2.9. Равномерное распределение

Непрерывная случайная величина X имеет равномерное распределение на отрезке [a, b], если на этом отрезке плотность распределения случайной величины постоянна, а вне его – равна нулю, т.е.

(2.30)

где .

Найдем с из свойства 4 плотности распределения:

.

Итак, плотность распределения

(2.31)

График показан на рис. 2.7.

Найдем функцию распределения для равномерного распределения на интервале. Согласно формуле (2.15), имеем:

.

при , апри.

Таким образом,

(2.32)

График функции F(x) показан на рис. 2.8.

Рис. 2.7 Рис. 2.8

Определим математическое ожидание дискретной случайной величины X, имеющей равномерное распределение на [a, b].

Воспользуемся формулой (2.19):

.

Дисперсию случайной величины х находим по формуле (2.24)

,

откуда среднее квадратическое отклонение

.

Наконец, найдем

,

вероятность того, что случайная величина X, имеющая равномерное распределение, примет значение из интервала .

2.10. Показательное распределение. Функция надежности

Непрерывная случайная величина X распределена по показательному закону, если ее плотность вероятности имеет вид:

(2.33)

где – постоянная положительная величина.

График плотности вероятности приведен на рис. 2.9.

Найдем дифференциальную функцию случайной величины X, распределенной по показательному закону. По свойству 2 плотности вероятности:

Таким образом,

(2.34)

График функции распределенияпоказан на рис. 2.10.

Найдем числовые характеристики.

Математическое ожидание:

Дисперсия:

Среднее квадратичное отклонение для показательного распределения:

Таким образом:

Показательное распределение находит широкое применение в теории надежности, физике, биологии, теории массового обслуживания.

Если рассматривать в качестве непрерывной случайной величины T – длительность безотказной работы элемента, которая, как правило, имеет показательное распределение, тогда интегральная функция:

(2.35)

определяет вероятность отказа элементов за время t.

Вероятность противоположного события, т.е. вероятность безотказной работы элемента за время t, определяется равенством:

Таким образом:

(2.36)

Функция (2.36) называется функцией надежности, или показательным законом надежности, где выражает интенсивность отказов.

Пример. Время работы лампы имеет показательное распределение. Определить вероятность того, что время безотказной работы радиолампы будет не меньше 600 часов, если среднее время работы радиолампы 400 часов.

Р е ш е н и е. По условию , откудаи по формуле (2.36):

Таким образом, вероятность того, что время безотказной работы радиолампы будет не меньше 600 часов, равна примерно 0,225.

2.11. Нормальное распределение

Среди распределений непрерывных случайных величин центральное место занимает нормальный закон (закон Гаусса). Главная особенность, выделяющая его среди других законов, состоит в том, что он является предельным законом, к которому приближаются другие законы распределения.

Непрерывная случайная величина X имеет нормальный закон распределения с параметрами a и , если ее плотность вероятности имеет вид:

. (2.37)

Найдем математическое ожидание и дисперсию нормального распределения. Имеем по формуле (2.19):

Производя замену переменной

имеем

Второй интеграл равен нулю как интеграл от нечетной функции в симметричных пределах, первый интеграл представляет собой известный интеграл Пуассона, который равен . Поэтому

Итак, параметр a является математическим ожиданием случайной величины, имеющей нормальное распределение.

Дисперсия нормального распределения определяется по формуле (2.24):

Применив снова замену переменной

имеем

Интегрируя по частям, получим:

.

Первое слагаемое в скобках равно нулю, так как приубывает быстрее, чем возрастает любая степеньt. Второе слагаемое снова есть интеграл Пуассона и, следовательно, равен . Поэтому

Таким образом, параметрв выражении (2.37) есть среднее квадратичное отклонение случайной величины, имеющей нормальное распределение.

График плотности вероятности нормального распределения (рис. 2.11) называют нормальной кривой (кривой Гаусса).

Нормальное распределение с параметрами называют нормированным распределением.

Отметим некоторые свойства нормальной кривой:

1) кривая симметрична относительно прямой ;

2) при ветви кривой асимптотически приближаются к осиOX;

3) точка является точкой максимума кривой;

4) изменение параметра a при приводит к смещению кривой вдоль осиOX;

5) при изменении параметра , акривая изменяет свой вид. При уменьшениикривая распределения становится более крутой.