- •§1.1 10
- •§1.1 10
- •Передмова
- •Частина і
- •Формування перших технічних і технологічних знань, їх різновиди
- •Знання про природний світ
- •§ 1.3. Хімічні знання — ремесло чи мистецтво перетворення речовин?
- •§ 1.4. Виникнення перших історичних знань
- •VII — перша половина IV ст. До н.Е.)
- •§ 2.2. Елементарна математика Давньої Греції
- •§ 2.3. Хімічні знання в контексті давньогрецької натурфілософії
- •Розвиток уявлень про будову Землі та її надра
- •§ 2*4. Перехід від міфологічного до раціоналістичного тлумачення історії
- •§ 3.2. Систематизація математичних знань і становлення теоретичної математики
- •§ 3.3, Технохімічна практика та алхімія Олександрійського періоду
- •§ 3.4. Літописи як форма історіографічної творчості. Діяльність римських анналістів
- •Розвиток мовознавчих питань у працях олександрійських і римських граматиків
- •§ 4.2. Математичні досягнення Сходу
- •§ 4.3. Розквіт арабської алхімії
- •§ 4.4. Перегляд античної історіографії з християнських традицій
- •§ 5.2. Практичне і теоретичне спрямування розвитку математичних знань
- •Нові тенденції в розумінні механіки
- •§ 5.3. Розвиток західноєвропейської алхімії, розширення знань про речовини
- •§ 5.4. Формування нових напрямків в історіографії
- •Список додаткової літератури
- •Частина II
- •Формування нових центрів культури. Зміни в засадах освіти
- •§ 6.2. Новий етап в розвитку західноєвропейської математики
- •§ 6.3. Ятрохімічний напрямок досліджень
- •Нова анатомія людини
- •§ 6.4. Гуманістична історіографія: її поширення в країнах Європи
- •Класифікація наук ф. Бекона та т. Гоббса
- •§ 7.2. Вплив зміни характеру наукового пізнання на розвиток математики
- •Формування нових галузей науково-технічного і фізичного знання
- •§ 7.3. Нові досягнення хімії на грунті взаємодії хімічного ремесла та теоретизуючої алхімії
- •Опанування досягнень Великих географічних відкриттів
- •§ 7.4. Поглиблення інтересу до вивчення . Історичних джерел
- •Намагання створити раціоналістичну історію та соціологію
- •Диференціація мовних досліджень
- •§ 8.2. Створення аналізу нескінченно малих: диференціальне та інтегральне числення
- •Еволюція засад теоретичної та практичної механіки
- •Розробка проблем вазємодії тіл
- •8.3. Становлення науково? хімії
- •8.4, Скептицизм як реакція на нагромадження історіографічного матеріалу
- •Розділ 9
- •Нерівномірність розвитку науки в різних країнах
- •Освітянські реформи
- •Вихід Росії на світову наукову арену
- •9.2. Професіоналізація математичних досліджень
- •9.3. Започаткувати історичного підходу в космогонії і. Канта
- •§ 9.4. Всесвітня історія та прогрес людства як предмет теоретичних роздумів
- •§1.1 10
- •§1.1 10
- •Основи історії науки і техніки
- •252151, Київ, вул. Волинська, 60
§ 8.2. Створення аналізу нескінченно малих: диференціальне та інтегральне числення
Коло кількісних співвідношень і просторових форм, які вивчала математика XVII ст., вже не вичерпувалося числами, величинами і геометричними фігурами. Таке становшце було зумовлене насамперед упровадженням у математику ідеї руху та зміни під безпосереднім впливом нового кола уявлень та питань, що розроблялися в механіці. Шфінітезімальні підходи до принципу віртуальних швидкостей, оперування швидкостями точок, а не їх можливими переміщеннями, фактичне введення нових понять тангенціального та нормального прискорення — все це зумовило необхідність розробки нового математичного апарату точного природознавства. Саме у працях з механіки з’являється аналіз нескінченно малих, диференціальне та інтегральне числення, елементи диференщальної геометрії тощо.
В алгебрі існувала ідея залежності між величинами, але ж для того, щоб охопити кількісні співвідношення в процесі їх зміни, треба було зробити самостійним предметом вивчення власне залежності між величинами. Тому на перший план як головний і самостійний предмет вивчення виходить поняття функції (раніше в цій ролі вже були поняття величини та числа). В результаті вивчення змінних
величин і функціональних залежностей з’являються головні поняття математичного аналізу, які впроваджують в математику ідею нескінченного: границя, похідна, диференціал, інтеграл. Створюється аналіз нескінченно малих, у першу чергу, у вигляді диференціального та інтегрального числення. Основні закони механіки та фізики записуються у формі диференціальних рівнянь, і завдання інтегрування таких рівнянь висувається як одне з головних у математиці.
