1.5. Комбинаторный метод вычисления вероятностей по классической формуле

По классическому определению вероятность события определяется по формуле:

(1.3)

где – число случаев, благоприятствующих появлению событияА; – общее число равновозможных случаев.

При вычислении вероятности по этой формуле часто используют основные правила и формулы комбинаторики.

Сформулируем два важных правила.

1. Правило суммы. Если элемент А₁ может быть выбран n₁ способами, элемент А₂ – n₂ способами и т.д., А_k – n_k способами, то выбор одного из элементов: или А₁, или А₂, или …, или А_k может быть осуществлен способами.

Пример 1. Сколько различных трехзначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, чтобы каждое число содержало цифру 1 ровно 2 раза.

Р е ш е н и е. Две единицы содержат трехзначные числа вида:

; ;

Числа вида A₁ могут быть составлены способами, видаА₂ – n₂ = 5 способами, вида способами. По правилу суммы всего таких чисел можно составить

2. Правило умножения. Если элемент A₁ может быть выбран n₁ способами, после каждого такого выбора элемент A₂ может быть выбран n₂ способами и т.д., после каждого (k–1) выбора элемент A_k может быть выбран n_k способами, то выбор всех элементов в указанном порядке может быть осуществленспособами.

Пример 2. Сколько различных трехзначных чисел, делящихся на 5, можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5.

Р е ш е н и е. Трехзначное число – это комбинация вида (a, b, c), где на месте a могут быть числа 1, 2, 3, 4, 5, т.е. на местеb – 0, 1, 2, 3, 4, 5, т.е. а на местес – 0 и 5, т.е. Поправилу умножения всего таких чисел можно составить

Различают три типа комбинаций: размещение, сочетание и перестановка.

Размещениями из n элементов по k называются упорядоченные подмножества k элементов множества, отличающиеся либо составом элементов, либо порядком их расположения (либо и тем и другим). Число размещений из n элементов по k равно:

. (1.4)

Сочетаниями из n элементов по k называются неупорядоченные подмножества k элементов множества, отличающиеся только составом элементов. Число сочетаний из n элементов по k равно:

(1.5)

Если комбинации из n элементов отличаются только порядком расположения этих элементов, то их называют перестановками из n элементов. Число перестановок из n элементов равно:

(1.6)

Пример 3. Задано множество из трех букв (a, b, c). Составить все сочетания и размещения из трех букв по 2 и найти все перестановки.

Р е ш е н и е. Число сочетаний и их представление:

Число размещений и их представление:

Число перестановок и их представление:

Если в размещениях (сочетаниях) из n элементов по k некоторые из элементов (или все) могут оказаться одинаковыми, то такие размещения (сочетания) называют размещениями (сочетаниями) с повторениями из n элементов по k.

Число размещений с повторениями из n элементов по k равно:

(1.7)

Число сочетаний с повторениями из n элементов по k равно:

(1.8)

Пример 4. В конкурсе по 5 номинациям участвуют 10 кинофильмов. Сколько существует вариантов распределения призов, если по каждой номинации установлены: а) различные призы; б) одинаковые призы?

Р е ш е н и е. а) Каждый из вариантов распределения призов представляет собой комбинацию 5 фильмов из 10, отличающуюся от других комбинаций как составом фильмов, так и их порядком по номинациям (или тем и другим), причем одни и те же фильмы могут повторяться несколько раз, так как любой фильм может получить призы как по одной, так и по нескольким номинациям, т.е. представляет размещение с повторениями из 10 элементов по 5. Их число по формуле (1.7) равно:

б) Если по каждой номинации установлены одинаковые призы, то порядок следования фильмов в комбинации 5 призеров значения не имеет, и число вариантов распределения призеров представляет собой число сочетаний с повторениями из 10 элементов по 5, определяемое по формуле (1.8):

Если в перестановках из общего числа n элементов есть k различных элементов, при этом 1-й элемент повторяется n₁ раз, 2-й элемент– n₂ раз, … k-й элемент – n_k раз, причем , то такие перестановки называют перестановками с повторениями изn элементов. Число перестановок с повторениями из n элементов равно:

(1.9)

Пример 5. Сколько существует семизначных чисел, состоящих из цифр 4, 5, 6, в которых цифра 4 повторяется 3 раза, а цифры 5 и 6 – по 2 раза?

