1.3. Эконометрические модели

Собственно говоря, эконометрия как самостоятельная дисциплина у вас была на третьем курсе, поэтому вдаваться в детальное объяснение, что это такое и чем она занимается, мы не будем. Напомним основные моменты.

Вэконометрии обычно используется два типа данных:

1.Пространственные данные,

2.Временные ряды.

(1)— набор различных показателей в один и тот же момент времени в разных системах. Например, объём производства, количество работников, суммарные затраты и т.п. на нескольких похожих заводах.

(2)— набор данных одного и того же типа за разные промежутки времени. Например, данные по индексам ММВБ за январь — август 2009. Отличительной чертой (2) является то, что они естественным образом упорядочены во времени. Кроме того, наблюдения в близкие моменты времени часто бывают зависимыми.

Соответственно все модели эконометрии можно условно разделить на следующие виды (по критерию «тип используемых данных»):

1. Модели панельных данных:

Нас в курсе ЭММ больше всего интересует возможность прогнозирования тех или иных социально-экономических процессов. Очевидно, что ни один из прогнозов не обходится без данных о прошлом, то есть без временных рядов, поэтому давайте подробней рассмотрим, что собой представляют временные ряды.

Часто учёные, не вдаваясь в суть временного ряда, определяют его формально, например: «временные ряды – это барометр; они наглядно отображают наиболее существенные тенденции развития» , или «одни ряды представляют собой последовательность чисел, отражающих величину того или иного показателя во времени. Это так называемые временные ряды или ряды динамики» , или «временным рядом... называют последовательность упорядоченных во времени наблюдений, обозначаемых, например, x1, x2, … , xt,…, xT». Или «Под временным рядом понимается последовательность наблюдений некоторого признака X в различные, чаще всего равноотстоящие, моменты времени».

Все эти определения кажутся простыми, логичными и полными, но они носят отпечаток статистики, в которой считается, что каждое наблюдение носит случайный характер и является полномочным представитель некоторой генеральной совокупности. А раз так, то у данного экономического процесса есть некоторые статистические характеристики (математическое ожидание, дисперсия), которые становятся тем точнее,

13

чем большее число наблюдений имеется у исследователя. Этот подход, кажущийся динамическим на деле является абсолютно статичным. Практически все эконометрические модели отражают экономическую реальность в некоторой застывшей неизменности структуры, взаимосвязей и равновесия элементов. Для статики основной предпосылкой анализа экономического процесса является неизменяемость, тождественность происходящих процессов. Для динамики — непрерывность процессов изменения всех взаимосвязей и показателей.

Практически все эконометристы определяют динамический ряд как некоторую последовательность значений показателя во времени. Таким образом, статистические данные о развитии экономических, технических и физических систем, упорядоченные во времени, в одинаковой степени можно назвать динамическими. Но из общности названия вовсе не следует, что это — ряды, обладающие одинаковыми свойствами, и их обработку необходимо производить одними и теми же статистическими методами.

Здесь мы имеем тот случай, когда за видимой простотой скрывается достаточно сложная проблема.

Дело в том, что технические, физические и другие не экономические системы могут развиваться, изменяясь во времени. Но этот процесс развития практически никогда не является эволюционным. Для динамических рядов, отражающих изменение таких систем, время является лишь индексом упорядочения этих данных. При этом практически неважно, какое численное значение приобретает индекс t. Равен ли он двум, двадцати или двум тысячам, важно лишь то, что в череде развития того или иного процесса показатель с этим индексом стоит на втором, двадцатом или двухтысячном месте (впрочем, в целом ряде случаев изучения технических систем и физических явлений и это неважно). Все остальные показатели также занимают свое место в соответствии с полученным индексом.

Когда же дело касается органической природы, общества или экономики, время уже становится не только индексом, но и показателем эволюционного развития. Никто из экономистов никогда не скажет, что ему все равно, сколько ему лет — два, двадцать или сто двадцать! Так почему же показатели роста экономических систем, которые так же эволюционируют, как и организм человека, упорядочивая во времени, рассматривают только как отмасштабированные и систематизированные данные? Очевидно, что рост человека в пять и в пятьдесят лет отражает не только процесс развития организма, но и его качественно различные состояния. Точно также данные производства промышленностью в 1975 г. и 2005 г. отражают и процесс развития системы промышленности, и качественно различные её состояния.