Перші роботи І. Ньютона в галузі аналізу нескінченно малих у вигляді диференціальних та~ інтегральних величин з!етилйвіз 60-ті рр., а Г. Лейбніца — в~70-іі рр. XVII ст. І. Ньютон і Г. Лейбніц уперше в загальному вигляді розглянули головні для нового числення операції диференціювання та інтегрування функцій, встановили зв’язок між цими операціями та розробили для них загальний однаковий
цходи до розробки методів у І. Нью-
Ньютона вихідними було поняття
■■флюенти'' (змінної величини) та “флюксії” (швидкість її зміни). Прямій задачі знаходження флюксій та співвідношень між флюксіями за заданими флюентами (диференціювання та складання диференціальних рівнянь) І. Ньютон протиставляє обернену задачу знаходження флюент за заданими співвідношеннями між флюксіями, тобто одразу,загальну задачу інтегрування диференціальних рівнянь. Така точка зору була природною для І. Ньютона як засновника математичного природознавства: його обчислення флюксій є відображенням ідеї про те, що елементарні закони природи виявляються диференціальними рівняннями, а завбачення ходу описуваних цими рівняннями процесів потребує їх інтеїрування.
ЖВ центрі уваги Г. Лейбніца було питання про перехід алгебри скінченних величин до алгебри нескінченно малих. Інтеграл розглядався як сума нескінченно великого числа нескінченно малих, а головними поняггями диференціального числення були диференціали — нескінченно малі прирости змінних величин. З публікації праць Г. Лейбніца в Європі почався період інтенсивної колективної роботи над диференціальним та інтегральним численням, інтегруванням диференціальних рівнянь та геометричними застосуваннями аналізу. В цій галузі створився такий стиль математичної роботи, коли здобуті результати досить швидко публікували в журнальних статтях і незабаром після цього використовували в працях інших учених.
Новий період розвитку математики був означений роботами також французьких математиків Блеза Паскаля і Жерара Дезарга. Б. Паскаль винайшов лічильну машину, розробив принцип повної індукції, розвинув уявлення щодо нескінченного, зокрема нескінченно малого. Ж. Дезарг (1591—-1661) присвятив свої праці переважно розробці лизань проективної геометрії.
Із запровадженням у геометрію ідей руху та перетворення фігур її предмет вивчення значно розширюється; стає зрозумілим, що один і той самий рух або одне й те саме перетворення може переміщати або перетворювати різні фігури. Тому геометрія починає вивчати рух і перетворення як такі. З появою аналітичної геометрії принципово змінюється місце геометрії серед інших розділів математики. З одного боку, було знайдено універсальний спосіб перекладання питань геометрії на мову алгебри і аналізу та розв’язання їх суто алгебраїчними і аналітичними методами; з іншого — з’явилася можливість зображувати алгебраїчні та аналітичні вирази геометрично, наприклад, при графічному зображенні функціональних залежностей. Однак остання можливість була обмежена тривимірністю простору. Таке становище призвело до того, що арифметика, алгебра і аналіз з теорією функцій розглядалися як частини “чистої” математики, що визначалась як наука про числа, величини та залежності між величинами, що змінюються. А геометрія вважалася першою частиною “прикладної” математики, яка застосовує результати “чистої'” математики та виробляє свої методи для спеціального вивчення геометричних, фігур і геометричних перетворень.
Створення аналітичної геометрії та аналізу спричинило справжню революцію в математиці і поставило в центр досліджень нові об’єкта і методи. З цього часу математика не обмежувалася вивченням сталих величин і чисел, а починає досліджувати також змінні величини і функції як аналог механічного руху і, взагалі, будь-яких кількісних змін.
До нових галузей математичних досліджень належить також математична теорія ймовірностей. Її засновниками були П. Ферма і Б. Паскаль. Інтерес до задач, пов’язаних із ймовірностями, формувався поступово насамперед під впливом розвитку справи страхування. Але приватні питання, які сприяли тому, що математики звернулися до ймовірностей, були пов’язані з грою в карти і косгі. Задачі на обчислення ймовірностей виникали також в таких науках, як статистика народонаселення та теорія методів обробки спостережень. Таким чином, нові економічні відносини в суспільстві поставили перед математикою задачу створення теорії ймовірностей, азартні ііри були лише зручною й ще досі використовуваною моделлю для аналізу понять цієї теорії.
Однак визнання зроблених в цей час відкриттів було нерівноцінним. Праці Ж. Дезарга з проективної геометрії в XVII ст. не були продовжені, не знайшлося послідовників І. Ньютона щодо використання проективних методів. Внаслідок цього проективна геометрія була відроджена лише в першій половині XIX ст. У теорії ймовірностей до Якоба Бернуллі (1654—1705) було зроблено лише перші кроки, а відкритий ним закон великих чисел був опублікований вже на початку наступного століття. Нерші паростки машинної математики, започатковані арифмометром XVII ст., отримали розвиток в придатному до практичного застосування арифмометрі, який з'явився лише в другій половині XIX ст. Навіть у галузі аналітичної геометрії, відкриття якої одразу набуло величезного значення, істотний прогрес почався лише через сто років після праць Р. Декарта і П. Ферма.
Характеристика нового етапу розвитку математики органічно пов’язана зі створенням у XVII с|г математичного природознавства, яке мало на меті пояснити окремі природні явища дією загальних, математично сформульованих законів природи. Упродовж XVII ст. дійсно глибокі математичні дослідження проводили лише в двох галузях природничих наук — механиці та оптиці. В інших галузях застосування математики обмежувалося встановленням простих кількісних закономірностей.