2.3. Биномиальное распределение

Среди законов распределения для дискретной случайной величины наиболее распространенным является биномиальное распределение, которое имеет место в следующих случаях.

Пусть случайная величина X выражает число появления события A при n независимых испытаниях, проводимых в одинаковых условиях. Вероятность появления события A постоянна и равна p, т.е. p(A) = p. Следовательно, вероятность непоявления события А равна q = 1 – p.

Возможными значениями случайной величины Х будут:

.

Вероятности этих возможных значений определяются по формуле Бернулли:

. (2.1)

Эта формула является аналитическим заданием закона распределения для данной случайной величины.

Распределение дискретной случайной величины, для которой ряд распределения задается формулой (2.1), называется биномиальным, так как правую часть формулы (2.1) можно рассматривать как общий член разложения бинома Ньютона: (q + p)ⁿ.

Пример. Устройство состоит из трех независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента в одном опыте равна 0,1. Составить закон распределения отказавших элементов в одном опыте.

Р е ш е н и е. Дискретная случайная величина X (число отказавших элементов в одном опыте) имеет следующие возможные значения:

.

Отказы элементов независимы один от другого и вероятности отказа каждого элемента равны между собой, поэтому вероятности принятия возможных значений вычисляем по формуле (2.1), учитывая :

;

;

;

.

Напишем ряд распределения X:

X	0	1	2	3 .
p	0,729	0,243	0,027	0,001

Контроль: 0,729 + 0,243 + 0,027 + 0,001 = 1, т.е. сумма вероятностей в ряде распределения равна 1.

2.4. Распределение Пуассона. Простейший поток событий

При решении многих практических задач приходится иметь дело с дискретными случайными величинами, которые подчинены закону распределения Пуассона. Типичными примерами случайной величины, имеющей распределение Пуассона, являются: число вызовов на телефонной станции, число отказов аппаратуры за некоторое время t и т.д.

Закон распределения Пуассона называют законом массовых (n велико) и редких (p мало) явлений.

Рассмотрим следующую задачу.

Задача. Найти вероятность того, что при большом числе испытаний, в каждом из которых вероятность события мала, событие наступит k раз.

Р е ш е н и е. Пусть произведение сохраняет постоянное значение, это означает, что среднее число появлений события остается неизменным.

Воспользуемся формулой Бернулли:

(2.2)

Так как , то, подставляя в равенство (2.2), получим

(2.3)

По условию задачи n велико, поэтому в выражении (2.3) перейдем к пределу при

(2.4)

Так как

и

то выражение (2.4) примет вид:

Распределение дискретной случайной величины, для которой ряд распределения задается формулой

(2.5)

где называется распределением Пуассона.

Пример 1. Завод отправил на базу 500 доброкачественных изделий. Вероятность того, что изделие в пути повредится, равна 0,002. Найти вероятность того, что на базу прибудет три негодных изделия.

Р е ш е н и е. Имеем: p = 0,002, q = 1 – p = 0,998, k = 3, n = 500, т.е. n велико, p мало, поэтому эту задачу можно приближенно решить с помощью формулы Пуассона. Определим

Подставляя в формулу (2.5), получим искомую вероятность

Потоком событий называется последовательность событий, которая появляется в случайные моменты времени: последовательность отказов, поступление вызовов на АТС, на пункт скорой помощи, прибытие самолетов в аэропорт и т.д.

Простейшим (пуассоновским потоком) называют поток событий, который обладает:

1. стационарностью – вероятность появления k событий на любом промежутке времени t зависит только от k и t;

2. отсутствием последствия – предыстория потока не сказывается на вероятности появления событий в ближайшем будущем;

3. ординарностью – за бесконечный малый промежуток времени может появиться не более одного события.

Интенсивностью потока называют среднее число событий, которые появляются в единицу времени.

Можно доказать, что если постоянная интенсивность потока известна, то вероятность появления k событий простейшего потока за время длительностью t определяется формулой Пуассона:

(2.6)

Эта формула отражает все свойства простейшего потока.

Пример 2. Среднее число вызовов, поступающих на телефонную станцию в одну минуту, равно двум. Найти вероятность того, что за пять минут поступит четыре вызова.

Р е ш е н и е. По условию Воспользуемся формулой Пуассона (2.6):

Вероятность поступления четырех вызовов за 5 минут равна 0, 014.