Практическое занятие 3

Для решения сверхидентифицированных уравнений применяется двухшаговый МНК (ДМНК), который заключается в следующем:

- составляют приведенную форму модели и определяют численные значения параметров каждого ее уравнения обычным МНК;

- выявляют эндогенные переменные, находящиеся в правой части структурного уравнения, параметры которого определяют двухшаговым МНК, и находят расчетные значения по соответствующим уравнениям приведенной формы модели;

- обычным МНК определяют параметры структурного уравнения, используя в качестве исходных данных фактические значения предопределенных переменных и расчетные значения эндогенных переменных, стоящих в правой части данного структурного уравнения.

Рассмотрим в качестве примера модифицированную модель Кейнса:

C_t = α + βY_t + ε_t – функция потребления,

Y_t = C_t + I_t + G_t – тождество дохода,

где C_t, Y_t, I_t и G_t – объем потребления, совокупный доход, инвестиции и государственные расходы соответственно;

α и β – структурные коэффициенты;

ε_t – случайный член.

В исходной модели C_t и Y_t – эндогенные переменные, I_t и G_t – экзогенные.

Разрешая структурную систему относительно эндогенных переменных, получим приведенную систему уравнений вида:

,

.

Двухшаговый МНК можно рассматривать как частный случай метода инструментальных переменных. При описании применения метода инструментальных переменных было указано, что структурное уравнение функции потребления оказалось переопределенным, и сразу две переменные I_t и G_t могли быть использованы для определения функции Y_t.

Однако вместо их раздельного применения можно предложить их комбинацию:

z_t = γ₀ + γ₁I_t + γ₂G_t,

где γ₀, γ₁ и γ₂ – коэффициенты, подлежащие оценке.

Вместо z_t может быть выбрана регрессионная оценка Ŷ_t, приведенного уравнения для Y_t, которую получают с помощью обычного МНК:

Ŷ_t = γ₀ + γ₁I_t + γ₂G_t,

Так осуществляется первый шаг двухшагового метода наименьших квадратов. Подставляя теоретические значения Ŷ_t вместо фактических значений в структурное уравнение функции потребления, получим уравнение:

C_t = α + βŶ_t + ε_t.

Оценки параметров аир этого уравнения получают с помощью обычного МНК. Так осуществляется второй шаг двухшагового метода наименьших квадратов. При этом оценки структурных коэффициентов будут состоятельными.

Двухшаговый МНК можно рассматривать как способ конструирования наилучшей из возможных комбинаций инструментальных переменных, если в уравнении имеется избыток экзогенных переменных, которые можно использовать как инструментальные.

Более эффективным, но требующим существенно больших вычислительных затрат, является трехшаговый метод наименьших квадратов (ТМНК). Он заключается в том, что двухшаговый метод наименьших квадратов применяется не к исходным уравнениям модели, а к уравнениям, преобразованным согласно обобщенному методу наименьших квадратов. Трехшаговый МНК является итерационной процедурой:

1) Параметры модели определяются обычным или двухшаговым МНК.

2) Вычисляются ошибки модели и определяется оценка корреляционной матрицы ошибок.

3) Уравнения преобразуются согласно обобщенному МНК.

4) Применяется двухшаговый МНК к преобразованным уравнениям и получается улучшенная модель (с улучшенными параметрами).

5) Процесс повторяется, начиная со второго шага, пока не будет достигнута заданная точность (либо превышено заданное количество итераций).

Если случайные члены структурной модели не коррелируют, то трехшаговый метод сводится к двухшаговому.