1.2. Модели математической экономики. Производственные функции

Как мы уже с вами выяснили математическая экономика занимается разработкой моделей на основе предположений и аксиом. Такими моделями, например, являются функции спроса и предложения, которые были выведены Маршаллом ещё в 1890 году. Собственно говоря, вся микроэкономика и макроэкономика строятся на основе таких моделей. Мы в нашем курсе не будем подробно останавливаться на этих моделях и рассмотрим только одну, которая обладает высокой практической ценностью. Это модель производственной функции (ПФ).

Вообще существует много определений ПФ, но все они сводятся к одному: ПФ – это математическое описание зависимости между какими-либо результатами и факторами производства.

То есть математически ПФ — это функция, описывающая зависимость вида:

Обычно в модели участвуют самые существенные факторы производства: труд, капитал, иногда земля. В качестве результата может выступать как количество товара в штуках, так и количество, измеренное в денежных единицах, т. е., фактически, доход предприятия.

Исследователи по разным критериям выделяют несколько типов производственных функций:

1. По наличию условия оптимальности:

•Мажоритарные (те, которые описывают оптимальный производственный процесс при данных затратах факторов производства). Иногда ещё эти ПФ называют «детерминистскими» или «идеальными». Суть модели сводится к объяснению того, каким мог бы быть выпуск продукции, если бы производственный процесс на предприятии был бы отлажен идеально;

•Дескриптивные (те, которые описывают существующий производственный процесс). В некоторых источниках они называются «эконометрическими» или «реальными». Их суть сводится к описанию того, что же происходит на производстве на самом деле;

Дескриптивные производственные функции строятся, в основном, для прогнозирования. Мажоритарные — для анализа производственных процессов.

2. По учёту неопределённости:

•Стохастические (учитывают условие неопределённости);

•Детерминированные (не учитывают условие неопределённости); 3. По типу ресурсов:

•Производственные функции со взаимозаменяемыми ресурсами;

8

•Производственные функции со взаимодополняемыми ресурсами. 4. По виду используемой математической функции:

•Аддитивная,

•Мультипликативная.

«Процесс построения производственной функции включает этапы экономикоматематического моделирования, в том числе выделения существенных факторов, включаемых в модель, выбор вида функции (математической модели), нахождение числовых значений параметров при помощи корреляционного и регрессионного анализа».

Существует ряд популярных производственных функций, которые изучаются в экономике:

1.Линейная производственная функция,

2.Производственная функция Кобба-Дугласа,

3.Производственная функция Леонтьева,

4.Производственная функция с постоянной эластичностью замены (CESфункция).

Пример линейной ПФ:

здесь Q – объём выпуска продукции, L – затраты труда, K – затраты производственных фондов или «капитала», a и b — веса соответствующих ресурсов в объёме выпуска, c – некоторая константа. Как видно, в такой функции, если содержание одного из ресурсов равно нулю, то производственный результат всё равно будет положительным. Получается, что например, не привлекая к производству ни одного человека, будет получаться какойто производственный результат. Очевидно, что это противоречит здравому смыслу (по крайней мере на данном этапе развития нашего общества). Поэтому большее распространение получили мультипликативные ПФ, в частности — однородные производственные функции, так как они удобны для содержательной интерпретации и вычислений.

Это означает, что с ростом затрат производства в λ раз результат производства вырастет

в λn раз. Показатель степени однородности n характеризует изменение эффективности производства с ростом производственных затрат.

Теоретически возможны три случая:

1. Эффективность остаётся постоянной (n=1);

9

2.Эффективность падает (n<1);

3.Эффективность растёт (n>1).

Как это ни парадоксально, снижение эффективности производства при увеличении его объёма есть следствие рационального ведения хозяйства. Это объясняется тем, что по мере увеличения производства приходится использовать всё менее эффективные ресурсы и технологические процессы.

Примером однородной мультипликативной ПФ может выступать любимая многими экономистами степенная ПФ (ака Кобба-Дугласа):

f L , K =a L α K β= α β a Lα K β= α β a Lα K β ,

откуда: n= .

В 1924 г. Поль Дуглас, изучая данные по объему промышленного выпуска США за разные годы и количества используемых труда и капитала в это время, случайно обнаружил зависимость, которая впоследствии с помощью его друга-математика Кобба была выражена функцией, имеющей вид:

При этом обязательным условием существования функции является:

0<α<1.

Функция достаточно точно отражала зависимость суммарного выпуска промышленности от общего объема использования труда и капитала. Сеё помощью моделируется процесс производства на любом уровне – предприятия, региона или страны в целом, поэтому она выступает важным элементом, отражающим одну сторону экономики – преобразования ресурсов в результат. Функцию Кобба-Дугласа стали активно использовать в моделировании на макроуровне, а её свойства стали не менее активно изучать.

На данный момент все степенные ПФ называются Кобба-Дугласа. То есть необязательно, чтобы сумма показателей была равна 1. Но чаще всего всё-таки это ограничение вводят.

