Задачи для самоконтроля

Задача 1

Имеются следующие условные данные о сменной добыче угля на одного рабочего y, мощности пласта x₁, и уровня механизации работника x₂ характеризующие процесс добычи угля в 10 шахтах.

№	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
x1	8	11	12	9	8	8	9	9	8	12
x2	5	8	8	5	7	8	6	4	5	7
y	5	10	10	7	5	6	6	5	6	8

1. Найти значения парных коэффициентов корреляции;

2. Найти параметры уравнения множественной регрессии в естественной и стандартизированной форме;

3. Рассчитать средние коэффициенты эластичности.

Задача 2

Изучается зависимость по 30 территориям России среднедневного душевого дохода у (руб.) от среднедневной заработной платы одного работающего х₁ (руб.) и среднего возраста безработного х₂ (лет). Данные приведены в таблице:

Признак	Среднее значение	Среднее квадратическое отклонение	Парный коэффициент корреляции
у	86,8	11,44	= 0,8405
х1	54,9	5,86	= -0,2101
х2	33,5	0,58	= -0,116

Постройте уравнение множественной регрессии в нормальном и стандартизованном виде.

Задача 3

Перейти от уравнения регрессии в натуральном масштабе переменных, описывающей зависимость среднедневного душевого дохода (у, руб.) от среднедневной заработной платы одного работающего (х₁, руб.) и среднего возраста безработного (х₂, лет) у = 337,373 + 1,966х₁ – 12,0867х₂ к уравнению регрессии в стандартизованном масштабе переменных, если известно, что σ_y = 61,44, σ_x1 = 25,86, σ_x2 = 0,58 и интерпретировать коэффициенты уравнения регрессии.

Задача 4

Изменение спроса на некоторое благо (у) у домашних хозяйств определенной структуры можно объяснить с помощью цены этого блага (х₁) и дохода домохозяйства (х₂). Соответствующая информация представлена в таблице:

у	31,4	30,4	32,1	31	30,5	29,8	31,1	31,7	30,7	29,7
х1	4,1	4,2	4	4,6	4	5	3,9	4,4	4,5	4,8
х2	1050	1010	1070	1060	1000	1040	1030	1080	1050	1020

Оцените с помощью метода наименьших квадратов параметры линейного двухфакторного уравнения, и интерпретировать оценки.

Задача 5

Перейти от уравнения регрессии в стандартизованном масштабе переменных, описывающей зависимость объема производства (у, тыс. руб.) от количества занятых (х₁, чел.) и стоимости основных фондов (х₂ тыс. руб.) t_y = 0,4t_x1 + 0,53t_x2, к уравнению регрессии в натуральном масштабе переменных, если известно, что σ_y = 345,3, σ_x1 = 5,7, σ_x2 = 98,8, = 3173,= 48,3,= 597 и интерпретировать коэффициенты уравнения регрессии.

Практическое занятие 2

Тесноту совместного влияния факторов на результат оценивает индекс множественной корреляции:

Значение индекса множественной корреляции лежит в пределах от 0 до 1 и должно быть больше или равно максимальному парному индексу корреляции:

Для линейного уравнения в стандартизованном масштабе индекс множественной корреляции может быть найден в виде:

При линейной зависимости возможно выражение через матрицу парных коэффициентов корреляции:

где Δr – определитель матрицы парных коэффициентов корреляции:

Δr₁₁ – определитель матрицы межфакторной корреляции (минор, получаемый при вычеркивании первой строки и первого столбца определителя):

Частные коэффициенты (или индексы) корреляции, измеряющие влияние на у фактора х, при неизменном уровне других факторов, можно определить по формуле:

или по рекуррентной формуле:

Частные коэффициенты корреляции изменяются в пределах от –1 до 1.

Качество построенной модели в целом оценивает коэффициент (индекс) детерминации. Коэффициент множественной детерминации рассчитывается как квадрат индекса множественной корреляции:

.

Скорректированный индекс множественной детерминации содержит поправку на число степеней свободы и рассчитывается по формуле:

где n – число наблюдений;

m – число факторов модели.