Ankilov

В дальнейшем, поскольку все результаты, полученные для двойных интегралов, могут быть перенесены на тройные интегралы, ограничимся только формулировками утверждений и краткими пояснениями.

Тройной интеграл обладает свойствами, аналогичными соответствующим свойствам (п. 2.1.3) двойного интеграла. Для существования тройного интеграла (интегрируемости функции f (x, y, z) в области Т) достаточно, чтобы подынтегральная функция f (x, y, z) была

непрерывна в области Т.

Как и в случае двойных интегралов, вычисление тройных интегралов сводится к вычислению интегралов меньшей кратности.

Пусть область Т ограничена снизу и сверху поверхностями z Ф1 (x, y) и z Ф2 (x, y) , а с боковых сторон цилиндрической поверхностью, и пусть область D – проекция области Т на плоскость Оху (рис. 2.14), в которой определены и непрерывны функции Ф1 (x, y) иФ2 (x, y) ,

причем Ф1 (x, y) Ф2 (x, y) .

z z Ф2 (x, у)

Т

О z Ф1 (x, у)

Рис. 2.14

Тогда для любой функции f (x, y, z) , непрерывной в области Т, имеет место формула

позволяющая свести вычисление тройного интеграла к последовательному вычислению внутреннего определенного интеграла по переменной z (при постоянных х и у) и внешнего двойного интеграла по области D.

Записывая двойной интеграл по области D через один из повторных, получаем формулу

51

сводящую вычисление тройного интеграла к последовательному вычислению трех определенных интегралов.

2.2.2. Замена переменных в тройном интеграле

Как для двойных интегралов, так и для тройных имеют место формулы перехода от прямоугольных координат к новым системам координат, из которых наиболее употребительными являются цилиндрические и сферические координаты.

Замену переменных в тройном интеграле производят по следующему правилу.

Пусть ограниченная замкнутая область Т пространства (x, y, z) взаимно однозначно отображается на область Т* пространства (u, , ) с помощью непрерывно дифференцируемых функций

x x(u, , ), y y(u, , ), z z(u, , ) .

Тогда в области Т* якобиан

52

и имеет место формула

ТТ*

Название «цилиндрические координаты» связано с тем, что координатная поверхность r = const (т. е. поверхность, все точки которой имеют одну и ту же координату r) является цилиндром, прямолинейные образующие которого параллельны оси Oz.

53

Название «сферические координаты» связано с тем, что координатная поверхность ρ = const является сферой. Сферические координаты иначе называют полярными координатами в пространстве.

При вычислении тройного интеграла путем перехода к цилиндрическим или сферическим координатам область Т* обычно не изображают, а пределы интегрирования расставляют непосредственно по виду области Т, используя геометрический смысл новых координат. Выбор новой системы координат зависит как от области интегрирования Т, так и от вида подынтегральной функции f (x, y, z) .

1

Рис. 2.18 Рис. 2.19

Пример 2.2.3. Найти объем шара радиуса R с помощью тройного интеграла. Решение. Поместим начало декартовой прямоугольной системы координат в центре

шара Т и перейдем к сферическим координатам. Из вида области Т (рис. 2.19) следует, что

54

2.2.3. Приложения тройного интеграла

Кратко рассмотрим типичные задачи применения тройных интегралов, ограничившись приведением необходимых формул, так как их вывод аналогичен выводу соответствующих формул в случае двойных интегралов.

Как уже было отмечено в п. 2.2.1, объем V пространственной области Т равен

V dxdydz .

T

Пусть область Т занимает материальное тело с плотностью (x, y, z) , представляющей

собой непрерывную функцию. Тогда координаты центра масс тела определяются следующими формулами:

где M (x, y, z)dxdydz – масса данного тела.

Т

В частности, если рассматриваемое тело однородное, т. е. γ(x, y, z) = const, то выражения для координат центра масс упрощаются и принимают вид

где V – объем данного тела. Величины

в формулах (2.29) называются статическими моментами относительно координатных плоскостей Оуz, Oxz и Оху соответственно.

Моменты инерции тела относительно осей координат определяются следующими формулами:

Момент инерции относительно начала координат:

J0 (x2 y 2 z 2 ) (x, y, z)dxdydz (J x J y J z ) / 2 .

T

55

Пример 2.2.4. Найти координаты центра масс однородного полушара: x2 y 2 z 2 R2 , z 0 .

Решение. В силу симметрии xc yc 0 . Координата zc определяется по формуле

zdxdydz

Учитывая, что V 23 R3 (см. пример 2.2.3) и переходя к сферическим координатам, получаем

В заключение отметим, что по аналогии с двойным и тройным интегралами можно ввести понятие n-кратного интеграла, т. е. интеграла от функции n переменных. В этой главе мы ограничились рассмотрением только двойных и тройных интегралов, имеющих наиболее широкое применение.

2.3. Основные термины

Интегральная сумма.

Диаметр плоской и пространственной областей. Двойной интеграл.

Тройной интеграл. Интегрируемая функция. Цилиндрическое тело. Повторный интеграл.

Взаимно-однозначное соответствие. Якобиан.

Цилиндрические координаты. Сферические координаты.

2.4.Вопросы для самоконтроля

1.Как составляется интегральная сумма для функции z f (x, y) в плоской области

D?

2.Что называется интегралом от функции z f (x, y) по плоской области D?

3.Каков геометрический смысл двойного интеграла?

4.Какими свойствами обладает двойной интеграл?

5.Может ли двойной интеграл от положительной функции быть отрицательным?

6.Как свести двойной интеграл к повторному? От чего зависит порядок интегрирования?

7.В каких случаях оправдан переход к полярным координатам в двойном интеграле? Чему равен якобиан преобразования?

56

8.Какие физические и геометрические величины можно вычислить с помощью двойного интеграла?

9.Что называется тройным интегралом от функции u f (x, y, z) по пространственной

области Т?

10.Зависит ли интегральная сумма от способа разбиения области Т на части? От выбора точек в каждой части?

11.Всякая ли непрерывная функция интегрируема?

12.Как формулируется теорема о среднем для двойного и тройного интегралов?

13.Как расставить пределы интегрирования в повторном (трехкратном) интеграле?

14.Как определяются цилиндрические и сферические координаты точки в пространстве?

15.Чему равны якобианы преобразований при переходе от декартовых координат к цилиндрическим и сферическим координатам?

16.Каковы основные физические и геометрические приложения тройного интеграла?

2.5. Задачи для самостоятельного решения

57