У ПФ Кобба-Дугласа есть несколько преимуществ, благодаря которым она становится очень удобной для построения более сложных моделей.

Во-первых, будучи мультипликативной, ПФ Кобба-Дугласа не допускает ситуаций, в которых затраты какого-либо ресурса были бы равны нулю, а выпуск при этом всё равно оставался бы положительным.

Во-вторых, функция базируется на идеи о том, что в производстве продукции должны быть задействованы ресурсы с определёнными «долями»: доля L определяется величиной α, доля капитала — величиной β. Получается, что результат как бы разделяется на части.

10

Ну, и в-третьих, как вы знаете, показатели эластичности выпуска по ресурсам для ПФ Кобба-Дугласа равны соответствующим показателям степени:

Как вы помните из курса ОЭТ показатель эластичности выпуска по соответствующему ресурсу показывает, насколько изменится результат производства при изменении ресурса на 1%. То есть получается, что показатели ПФ имеют достаточно простую трактовку.

Однако всё это важно лишь для построения более сложных моделей, таких, например, как модели экономической динамики, модели экономического роста и т. д.

Если мы используем производственную функцию как инструмент для прогнозирования, то нам не важно, будет ли объём выпуска нулевым, если мы не будем привлекать рабочую силу (она у нас в любом случае будет использоваться), нам не важно однородная она первой степени или 135-й, нам не важно, действительно ли показатели степени показывают эластичность выпуска по ресурсам или нет. Всё, что нам важно при прогнозировании — это чтобы построенная функция хорошо моделировала зависимости между результатом и затратами.

В качестве лирического отступления можно заметить, что в микроэкономике частенько встречаются задачки, в которых труд, например, измеряется в человекочасах, капитал — в рублях, а объём продукции в штуках, и просят что-нибудь сделать с производственной функцией для того, чтобы получить какие-то выводы. В такой формулировки имеется нарушение логики экономико-математического моделирования. Чтобы показать его запишем величины в их размерности в формулу ПФ Кобба-Дугласа:

штуки=a человекочасы рубли

Предположим, что α = 0,25, β = 0,75. Чтобы сохранялась размерность надо, чтобы наш показатель a имел странную размерность:

a= штуки

человекочасы0,25 рубли0,75 .

Но обычно он не имеет никакой размерности, в результате чего и происходит нарушение логики моделирования. Для того, чтобы избегать таких небольших казусов, следует все показатели приводить к единой размерности.

ПФ Леонтьева, о которой было упомянуто чуть ранее, имеет следующий вид:

В этой функции показатели a и b характеризуют пропорции, в которых должны использоваться капитал и труд для получения требуемой величины выпуска. Эта функция используется в случае со взаимодополняющими ресурсами (когда имеется пропорция, которой надо придерживаться для получения результата. Например, в кулинарии). Функция достаточно часто используется в микроэкономике при решении различных задач, но при прогнозировании используется крайне редко.

CES-функция выглядит следующим образом:

11

F – это некоторый фактор производства,

a – показатель, характеризующий распределение «долей» между капиталом и трудом,

Эта функция используется ещё реже функции Леонтьева, так как требует значительно больших вычислений, нежели остальные функции.

В итоге чаще всего в моделировании используют мультипликативные степенные производственные функции (Кобба-Дугласа), на данный момент практически не появляются какие-либо новые виды производственных функций. Всё, что происходит в этом направлении на данный момент (начиная с 70-х годов) – это внесение модификаций в уже существующие модели. Так, например, в своё время появилась мультипликативная производственная функция с учётом научно-технического прогресса (НТП), которая в самом простом виде может быть записана следующим образом:

где j – параметр НТП, а t – время.

При этом складывается такое ощущение, что появление этой модификации в большей степени вызвано ошибкой в вычислениях при расчёте коэффициентов ПФ Кобба-Дугласа с помощью метода наименьших квадратов (из-за линеаризации модели). Однако этого вопроса мы коснёмся подробней в теме «среднесрочное прогнозирование обратимых процессов».

Из новейших направлений в области теории производственных функций можно выделить ПФ с использованием комплексных переменных (КП). Преимущество таких функций заключается в том, что за счёт более сложного математического аппарата — комплексных переменных, выводятся более сложные зависимости: не одной переменной от нескольких, как в классических ПФ, а двух от нескольких:

Здесь G и C – результаты производства (в частности, например, прибыль и суммарные затраты), i — мнимая единица (число, удовлетворяющее равенству: i2=−1 ).

Не вдаваясь в детали, приведём пример одной из таких функций — степенную ПФКП:

Коэффициенты этой функции могут быть найдены на каждом наблюдении, в результате чего по ним можно судить об эффективности функционирования предприятия. В случае с ПФ К-Д делать этого нельзя, так как её коэффициенты, находящиеся МНК по нескольким наблюдениям, выступают не показателями состояния на предприятии, а просто усреднёнными значениями, при которых функция лежит ближе всего к данным точкам.

12