Ни один нормальный врач при осмотре семидесятилетнего пенсионера на медицинском приеме в поликлинике не поинтересуется ростом пациента в семимесячном возрасте, так как качественное состояние пациента в семимесячном возрасте отличается от качественного состояния его в момент приема, если не рассматривается случай врожденной патологии. Однако сторонники статичного подхода, исследуя отнюдь не патологические случаи экономического роста, при моделировании экономики стремятся собрать как можно больше статистической информации, считая, что чем больший временной период охватывают статистические данные, тем точнее окажется предсказание будущего!

Если использовать динамический подход к временным рядам социальноэкономической динамики, то отношение к ним будет принципиально иным. Необходимо

14

отличать временной ряд {Yt}, где t – время, и упорядоченный ряд {Yi}, где i – порядковый номер (упорядочивание может происходить во времени, тогда i=t).

Тогда можно определить временной ряд следующим образом: временным

(динамическим) можно назвать упорядоченный во времени ряд наблюдений, в котором время наблюдения характеризует особенность состояния внешних и внутренних факторов поведения объекта наблюдения, в результате чего формирование ряда осуществляется неслучайным образом.

Итак, мы пришли к корректному определению временного ряда, которое позволяет нам по новому взглянуть на прогнозирование экономических процессов. Временной ряд может формироваться в разных условиях, которые предопределяют его характеристики и свойства. В зависимости от того, с каким процессом мы сталкиваемся, мы получаем разные временные ряды.

Внаиболее общем случае процесс может быть обратимым или необратимым.

1.обратимый:

•стационарный,

•нестационарный,

2.необратимый:

•эволюционный,

•хаотический.

Обратимый процесс характеризуется постоянством некоторых статистических характеристик, сохраняющихся вне зависимости от времени наблюдения. Например, если процесс описывается экспоненциальной функцией, то он описывается ею же вне зависимости от наблюдения, на котором он рассматривается: то есть меняется номер наблюдения, уровень ряда, но не коэффициенты и тип описывающей функции. Такие процессы прогнозируются с помощью моделей теории вероятности и математической статистики. У них ошибка аппроксимации чаще всего распределена в соответствии с нормальным законом распределения, легко находится математическое ожидание (описываемое какой-то функцией) и дисперсия. Такие процессы в экономике очень хорошо описываются и прогнозируются с использованием эконометрических методов. К ним можно отнести, например, процесс выпуска продукции на уровне предприятия в условиях стабильной экономико-политической системы — в таком случае на результат влияет не так много факторов, наиболее важные из которых стационарны, и их можно учесть в модели.

Во втором случае тенденции процесса либо меняются во времени (процесс носит эволюционный характер), либо просто отсутствуют (хаотический характер). Такие процессы описать и спрогнозировать крайне сложно, и наилучший результат для процессов с изменяющейся тенденцией дают адаптивные модели: например, модель Брауна, модель Холта, метод стохастической аппроксимации и тому подобное. Необратимыми является большая часть происходящих в экономике процессов, начиная от динамики курсов валют на рынке Форекс, заканчивая динамикой ВВП. На такие процессы влияет большое число факторов, учесть которые просто не представляется возможным.

15

Влияние части из них с течением времени усиливается и прогнозируемая социальноэкономическая система меняет свои свойства качественно, а не только количественно, адаптируясь к этому внешнему влиянию. В таком случае и построенная модель должна так или иначе корректироваться в зависимости от поступающей информации, то есть быть адаптивной.

Характерной чертой необратимых процессов является то, что увеличение числа наблюдений не улучшает характеристики модели. В случае, например, с ВВП России, если построить модель за 2000 — 2008 года, то результат прогноза по ней будет лучше, чем, если строить её по большему ряду данных (например, за 1990 — 2008 года). То есть увеличение числа наблюдений в данном случае только ухудшит прогнозные и аналитические свойства модели.

Графически все 4 типа процессов могут быть представлены следующим образом:

Стационарный обратимый процесс представляет собой некоторые случайные колебания вокруг некоего математического ожидания с определённой дисперсией.

