Задачи для самоконтроля

Задача 1

Предполагается, что месячный доход граждан страны имеет нормальное распределение с математическим ожиданием M = 1000 ($) и дисперсией σ² = 40000 ($)². По выборке из 500 человек определили выборочный средний доход = 900 ($).

1. Постройте 90 и 95%-ные доверительные интервалы для среднедушевого дохода в стране.

2. Следует ли на основании построенных доверительных интервалов отклонить предположение о ежемесячном доходе в 1000 $?

3. Как проверить то же предположение на основании общей схемы проверки гипотез? Какую альтернативную гипотезу вы выбрали и почему?

Задача 2

Предполагается, что месячная зарплата сотрудников фирмы составляет 1000 ($) при стандартном отклонении σ = 100. Выборка из 36 человек дала следующие результаты: = 900($) иS_x = 150 ($). Можно ли по результатам проведенных наблюдений утверждать, что средняя зарплата сотрудников фирмы меньше рекламируемой, а разброс в зарплатах больше? Какие критические области вы в этом случае использовали?

Задача 3

Бюджетное обследование десяти случайно выбранных семей дало следующие результаты (в млн. руб.):

n	Доход Y	Сбережения S
1	2,5	0,4
2	3,6	0,5
3	4,5	1,6
4	2,4	0,3
5	1,8	0,3
6	3,3	0,9
7	5,6	2,6
8	4,2	1,1
9	3,8	0,8
10	5,4	0,9

1. Постройте корреляционное поле и по его виду определите формулу зависимости между S и Y. (Можно использовать при этом средства MS Excel и подобрать несколько форм зависимости по величине достоверности аппроксимации).

2. Оцените парную линейную регрессию S на Y.

3. Проинтерпретируйте результаты, ответив в том числе на вопросы:

1. Спрогнозируйте накопления семьи, имеющей доход 4 млн. руб.;

2. Предположим доход вырос на 1,5 млн. руб. Оцените, как возрастут накопления;

3. Найдите значение эластичности сбережений по доходам в средней точке, если среднее значение доходов составляет 3,5 млн. руб.

4. Найдите 90% доверительные интервалы для коэффициентов линейной регрессии.

5. Найдите значения стандартных ошибок регрессии и коэффициентов.

6. Проверьте гипотезу о статистической значимости коэффициентов регрессии.

Задача 4

Менеджер новой чебуречной не уверен в правильности выбранной цены на товар А, поэтому в течение 12 недель варьирует цену и записывает количество проданного товара А. Полученные данные приведены в таблице (t номер недели, q_t количество проданного товара А, p_t цена единицы товара А (руб.)).

t	pt	qt	t	pt	qt
1	12,3	795	7	12,8	714
2	11,5	915	8	9,9	1180
3	11,0	965	9	12,2	851
4	12,0	892	10	12,5	779
5	13,5	585	11	13,0	625
6	12,5	644	12	10,5	1001

1. Постройте корреляционное поле и установите тесноту связи между ценой и количеством проданного товара А. Выдвиньте предположение о форме зависимости между показателями.

2. Выбрав нелинейную форму модели, осуществите линеаризацию. Определите новые переменные, как q_t' = lnq_t; p_t' = lnp_t. Оцените параметры модели q_t' = α + βp_t' + ε_t (или в исходных обозначениях: lnq_t = α + βlnp_t + ε_t).

3. Используя полученные оценки коэффициентов, найдите для максимальной выручки от продаж цену товара А.

Задача 5

Следующие результаты были получены при построении линейной регрессионной модели Q (натуральный логарифм объема продаж яблок в килограммах) на P (натуральный логарифм стоимости яблок за килограмм в рублях) и константу. По n = 22 наблюдениям построено уравнение регрессии Q_t = 5,2 – 1,48P_t + ε_t. Оцененное значение дисперсии отклонений S² = 0,05 и обратная матрица к матрице перекрестных произведений экзогенной переменной P.

1. Проверьте гипотезу о статистической значимости коэффициентов. Используйте при проверке гипотезы то, что P(t₂₀ < –1,72) = 0,05 и P(t₂₀ < –1,32) = 0,10.

2. Спрогнозируйте величину Q при P = 1. Постройте так же 90%-ый доверительный интервал для величины Q при P = 1.