Таким образом, годовая процентная ставка i должна быть равна 60%, а годовая учетная ставка d — 50%.

Другими словами, если кредит выдается на условиях его возврата с начисленными процентами, то исходные данные примера соответствуют 60%-й годовой ставке. Проверим правильность расчета. Действительно, за год по этой ставке к 100 000 рублей должны прибавиться 60 000, а за 4 месяца в три раза меньше, то есть 20 000 рублей. Итоговая сумма составляет 120 000, что полностью соответствует исходным условиям примера.

Если же кредит выводится на условиях удержания процентов в момент выдачи и возврата в конце срока самой суммы кредита без процентов, то исходные условия примера соответствуют 50%-й годовой учетной ставке. Проверим наш расчет. Действительно, по условиям примера сумма кредита в этом случае составляет 120 000 рублей. За годовой период с этой суммы по данной учетной ставке должно быть удержано 60 000, а за 4 месяца в три раза меньше, то есть 20 000 рублей. В результате удержания этой суммы исходная величина кредита 120 000 рублей уменьшается до 100 000. Эту сумму и получает заемщик в полном соответствии с условиями примера.

В приведённом примере процентная и учётная ставки, не совпадая по размеру, приводят к одному и тому же результату. Рассмотрим соотношение этих ставок в общем виде. К одному и тому же результату они приводят, когда выполняется равенство дисконтных множителей:

Как видим, расчёт ставок зависит от промежутка времени t. И ставки могут быть равны друг другу только в одном случае: когда t = 0. Никакого экономического смысла у такой ситуации нет (это означает, что кредит выдаётся и тут же возвращается обратно), поэтому обычно на практике простые процентная и учётная ставки не совпадают. Причём всегда выполняется соотношение: i > d.

Сложные проценты

В средне- и долгосрочных финансово-кредитных операциях, если проценты не выплачиваются сразу после начисления, а присоединяются к сумме долга (такая операция называется капитализацией процентов), обычно вместо простых процентов пользуются сложными процентами.

Обратимся к тому, как можно получить формулу для сложных процентов при условии, что проценты начисляются и капитализируются один раз в году. Очевидно, что в конце первого года проценты равны величине Pi, а наращенная сумма вычисляется по той же формуле, что и для простых процентов с t=1:

70

Однако к концу второго периода сумма уже будет несколько другой, так как происходит капитализация, в связи с чем проценты начисляются уже не на первоначальный вклад, а на наращенную за предыдущий год сумму:

Мы видим, что по мере увеличения периода вклада, у нас увеличивается показатель степени, в который возводится первоначальный коэффициент роста 1 i . Тогда в общем виде формула для расчёта сложных процентов может быть записана:

При этом так же, как и в случае с простыми процентами, если срок вклада представляет собой не целое число лет (а, например, 1,5 года), то вместо t подставляется соответствующее дробное число.

Если при начислении по формуле сложных процентов в середине срока воспользоваться операцией реинвестирования, то есть снять со счета деньги вместе с процентами и положить их на счет снова, то вкладчик при этом ничего не выигрывает. Покажем это. Предположим, что вкладчик положил средства в размере 100 рублей на счет на условиях начисления сложных процентов по ставке в 15%. Через 2 года он снял деньги со счета и положил их вновь еще на 3 года. Тогда после первых 2 лет он получит сумму Q:

Q=100 1 0,15 2=100 1,3225=132,25 .

Затем эта сумма Q еще через 3 года превращается в новую сумму S:

S=132,25 1 0,15 3=132,25 1,520875≈201,136 .

Выражая конечную сумму S через первоначальную, получим:

S=Q 1 i m= P 1 i k 1 i m=P 1 i k m =100 1 0,15 5≈100 2,01136=201,136 .

Таким образом, результат получается в точности такой же, как если бы вкладчик не проводил промежуточную операцию, а просто положил бы первоначальную сумму Р (в нашем случае — 100 рублей) на суммарное число периодов времени, равное k + m (2 + 3 = 5 лет).

Аналогично тому, как мы выводили формулы для расчёта срока вклада и величины процентной ставки по простым процентам, мы можем из формулы (4.2.19) вывести формулу для расчёта этих величин. Для того, чтобы вычислить срок вклада по имеющимся первоначальной и конечной величине вклада, а также процентной ставки, нужно для начала линеаризовать выражение (4.2.19):

ln S =ln P t ln 1 i ,

откуда и получается формула для срока вклада:

71

Из (4.2.19) также легко выводится формула для вычисления процентной ставки:

Плавающие ставки по сложным процентам

Ранее мы рассматривали ситуацию с плавающими процентными ставками для простых процентов, рассмотрим аналогичную ситуацию для сложных процентов. Пусть на первом промежутке времени длиной t1 ставка равна i1, на втором промежутке длиной t2 ставка равна i2 на третьем промежутке длиной t3 ставка равна i3, и так далее. Промежутки, как и раньше, могут иметь различную длину. Величина вклада по сложной переменной ставке к концу последнего промежутка тогда составит:

k =1

Графически эта ситуация может быть представлена кусочно гладкой функцией, составленной из показательных функций от времени (Рисунок 25).

S

P

Рисунок 25: Изменение суммы вклада во времени при сложной плавающей процентной ставке

Определим среднюю процентную ставку i для случая вклада по сложной переменной ставке.

Пусть, как и раньше, T - общий срок вклада по переменной ставке,

72

а τk — долю соответствующего промежутка в общем сроке:

Вообще, средняя процентная ставка i по определению удовлетворяет следующему условию: если ее подставить в формулу роста вместо каждой из ставок ik, то результат расчета при этом не изменится. То есть:

Наконец, сама средняя сложная процентная ставка i будет находится по формуле:

средневзвешенной геометрической коэффициентов роста по отдельным промежуткам времени. В качестве весовых коэффициентов выступают доли τk соответствующих промежутков времени в общем сроке вклада.

Так же, как и в случае с простыми процентами, коэффициенты роста для тех промежутков времени, которые имеют относительно большую длину, войдут в итоговую средневзвешенную величину с большим весом.

В частном случае, когда длины всех промежутков времени равны друг другу, доля

Пример 3. Пусть по условиям договора первый год наращения суммы идет по ставке 15% годовых, затем еще полгода по ставке 14% годовых, а потом еще полгода по ставке 13% годовых. Тогда первоначальный вклад в размере 100 тыс. руб. через два года вырастет до величины S:

S= P 1 i1 n1 1 i2 n2 1 i3 n3=100000 1 0,15 1 1 0,14 0,5 1 0,13 0,5≈130523,73

73