16

В нестационарном обратимом процессе математическое ожидание описывается некоторой математической функцией. Отклонения от этой функции носят случайный характер и подчинены нормальному закону распределения. Пример на графике представляет процесс, который может быть описан, например, экспоненциальной функцией.

Yt

t

Рисунок 3: Эволюционный процесс

В эволюционном необратимом процессе появляющиеся тенденции под воздействием каких-либо факторов с течением времени меняются: вначале имеется одно математическое ожидание и дисперсия, спустя некоторое время в системе происходят качественные изменения, в результате чего статистические характеристики меняются (например, математическое ожидание может описываться уже совершенно другой функцией).

17

В хаотическом необратимом процессе все характеристики всё время меняются, причём резко и непредсказуемо.

Итак, что такое временной ряд, и какие они бывают, мы с вами только что выяснили, давайте теперь разберёмся с тем, что же такое «прогноз», прогнозирование, какие виды прогнозирования существуют и какими методами в прогнозировании пользуются.

Несмотря на очевидную смысловую и логическую простоту термина «прогноз», его четкое научное определение — не самая легкая задача. Иногда в тех или иных модификациях встречается определение, сформулированное таким образом: «прогноз — это вероятностное суждение о состоянии какого-либо объекта (процесса или явления) в определенный момент времени в будущем и (или) альтернативных путях достижения каких-либо результатов». Или: «экономический прогноз — это некоторая гипотеза, некоторая вероятностная оценка протекания экономического процесса в будущем».

Как видите, в таких определениях имеется вероятностная оценка прогноза. Однако построить вероятностную модель можно только тогда, когда можно рассчитать математическое ожидание, дисперсию и пр. показатели. В экономике же чаще приходится строить модели в условиях неопределённости и, более того, как мы только что выяснили, в случае с необратимыми процессами математическое ожидание и дисперсия всё время меняются во времени, из-за чего их вычисление не представляется возможным.

Неопределённость объективно возникает при прогнозировании большинства случаев социально-экономической динамики, так как обычно все экономические явления имеют либо эволюционный, либо хаотический характер. Зачастую на практике удаётся дать лишь граничные значения прогнозируемого явления без указания каких-либо вероятностных характеристик. Методы математической статистики в таких условиях оказываются неуместными. Поэтому более правильным является следующее определение прогноза:

Прогноз — научно обоснованное суждение о возможных состояниях объекта в будущем и (или) об альтернативных путях и сроках их осуществления.

18

Очевидно, что в соответствии с данным определением не все суждения считаются прогнозами, а только научно обоснованные. Например, если в результате изучения кофейной гущи предсказывать, что студент X получит зачёт по математическим методам в экономике на халяву, то это будет не научно обоснованное суждение, а следовательно и не прогноз. Скорее это будет просто попытка предсказать состояние студента X в определённый момент времени. С прогнозом она никак не связана.

Зная определение прогноза, легко можно дать определение и «прогнозированию» — это процесс разработки прогноза. В целом прогнозирование может быть представлено в качестве некоторой системы подходов и методов, используемых для достижения наиболее точного прогноза.

Прогнозирование помимо всего прочего ещё и оперирует следующими определениями:

Период упреждения прогноза — это тот промежуток времени, на который разрабатывается прогноз. Чаще всего в практике прогнозирования употребляют для обозначения периода упреждения другие словосочетания — время упреждения, период прогнозирования, срок прогнозирования, дальность прогноза и т.п. Период прогнозирования является одним из классификационных признаков, по которому можно осуществить группировку прогнозов.

Любой прогноз основан на изучении некоторого прошлого множества наблюдений. Этот промежуток времени, на основании которого строится прогноз, получил название

периода основания прогноза.

Период основания Период упреждения

t

Текущий момент

Рисунок 5: Период основания и период упреждения прогноза

Любой прогноз обладает присущими ему характеристиками. Такими характеристиками являются:

•точность прогноза — оценка доверительного интервала прогноза для определенной доверительной вероятности его осуществления (в том случае, когда прогноз имеет вероятностный характер),

•достоверность прогноза — оценка вероятности осуществления прогноза для заданного доверительного интервала (в том случае, когда прогноз имеет вероятностный характер),

•ошибка прогноза — фактическая величина отклонения прогноза от действительного состояния объекта прогнозирования.

