Практическое занятие 2

При построении моделей регрессии по временным рядам для устранения тенденции используются следующие методы.

Метод отклонений от тренда предполагает вычисление трендовых значений для каждого временного ряда модели, например ŷ_t и расчет отклонений от трендов:у_t – ŷ_t и x_t – , Для дальнейшего анализа используют не исходные данные, а отклонения от тренда.

Метод последовательных разностей заключается в следующем: если ряд содержит линейный тренд, тогда исходные данные заменяются первыми разностями:

Δ_t = y_t – y_t-1 = b + (ε_t – ε_t-1);

Если параболический тренд – вторыми разностями:

Δ_t² = Δ_t – Δ_t-1 = 2b₂ + (ε_t – 2ε_t-1 + ε_t-2);

В случае экспоненциального и степенного тренда метод последовательных разностей применяется к логарифмам исходных данных.

Модель, включающая фактор времени, имеет вид:

y_t = a + b₁x_t + b₂t + ε_t.

Автокорреляция в остатках – корреляционная зависимость между значениями остатков ε, за текущий и предыдущие моменты времени.

Для определения автокорреляции остатков используют критерий Дарвина - Уотсона и расчет величины:

, 0 ≤ d ≤ 4.

Коэффициент автокорреляции остатков первого порядка определяется по формуле:

, -1 ≤ ≤ 1.

Критерий Дарбина - Уотсона и коэффициент автокорреляции остатков первого порядка связаны соотношением

d = 2(1 – ).

Если автокорреляция остатков отсутствует (r = 0) – d ~ 2. При положительной автокорреляции (r > 0) имеем 0 < d < 2. При отрицательной автокорреляции (r < 0) – 2 < d < 4.

Задачи для самоконтроля

Задача 1

Исключить тенденцию методом отклонений от тренда из временных рядов:

t	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
у(t)	16	4	17	10	18	8	5	7	13	11
x(t)	15	9	19	21	12	9	9	14	24	8

Задача 2

Исключить параболическую тенденцию методом последовательных разностей из временных рядов:

t	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
у(t)	3	6	9	14	20	26	34	43	52	63
x(t)	2	6	12	20	30	42	56	72	90	110

Задача 3

Исключить тенденцию методом включения в модель фактора времени из временных рядов:

t	1	2	3	4	5
y(t)	3	5	8	4	6
x(t)	8	7	4	2	9

Задача 4

Проверить гипотезу о наличии автокорреляции в остатках для временных рядов:

t	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
y(t)	16	4	17	10	18	8	5	7	13	11
x(t)	15	9	19	21	12	9	9	14	24	8

Задача 5

Представлены данные об уровне дивидендов, выплачиваемых по обыкновенным акциям (%), и среднегодовой стоимости основных фондов компании (млн руб.) за несколько периодов:

Период	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Среднегодовая стоимость основных фондов	7	7,5	8	8	9	8,5	8	9	9,5
Дивиденды по обыкновенным акциям	4	4,2	3,8	3	3,4	4	4	3,7	4

С помощью критерия Дарбина-Уотсона определите наличие автокорреляции в остатках.