Отсюда легко выводится формула для нахождения одной ставки через другую:

Как можно заметить, в расчёте ставок никакой промежуток времени не участвует, то есть они не зависят от t. Соответственно эквивалентные сложные ставки являются эквивалентными вне зависимости от промежутка времени, на котором они действуют, в отличие от эквивалентных простых ставок.

Если у нас имеются данные по сроку вклада, первоначальной и конечной суммами, мы можем определить величину сложной учётной ставки. Она может быть выведена из формулы (4.2.33):

Похожим образом выводится формула для нахождения срока по известным значениям ставок, первоначальной и конечной сумм. Из (4.2.33) путём линеаризации получаем:

ln S =ln P t ln 1−d ,

откуда:

Связь между простыми и сложными учётными ставками

Рассмотрим теперь, как будет выглядеть график функций для расчёта сумм P в зависимости от времени t в случаях с банковскими простыми и сложными учётными ставками (4.2.10) и (4.2.33) (Рисунок 27).

P

S

(4.2.10)

Рисунок 27: Изменение первоначальной суммы вклада при использовании формул простого и сложного банковского учёта

78

По рисунку можно отметить следующие особенности:

1. Обе линии начинаются из точки, в которой t1 = 0:

P1=P2=S 1−d 0=S 1−d 0 =S .

к нулю, по простым же процентам в какой-то момент времени сумма обращается в ноль.

Стоит напомнить, что t в этих формулах характеризует величину промежутка от момента приобретения векселя до момента его погашения. Получается, что, если этот срок меньше 1, то эмитенту (организации, выпустившей вексель) выгодней рассчитывать реальную стоимость векселя по формуле (4.2.10). Если же срок больше 1, то выгодней рассчитывать реальную стоимость по формуле (4.2.33).

Рассмотрим подробней, как связаны между собой простые и сложные учётные ставки.

Пусть dс — сложная учётная ставка, dп — простая учётная ставка. Для получения одного и того же результата коэффициенты дисконтирования в (4.2.10) и (4.2.33) должны быть равны:

1−d п t = 1−d с t

Откуда следуют два равенства:

Оценивая формулы (4.2.37) и (4.2.38) и рисунок 27, можно выделить три ситуации:

1.Если t = 1, ставки совпадают,

2.Когда t < 1, ставка по простому учёту должна быть меньше ставки по сложному: dп < dс,

3.Когда t > 1, ставка по простому учёту должна быть больше ставки по сложному: dп > dс.

79

Уравновешенные и относительные ставки

Мы уже столкнулись с ситуациями, когда годовые процентные ставки нужно приводить к каким-либо другим промежуткам времени (например, месячным). Рассмотрим этот вопрос подробней.

В случае с процентными ставками вывод формул расчёта одних ставок относительно других происходит из условия равенства коэффициентов роста. Для простых ставок в общем виде имеем:

здесь t1 — промежуток времени первого типа, t2 — второго, i1 – ставка для промежутка первого типа, i2 – ставка для промежутка второго типа.

Например, если t1 измеряется в месяцах, а t2 — в годах, то будем иметь:

Так, если у нас период составляет 3 месяца, то ставка будет вычисляться по формуле:

Ставка, приведённая по формуле (4.2.40) к другому периоду называется

относительной ставкой.

В случае с дисконтированием по простым учётным ставкам формулы имеют аналогичный вид. Из условия равенства коэффициентов дисконтирования имеем:

А вот со сложными процентами ситуация получается несколько другой. Давайте предположим, что мы применяем формулу для расчёта сложных процентов, но в одном случае рассчитываем проценты за промежуток в месяцах, а в другом — в годах. Пусть у нас имеется ставка в 12% годовых, которая по формуле (4.2.40) будет эквивалентна месячной ставке в 1%. Попробуем рассчитать суммы процентов при условии, что P = 100, а вклад сделан на 2 года. По годовой ставке получим:

80

S=100 1 0,12 2=125,44 ,

По месячной:

S=100 1 0,01 24≈126,974 .

Как видим, суммы в таком случае получаются разными. Чтобы результаты при разных временных ставках были одинаковыми нужно вывести ставки из условия равенства коэффициентов роста по сложным процентам:

Для нашего примера месячная ставка будет в таком случае должна быть:

1

iмес= 1 0,12 12 −1=0,00949=0,949% .

Ставка, найденная по такой формуле называется уравновешенной. Этот вид ставок также иногда называется «эффективной процентной ставкой». Эффективная ставка — это годовая сложная процентная ставка, обеспечивающая ту же величину вклада, что и реально применяемые способ начисления процентов. Если проценты начисляются раз в году, то эффективная ставка соответствует годовой. Если же начисление происходит чаще, то эффективная и номинальная ставки могут различаться.

В случае с дисконтированием формула получается похожей:

Непрерывные проценты

В финансовых операциях иногда встречаются ситуации, когда начисление процентов происходит за очень маленькие промежутки времени, например раз в час. Причём для расчёта наращенной суммы используют формулы сложных процентов. Для таких сделок для облегчения расчётов можно пользоваться формулой непрерывных процентов.

Например, если начисление процентов происходит каждый час, тогда в случае с годовой процентной ставкой её нужно для расчётов перевести в часовую:

Если годовая ставка составляет, например, 10%, то часовая будет:

iчас=10%8640 =0,001157% .

81

То есть для этого случая имеем (по формуле сложных процентов) на первый час сумму:

S= P 1 0,00001157 1 .

Предположим, что наш промежуток дробится на более мелкие части (например, начисление уже происходит не раз в час, а раз в минуту). Тогда процентная ставка для такого же промежутка станет ещё меньше, а сама частота начисления возрастёт. За год в таком случае мы получим:

где m – количество промежутков начисления в году.

Чем меньше у нас промежуток времени (то есть чем чаще происходят начисления), тем меньше относительная ставка. В пределе (когда m стремится к бесконечности) формулу (4.2.44) можно заменить следующей:

α – сила роста или сила процента. Она равна скорости относительного прироста суммы

P.

Сила роста тесно связана с процентной ставкой: чем больше ставка, тем больше сила роста, но эта связь нелинейна. Эту зависимость можно выразить через соответствующие коэффициенты роста:

1 i t=eαt ,

откуда можно вывести формулу для нахождения силы роста по известной годовой сложной процентной ставке:

Как видим, ставки эквивалентны вне зависимости от времени их действия. Для малых значений процентной ставки сила роста получается практически такой же. Например, для i = 0,05, α = 0,049. Но по мере увеличения значения сложной процентной ставки, растёт и разрыв между ставкой и силой роста. Например, для i = 35%, α = 30%.

Причём эти разные значения ставки и силы роста дают один и тот же результат для равных временных промежутков.

82