Решение. Известно, что изменение внутренней энергии газа пропорционально изменению его температуры, при этом

где Т=T₃-T₁.

Из уравнения Менделеева-Клапейрона

можно определить температуры, характерные для соответствующих состояний:

.

Таким образом, температура газа в начальном состоянии

T₁=p₁V₁/mR,

в промежуточном

T₂₌p₂V₂ /mR,

в конечном

T₃=p₃V₃ /mR.

Следовательно, для изменения внутренней энергии газа при его переходе из начального состояния в конечное состояние, имеем:

В процессе перехода газ совершал работу

A=A₁+A₂,

где A₁ – работа газа, совершенная при переходе в условиях постоянного давления;

A₂ – работа газа, совершенная при переходе в условиях постоянного объема.

Работа газа, совершенная при переходе в условиях постоянного давления определяется соотношением:

а работа газа, совершенная при переходе в условиях постоянного объема:

т.к. V=0.

Таким образом, в данном случае

Количество тепла, переданного газу равно сумме изменения его внутренней энергии и работы, совершенной им:

Проверив размерность и подставив численные значения величин, будем иметь

Т₁=0,210⁶13210^-3/8,3110³2=385 К;

Т₂=0,210⁶33210^-3/8,3110³2=1155 К;

Т₃=0,510⁶33210^-3/8,3110³2 =2888 К;

U=528,31(2888-385)/23210^-3=3,2510³ Дж;

A=28,31(1155-385)/3210^-3=0,410³ Дж;

Q=3,2510³+0,410³=3,6510³ Дж.

1.2.8. Масса 12 г азота находится в закрытом сосуде объемом

V=2 л при температуре t=10 ^oС.После нагревания давление в сосуде стало равным p=1,33 МПа. Какое количество теплоты Q сообщено газу при нагревании?

Решение. Так как объем газа не изменился, то сообщенное ему количество теплоты пошло на изменение его внутренней энергии

Q=U,

которое в свою очередь можно определить так:

U=mC_V(T₂–T₁)/=mC_V T/,

где Cv=iR/2 – молярная теплоемкость азота при постоянном объеме.

Следовательно

U=miR(T₂–T₁)/2.

Для определения конечной температуры T воспользуемся тем, что принагревании газав условиях постоянного объема отношение давлений пропорционально отношению его температур в начальном и конечном состояниях p₁/p₂=T₁/T₂.

Имеем

T₂=T₁p₂/p₁.

Начальнoe давление определяем из уравнения Менделеева-Клапейрона, записанного для первоначального состояния:

p₁V₁=mRT₁/;

p₁=mRT₁/V₁.

Так как по условию задачи V₁=V₁=V, то для конечной температуры имеем:

T₂=p₂V/mR.

Подставляя значение T₂ в формулу изменения внутренней энергии, которое равно количеству тепла, сообщенному газу, окончательно получим:

Q=imR(p₂V/mR-T₁)/2.

Размерность полученного результата очевидна. Численное значение Q равно

Q=4,1310³ Дж=4,13 кДж.

1.2.9. Баллон емкостью V =20 л с кислородом при давлении p =100 ат и температуре t=7 ^oС нагревается до t=27 ^oС. Какое количество теплоты при этом поглощает газ?

Решение. Поскольку коэффициенты теплового расширения для твердых тел значительно меньше (приблизительно в сто раз), чем для газов, в условиях данной задачи можно пренебречь расширением баллона и считать процесс нагревания газа изохорным.

При изохорных процессах, подводимое к системе количество тепла идет на изменение ее внутренней энергии.

Из определения молярной теплоемкости следует, что элементарное количество теплоты, сообщенное телу при повышении его температуры на dT, равно: dQ=C_VdT.

Число молей найдем из уравнения газового состояния (Менделеева-Клапейрона) =m/=p₁V/RT₁.

Так как газ нагревается при постоянном объеме, то С=С_V, где С_V=iR/2.

Подставив значения  и С_V в формулу для элементарного количества тепла, получим:

Отсюда, интегрируя и учитывая при этом, что все величины i, p₁, T₁, V – постоянные, найдем полное количество теплоты, поглощенное газом при нагревании от T₁ до T₂, которое численно и будет равно изменениюего внутренней энергии:

Q=U =ip₁V(T₂-T₁)/2T₁.

Проверив размерность, подставив в полученную формулу значения входящих величин в системе СИ, произведем вычисления:

U=59,810⁵210^-3(300-280)/2280=3510³ Дж=35 кДж.