Втом случае, когда вероятностные оценки прогноза не могут быть даны, точность прогноза и его достоверность определяются качественными, а не количественными

19

характеристиками или задаются границами без указания вероятности попадания прогнозируемой величины в эти границы.

При выборе метода прогнозирования следует исходить из ряда обязательных принципов прогнозирования:

•принцип системности, который предполагает комплексное изучение объекта с позиций единой системы взаимосвязей явлений и факторов, составляющих его прогнозный фон,

•принцип природной специфичности, который требует тщательного изучения особенностей объекта прогнозирования, делающие его отличным от других объектов. Именно выявление этих особенностей позволяет избежать ошибки инструментария, когда используемый прогнозный аппарат оказывается непригодным для данного объекта из-за присущих ему специфичных свойств,

•принцип оптимальности затрат, состоящий в естественном желании провести анализ, да и осуществить прогноз с минимальными затратами трудовых и материальных ресурсов.

Особенности объектов прогнозирования таковы, что точность прогноза меняется не только в зависимости от природы объекта, но ещё и в большей степени от дальности прогноза. Так, если нужно сделать прогноз на ближайшее время, то в силу инерционности, объект прогноза не успевает значительно изменить свои характеристики, поэтому в большей степени оценивается не состояние объекта, а скорее то, как он может отклониться от своего значения. А вот, если прогноз делается на длительное время, то задача уже стоит несколько иная — рассчитать долговременную траекторию движения объекта, а любые отклонения от неё оцениваются уже как прогнозный фон.

Это предопределяет различие в методах прогнозирования, поэтому один из самых распространённых методов классификации прогнозирования — это по критерию «по периоду упреждения»:

1.оперативные,

2.текущие,

3.краткосрочные,

4.среднесрочные,

5.долгосрочные,

6.дальнесрочные.

Однако с точки зрения методов прогнозирования эту классификацию можно свести к 3-

мпунктам:

1.краткосрочные,

2.среднесрочные,

3.долгосрочные.

20

Прогнозы первой группы основаны на прогнозировании на очень короткий промежуток времени, в основном на учёт действия случайного фактора. Для временного ряда это означает прогнозирование на 1 — 2 шага вперёд.

Ко второй группе прогнозов можно отнести методы, при которых осуществляется изучение, анализ и прогнозирование, как случайных факторов, так и тенденций развития основных, определяющих факторов на недалёкую перспективу.

К третьей группе следует отнести методы долгосрочного и дальнесрочного прогнозирования, когда прогнозируются не только детерминированные и случайные, но и неопределённые факторы.

В своё время экономисты пытались разделить прогнозы по жёстко фиксированным временным интервалам. Например, говорили, что «краткосрочный прогноз имеет период упреждения – от одного месяца до года, среднесрочный – от года до пяти лет, долгосрочный от пяти до пятнадцати лет, дальнесрочный – свыше этого периода». Однако это несколько не корректная точка зрения, так как, например, для фондового рынка период от одного месяца до года — это не краткосрочный прогноз, а долгосрочный. А для Мировой экономики прогноз на год — скорее краткосрочный. Поэтому говоря о сроках, надо учитывать период времени, в течение которого объект продолжает развиваться по инерции, то есть «период инерционности». Если период инерционности невелик, как в случае с фондовым рынком, то и краткосрочным прогноз будет на короткий временной промежуток. Таким образом можно более точно определить виды прогнозов:

Краткосрочный прогноз – это прогноз на такой промежуток времени, который мал по отношению к периоду инерционности. Поэтому за этот период особых изменений в тенденциях развития объекта прогнозирования произойти не может.

Среднесрочный прогноз выполняется на промежуток времени, соизмеримый с периодом инерционности объекта прогнозирования. Поэтому для таких видов прогноза важно правильно выявить и промоделировать динамику развития объекта – модель такой динамики и будет выступать в качестве прогнозной модели.

Долгосрочный прогноз выполняется на период упреждения, значительно превышающий период инерционности. В этот период на динамику объекта прогнозирования могут оказать существенное влияние факторы, свойства которых в момент выполнения прогноза ещё не до конца известны, или даже сами факторы не известны. Здесь задача прогнозиста оценить многовариантные сценарии развития объекта прогнозирования, опираясь, конечно, на сложившиеся тенденции его развития.