Р е ш е н и е. Каждое семизначное число отличается от другого порядком следования цифр, т.е. является перестановкой с повторениями из 7 элементов, причем . Их число по формуле (1.9) равно:

.

Существуют две схемы выбора – с возвращением каждого элемента в совокупность и без возвращения. В результате получаются следующие четыре различные постановки эксперимента по выбору наудачу k элементов и общего числа n различных элементов.

1. Схема выбора, приводящая к сочетаниям. Если опыт состоит в выборе k элементов из n имеющихся без возвращения и без упорядочивания, то получаемые при этом комбинации будут сочетаниями из n элементов по k, а их общее число определяется по формуле:

.

Пример 6. В урне 5 белых и 10 красных шаров. Наугад извлекают 2 шара. Найти вероятность того, что оба шара белые.

Р е ш е н и е. Пусть событие А = {оба шара белые}, тогда по формуле (1.3):

,

где ;.

Итак,

.

2. Схема выбора, приводящая к размещениям. Если опыт состоит в выборе k элементов из n без возвращения, но с упорядочиванием их по мере выбора, то общее число элементарных исходов будет определяться по формуле:

.

Если , то

Пример 7. В мешочке имеется пять одинаковых кубиков. На всех гранях кубика написана одна из букв: «п», «о», «р», «с», «т». Найти вероятность того, что на вынутых по одному и расположенных в линию кубиках можно прочесть слово «спорт».

Р е ш е н и е. Пусть событие A – получение слова «спорт». Различные комбинации пяти букв из имеющихся пяти представляют размещения, так как могут отличаться как составом входящих букв, так и порядком их следования (или и тем и другим), т.е. общее число случаев , из которых благоприятствует событиюА только один случай, т.е. m = 1. По формуле (1.3):

.

3. Схема выбора, приводящая к сочетаниям с повторениями. Если опыт состоит в выборе с возвращением элементов из, но без последующего упорядочивания, то общее число элементарных исходов будет определяться по формуле:

.

Пример 8. В кондитерской имеется 7 видов пирожных. Очередной покупатель выбил чек на 4 пирожных. Считая, что любой заказываемый набор пирожных равновероятен, вычислить вероятность того, что покупатель заказал: а) пирожные одного вида; б) пирожные разных видов.

Р е ш е н и е. а) Число всех равновозможных исходов, очевидно, равно числу сочетаний с повторениями из 7 по 4, т.е.

.

Пусть событие А = {пирожные одного вида}, В = {пирожные разных видов}. Число исходов, благоприятствующих событию А, равно числу способов выбрать один элемент из семи, поэтому . По формуле (1.3):

.

б) Число исходов, благоприятствующих событию В, равно числу способов отобрать без возвращения 4 элемента из 7, поэтому

.

По формуле (1.3):

.

4. Схема выбора, приводящая к размещению с повторениями. Если опыт состоит в выборе элементов изс возвращением и упорядочиванием, тогда общее число равновозможных исходов будет определяться по формуле:

.

Пример 9. В группе 10 человек. Найти вероятность того, что хотя бы у двух студентов дни рождения совпадают.

Р е ш е н и е. Пусть событие А – дни рождения хотя бы двух студентов совпадают. Найдем вероятность противоположного события – дни рождения всех студентов различны.

Число случаев, благоприятствующих событию, есть число размещений изэлементов (дней года) по, т.е.. Общее число случаев определяется также числом размещений из 365 по 10, но размещений с повторениями, т.е.

.

Согласно классическому определению вероятности

.

Вероятность события А: .