Связь между простыми и сложными процентами

Сравним теперь рост величины вклада по формулам простых и сложных процентов при одной и той же величине процентной ставки. Пусть начисление процентов идет по ставке i за период времени t, начальная сумма составляет P. Переменной в данном случае выступает период времени t.

Как мы выяснили ранее, для простых процентов величина S зависит от времени t по закону линейной функции. Для сложных же процентов, как видно из формулы (4.2.19), она зависит от t по закону показательной функции. Графически это будет выглядеть так (Рисунок 26).

По рисунку можно отметить следующие особенности:

1. Обе линии начинаются из точки, в которой t1 = 0:

S1=S 2=P 1 i 0=P 1 i0 =P .

P 1 i t P 1 it .

74

На промежутке t4 график показательной функции лежит выше линейной функции, причем с ростом t увеличивается не только величина расхождения между ними, но и скорость увеличения этого расхождения.

В итоге, если срок вклада больше периода начисления процентов, то вкладчику выгоднее начисления по формуле сложных процентов, причем с ростом срока вклада эта выгодность возрастает. Заемщику же, напротив, выгоднее возвращать ссуду с простыми процентами.

Рассмотрим пример. Сделан вклад на сумму 100000 руб., под 15% годовых. Рассчитаем, какими будут значения наращенной суммы для разных промежутков времени в случае с простыми и сложными процентами.

Возьмём 5 промежутков времени: t1 = 0, t2 = 0,5, t3 = 1, t4 = 2, t5 = 10. 1. Для промежутка t1 имеем:

S1=P 1 it =100000 1 0,15 0 =100000 ,

S2= P 1 i t=100000 1 0,15 0=100000 . 2. Для промежутка t2:

S1=100000 1 0,15 0,5 =100000 1,075 =107500 ,

S2=100000 1 0,15 0,5≈100000 1,072 =107200 .

3.Для промежутка t3:

S1=100000 1 0,15 1 =100000 1,15 =115000 ,

S2=100000 1 0,15 1=100000 1,15 =115000 .

4.Для промежутка t4:

S1=100000 1 0,15 2 =100000 1,30 =130000 ,

S2=100000 1 0,15 2=100000 1,3225 =132250 .

5.И, наконец, для промежутка t5:

Рассмотрим ещё один пример. Filipp J. Fry в 1999 году имел на банковской карточке 93 цента. По условиям договора на его счёт начислялись небольшие проценты: 2,25%. После попадания в криогенную камеру и заморозки на 1000 лет, он обратился в свой банк для того, чтобы снять деньги. Сколько денег на счету Филиппа?

Решение. Если предположить, что начисления происходили по простой процентной ставке, то имеем: S=0,93 1 1000 0,0225 =0,93 23,5=21,855 .

75

Но на самом деле начисления происходили по сложной процентной ставке, поэтому конечная сумма составит: S=0,93 1 0,0225 1000=0,93 1,02251000≈4283508449,71 .

Рассмотрим подробней связь между простыми и сложными процентами. Пусть iс — сложная процентная ставка, iп — простая процентная ставка. Тогда расчёты выполненные по этим ставкам будут давать одинаковый результат только в случае выполнения равенства соответствующих коэффициентов роста:

Стоит заметить, что в формулах (4.2.29) и (4.2.30) участвует промежуток времени t. При изменении t, меняется и величина эквивалентной ставки. Можно выделить три ситуации:

1.Когда t = 1, ставки совпадают.

2.Когда t < 1, то простая ставка должна быть меньше сложной: iп < iс.

3.И, наконец, когда t > 1, для получения одинакового результата простая ставка должна быть больше сложной iп > iс.

Рассмотрим следующий пример.

Кредит предоставляется на условиях 20 сложных процентов. Какова эквивалентная ставка простых процентов при сроках: 1 месяц, полгода, год, 2 года?

Решение. По условию ic = 0,2. В соответствии с формулой (4.2.29) для t1 = 1/12, t2 = 1/2, t3 = 1, t4 = 2, получаем:

Рассмотрим ещё один пример.

76

В 1626 году Петер Минёйт выкупил у индейцев за вещи, стоявшие тогда 24 доллара остров Манхэттен. На начало 21-го века оценка земель Манхэттена составляла ориентировочно 49 млрд. долларов. Определите величину годовой процентной ставки, обеспечивающей такой рост денежной суммы по формулам простой и сложной ставок.

Решение. Известно: P = $24, S = $49 000 000 000, t = 2006 – 1626 = 380. Подставляя значения в формулы имеем:

•Простая процентная ставка:

Смешанная формула расчёта процентов

Ранее мы рассматривали ситуации, в которых период наращения процентов представлен был нецелым числом. Иногда для простоты расчётов, пользуются смешанной формулой, в которой целое число период рассчитывается по сложной ставке, а дробное — по простой:

где t – целое число, k – дробное.

Например, при t = 1,15 вместо формулы S=P 1 i 1,15 =P 1 i 1 1 i 0,15 можно использовать: S=P 1 i 1 1 i 0,15 . Конечно, результат расчёта по второй формуле

будет больше, нежели по первой формуле, однако в некоторых ситуациях бывает проще использовать вторую формулу, нежели рассчитывать сумму вклада «в лоб» по формуле сложных процентов.

Сложные учётные ставки

Помимо рассмотренных нами ранее простых учётных ставок также иногда в финансовых расчётах используются и сложные. Аналогично простым выделяют математическую и банковскую формы учёта:

Математическая форма выводится из (4.2.19):

Рассмотрим в общем виде соотношение между процентной и учётной сложными ставками. Один и тот же результат будет получен только тогда, когда соответствующие дисконтные множители равны:

1 i −t= 1−d t .

77