Рисунок 6: Виды прогнозов по периоду упреждения с учётом инерционности системы

21

Итак, ознакомившись с классификацией прогнозов и основными характеристиками временных рядов, перейдём к рассмотрению того, какие методы чаще всего используются в различных видах прогнозирования. Все наиболее популярные методы можно представить в таблице 1.

Таблица 1: Методы прогнозирования в зависимости от типа процесса и периоду упреждения прогноза

Прежде чем приступить к непосредственному разбору и рассмотрению этих методов, нам стоит понять, каким образом мы можем выяснить, насколько хорошо наша модель описала ряд данных (помимо графического представления). А для этого часто используют несколько показателей оценки моделей.

1. Средние относительные ошибки аппроксимации:

Обычно за базу для расчёта ошибки аппроксимации принимают либо сумма квадратов отклонений, либо модули отклонений:

Y - среднее значение по исходному ряду данных.

Они характеризуют то, насколько процентов наша модель отклоняется от фактических значений. И всем вроде бы хороши эти формулы, но у них есть ряд недостатков:

Вчастности, значения коэффициентов очень сильно зависят от исходного ряда данных.

Впервом случае это выражается Y : если ряд данных колеблется вокруг нуля (например, прибыль на предприятии может быть как положительной, так и отрицательной или близкой к нулю), то коэффициент при любом значении модели получается огромным.

22

В эконометрике этот коэффициент считается по другой формуле и имеет несколько иной смысл, но мы будем его рассчитывать как квадрат коэффициента корреляции между фактическими и расчётными значениями, потому что нам нужна характеристика того, насколько фактические значения в среднем совпадают с расчётными. Для расчёта

Здесь стоит напомнить смысл коэффициента корреляции, так как у многих исследователей по этому поводу имеется серьёзное недопонимание. Коэффициент корреляции показывает лишь близость связи между показателями к линейной. То есть, если коэффициент корреляции оказался близок к нулю, то это говорит не о том, что связь между показателями отсутствует, а о том, что между показателями нет линейной связи. Но вполне возможно, что в таком случае между показателями имеется какая-то сложная нелинейная связь.

У коэффициента детерминации, рассчитанного по (1.3.3.) есть один недостаток: в случае, если прогнозная модель получилась с систематическим завышением или занижением, но при этом хорошо повторяет динамику исходного ряда, коэффициент окажется большим, что по идее соответствует ситуации, в которой модель очень хорошо описывает исходный ряд.

3. Коэффициент соответствия:

Этих недостатков лишён коэффициент соответствия, с помощью которого также можно оценить адекватность модели. Он рассчитывается по несколько более сложной формуле:

Однако у этого коэффициента также есть своя особенность, которая в некоторых случаях может быть достоинством, а в некоторых — недостатком: в формуле участвует не

Коэффициент соответствия меняется в пределах от -100% до 100%. Он близок к нулю в случае, если модель плохо описала ряд данных. Чем большее значение принимает коэффициент соответствия, тем лучше модель описала имеющийся ряд данных. В случае,

23

если расчётные данные противоположны фактическим, коэффициент соответствия получается отрицательным.

4. Коэффициент сбалансированности:

Существует ещё один коэффициент, по которому можно сделать выводы о качестве модели — коэффициент сбалансированности:

Коэффициент может быть как действительным, так мнимым или комплексным числом, и по нему можно сказать, насколько точно модель описывает данные и насколько в среднем расчётные значения оказались выше либо ниже фактических. Чем сильнее модель совпадает с фактическими значениями, тем ближе коэффициент сбалансированности к нулю. В случае, если модель имеет некоторое систематическое завышение над фактическими данными, мнимая часть коэффициента сбалансированности по модулю становится больше действительной. В случае с систематическим занижением, действительная становится больше мнимой.

На семинарских занятиях мы будем с вами пользоваться первыми тремя коэффициентами. Однако желающие могут рассчитать ещё и четвёртый коэффициент – его расчёт и трактовка будут давать дополнительные баллы.

24