Введение

Первые работы, в которых зарождались понятия теории вероятностей, были связаны с исследованиями правил азартных игр. Работы Б. Паскаля, П. Ферма и Х. Гюйгенса в середине XVII в. являлись основой и началом теории вероятностей. Дальнейшее развитие теории вероятностей связано с именами Якоба Бернулли, А. де Муавра, П.С. Лапласа, К.Ф. Гаусса, С.Д. Пуассона.

В XIX в. вопросами теории вероятностей стали заниматься выдающиеся русские ученые: П.Л. Чебышев, А.А. Марков, А.М. Ляпунов.

Советская школа теории вероятностей занимает в мировой науке ведущее место. Среди многих ученых – виднейших математиков нашей страны, разрабатывающих вопросы теории вероятностей, необходимо отметить С.Н. Бернштейна, А.Я. Хинчина, А.Н. Колмогорова, В.И. Романовского, Б.В. Гнеденко, В.С. Пугачева.

Методы теории вероятностей широко применяются в различных отраслях естествознания и техники: в теории надежности, теории массового обслуживания, в теоретической физике, астрономии, геодезии, в общей теории связи. Автоматическое управление производственными процессами, создание автоматических радиолокационных станций и автоматических машин, проблема автоматического управления полетом самолетов и другие технические проблемы автоматики и телемеханики вызвали бурное развитие теории автоматического регулирования, которая не могла обойтись без использования вероятностных методов (особенно теории случайных функций).

Теория вероятностей служит также для обоснования математической и прикладной статистики, которая, в свою очередь, используется при планировании и организации производства, при анализе технологических процессов, при оценке качества продукции и для многих других целей.

Глава 1. Основные понятия теории вероятностей

1.1. Классификация событий

Одним из основных понятий теории вероятностей является понятие события.

Событием называется всякий факт, который может произойти в результате опыта (испытания).

Примером событий могут служить:

1) попадание в цель при выстреле;

2) появление герба при подбрасывании монеты;

3) выход бракованного изделия с конвейера предприятия.

Событие является качественной характеристикой опыта.

Событие принято обозначать заглавными буквами латинского алфавита. Например, событие А – попадание в цель при выстреле, событие B – принятие сигнала радиостанции при наличии помех и т.д.

Событие, которое не может осуществиться при заданном комплексе факторов, называется невозможным и обозначается .

Событие, не содержащее никаких подсобытий кроме невозможного и самого себя, называется элементарным и обозначается .

Событие, которое при заданном комплексе факторов обязательно произойдет, называется достоверным и обозначается .

Множество всех элементарных событий называется пространством элементарных событий и является достоверным событием ().

Любое подмножество пространства элементарных событий называется случайным событием (в дальнейшем будем называть просто событием).

События с одинаковыми возможностями осуществления называются равновозможными. Например, выпадение герба или выпадение цифры при подбрасывании монеты. Для проверки этого факта К. Пирсон в первый раз сделал 12 000 бросаний, из них 6 019 раз выпал герб, а во второй раз он сделал 24 000 бросаний, из них 12 012 раз выпал герб.

События называются несовместными, если появление одного из них исключает появление других в одном и том же испытании. Например, подбрасывается монета. Событие A – выпадение герба, событие B – выпадение цифры. A и B – несовместные события.

События называются совместными, если появление одного из них не исключает появление других в одном и том же испытании. Например, подбрасываются две игральные кости. Событие A – выпадение 6 очков на первой кости, событие B – выпадение 6 очков на второй кости. A и B – совместные события.

Два события, одно из которых обязательно должно произойти, но наступление одного события исключает возможность наступления второго, называются противоположными. Событие, противоположное событию A, будем обозначать . Например, попаданиеA и промах при выстреле по цели, работаВ и отказ при испытании прибора и т.д.

Группа событий A₁, A₂, …, A_n образует полную группу, если в результате испытаний появилось хотя бы одно из них.

Полная группа событий A₁, A₂, …, A_n называется полной группой совместных событий если совместны хотя бы два события из этой группы.

Пример 1. По цели производится три выстрела. Пусть A₁ – попадание при первом выстреле, A₂ – попадание при втором выстреле, A₃ – попадание при третьем выстреле. События A₁, A₂, A₃ образуют полную группу совместных событий.

Полная группа событий A₁, A₂, …, A_n называется полной группой несовместных событий, если события, входящие в группу попарно, несовместны.

Пример 2. По цели производится три выстрела. Пусть A₁ – промах, A₂ – одно попадание, A₃ – два попадания, A₄ – три попадания. События A₁, A₂, A₃, A₄ образуют полную группу несовместных событий.