1.12. Наивероятнейшее число наступления события при повторном испытании

Число наступления события A в n независимых испытаниях называется наивероятнейшим , если вероятность наступленияk₀ раз события А наибольшая.

Из примера 2 (раздел 1.11) видим, что сначала вероятность возрастает, затем, достигнув , убывает. Выведем формулудля вычисления k₀.

Пусть производится n независимых испытаний и вероятность появления события A в каждом равна p. Тогда по формуле Бернулли наивероятнейшему числу соответствует вероятность:

Согласно определению наивероятнейшего числа, вероятность наступления ираз событияA не должна превышать вероятности , т.е. должны выполняться условия:

(1.24)

(1.25)

На основании формулы (1.24) и формулы Бернулли (1.22) получаем:

после сокращения

Разрешая это неравенство относительно k₀, имеем:

(1.26)

Аналогичным образом из неравенства (1.25) имеем:

или

.

Разрешая это неравенство относительно, имеем:

. (1.27)

Объединяя неравенства (1.26) и (1.27), получим:

(1.28)

Пример. При данном технологическом процессе 85% всей продукции выпускается высшего сорта. Найти наивероятнейшее число изделий высшего сорта из 150 изделий.

Р е ш е н и е. По условиям примера Согласно неравенству (1.28) имеем:

Следовательно

Основные понятия, обозначения и формулы по главе 1 приведены в табл.1.1 и 1.2.

Контрольные вопросы

1. Какие события называют случайными, невозможными, достоверными, равновозможными, совместными, несовместными? Приведите примеры.

2. Какое событие называется противоположным? Приведите примеры.

3. Какие события образуют полную группу несовместных событий? Приведите примеры полных групп событий.

4. Какое событие называется суммой, или объединением, нескольких событий?

5. Какое событие называется произведением, или совмещением, нескольких событий?

6. Что называется частотой события, и каковы ее свойства?

7. Сформулируйте классическое определение вероятности события. В каких пределах изменяется вероятность события?

8. Сформулируйте теорему сложения вероятностей для несовместных событий.

9. Чему равна сумма вероятностей несовместных событий, образующих полную группу?

10. Какая вероятность называется условной?

11. Какие события называются независимыми?

12. Сформулируйте теорему умножения вероятностей и следствия из нее.

13. Как следует вычислять вероятность появления хотя бы одного из нескольких совместных событий?

14. Докажите формулу полной вероятности.

15. Выведите формулу вероятности гипотез (Байеса).

16. Выведите формулу Бернулли. При решении, каких задач применяется формула Бернулли?

17. Какая функция называется производящей функцией вероятности появления события А при n независимых испытаниях? Какой она имеет вид, когда испытания происходят в неодинаковых условиях?

18. Дайте определение наивероятнейшего числа при повторных испытаниях и приведите правило его вычисления.

Таблица 1.1

№ п/п	Событие (обозначение)	Вероятность события р
1	Невозможное событие ()
2	Элементарное событие ()
3	Достоверное событие ()
4	Равновозможные события (А, В)
5	Противоположное событие
6	Сумма совместных событий (А, В)
7	Сумма несовместных событий (А, В)
8	Произведение зависимых событий (А, В)
9	Произведение независимых событий (А, В)
10	Сумма полной группы несовместных событий

Таблица 1.2

№ п/п	Название формулы	Формула
1	Классическая формула вероятности
2	Сочетание
3	Размещение
4	Перестановки
5	Сочетания с повторениями
6	Размещение с повторениями
7	Перестановки с повторениями
8	Геометрическая вероятность
9	Формула полной вероятности
10	Формула Байеса
11	Формула Бернулли
12	Производящая формула
13	Наивероятнейшее число