1.2. Действия над событиями. Алгебра событий

Поскольку событие отождествляется с множеством, то над событиями можно совершать все операции, выполняемые над множествами.

Суммой, или объединением (U) двух событий A и B, называется сложное событие, состоящее в появлении хотя бы одного из событий A или B (логическое «или»). Сумма обозначается A + B или AUB. На рис. 1.1 изображена сумма двух совместных событий, а на рис. 1.2 сумма двух несовместных событий.

Рис. 1.1 Рис. 1.2

Произведением, или пересечением (), двух событийA и B называется сложное событие, состоящее в совместном осуществлении событий A и B (логическое «и»). Произведение обозначается AB или . На рис. 1.3 изображено произведение двух совместных событий, а на рис. 1.4 произведение двух несовместных событий.

Рис. 1.3 Рис. 1.4

Разностью двух событий A и B называется событие, состоящее в том, что происходит событие A, а B не происходит. Разность обозначается A–B или A\B.

Если наступление одного события A влечет за собой наступление события B, то говорят, что событие A содержится в событии B, и обозначается .

Операции сложения и умножения обладают следующими свойствами:

1. – коммутативность сложения.

2. – коммутативность умножения.

3. – ассоциативность сложения.

4. – ассоциативность умножения.

5.;– закон дистрибутивности.

6. – правила де Моргана.

Из определения операций над событиями вытекают очевидные равенства:

Геометрическая интерпретация основных действий над событиями с помощью диаграмм Венна представлена на рис. 1.5.

A B A+B AB

а б в г

A

д е ж з

и к л м

Рис. 1.5

Класс событий, замкнутый относительно операции объединения, пересечения и дополнения, называется алгеброй событий, т.е. событие F – алгебра событий, если удовлетворяет следующим условиям:

1) дополнение любого события из F также принадлежит F;

2) для двух любых событий из F их объединение и пересечение принадлежит F;

3) пространство элементарных событий принадлежит F.

1.3. Частота события и ее свойства

Пусть проведена серия n испытаний, в каждом из которых событие A могло произойти или не произойти.

Частотой события A называется отношение числа испытаний, в которых появилось событие A(m), к числу всех испытаний (n) и обозначается:

. (1.1)

Очевидны следующие свойства частоты

. Частота случайного события заключается между нулем и единицей:

.

. Частота достоверного события равна единице:

.

. Частота невозможного события равна нулю:

.

. Частота суммы двух несовместных событий равна сумме частот этих событий:

.

Доказательство. Пусть в n испытаниях событие A появилось m раз, а событие B – k раз, т.е.

Так как события несовместны, то нет опытов, где они появились бы одновременно, следовательно, событие появилосьраз и

Свойство доказано.

Если события A и B совместны, то необходимо понятие условной частоты.

Условной частотой называется частота одного события, вычисленная при условии наступления другого события, и обозначается (частота событияA при условии, что событие B произошло).

. Частота произведения двух совместных событий A и B равна произведению частоты одного события на условную частоту другого:

.

Доказательство. Пусть в результате n испытаний событие A произошло m раз, событие B – k раз, причем l раз события A и B появились вместе. Тогда:

Так как событие A появилось m раз и l раз из них появилось событие B, то

Итак,

Свойство доказано.