Глава2. Случайные величины

2.1. Понятие случайной величины

Одним из важнейших понятий теории вероятностей является понятие случайной величины.

Если событие являлось качественной характеристикой опыта, то случайная величина является количественной характеристикой опыта.

Случайной величиной называется величина, принимающая в результате опыта числовое значение, которое принципиально нельзя предсказать исходя из условий опыта. Примерами случайной величины могут служить:

1. Число дефектных изделий в данной партии.

2. Число попаданий при n выстрелах.

Случайная величина обозначается прописными буквами латинского алфавита , а возможные значения соответственно строчными буквами.

Теоретико-множественная трактовка основных понятий теории вероятностей позволяет дать следующее определение случайной величины.

Определение. Случайной величиной X называется действительная функция , определенная на пространстве элементарных событий, где – элементарное событие (), такая, что при любом действительном x событие (X < x) принадлежит алгебре событий.

Чтобы в достаточной степени охарактеризовать случайную величину, нужно прежде всего задать набор ее возможных значений. Эти возможные значения могут быть ограниченными или неограниченными; в зависимости от этого сама случайная величина называется дискретной или непрерывной.

Дискретной случайной величиной называется такая величина, число возможных значений которой конечное либо бесконечное счетное.

Примеры дискретных случайных величин:

1. Число попаданий при трех выстрелах.

Возможные значения случайной величины X, выражающие число попаданий при трех выстрелах, будут x₁ = 0, x₂ = 1, x₃ = 2, x₄ = 3.

2. Число вызовов, поступающих на телефонную станцию в течение суток.

Случайная величина в данном примере может принять значения x₁ = 0, x₂ = 1, x₃ = 2…

Непрерывной случайной величиной называется такая величина, возможные значения которой непрерывно заполняют некоторый интервал числовой оси или всю ось, т.е. число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно.

Примеры непрерывных случайных величин:

1. время безотказной работы радиолампы;

2. диаметр отработанной втулки.

2.2. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины

Рассмотрим дискретную случайную величину X, возможные значения которой x₁, x₂, …, x_n, которые полностью не могут описать случайную величину, так как неизвестно, как часто следует ожидать появление тех или других возможных значений случайной величины.

Для этой цели необходимо знать закон распределения вероятностей случайной величины.

Пусть в результате опыта случайная величина Х примет одно из своих возможных значений, т.е. произойдет одно событие из полной группы несовместных событий: .

Обозначим:

.

Так как события образуют полную группу несовместных событий, то.

Законом распределения дискретной случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими вероятностями.

Простейшей формулой задания закона распределения является табл. 2.1, которая называется рядом распределения случайной величины.

Таблица 2.1

X	x1	x2	…	xn
p	p1	p2	…	pn

Для наглядности ряд распределения можно представить графически. Графическое изображение ряда распределения называют многоугольником распределения. Ряд распределения можно задать и аналитически, т.е. формулой.

Пример. Монета брошена два раза. Написать закон распределения случайной величины X – числа выпадений герба.

Р е ш е н и е. Дискретная случайная величина X (число выпадений герба) имеет следующие возможные значения: (ни разу не выпал герб, т.е. «цц»);(один раз выпал герб, т.е. «гц +цг»); (оба раза выпал герб, т.е. «гг»). Вероятности принятия этих возможных значений:

;  ;

.

Ряд распределения имеет вид:

X	0	1	2
p	0,25	0,5	0,25

К

.

онтроль:.