Ankilov

дает систему двух дифференциальных уравнений для определения векторных линий поля a a (M ) . Методы решения систем вида (4.5) будут рассмотрены в главе 6.

Векторные линии характеризуют поле геометрически и дают определенную информацию о структуре этого поля. Так, если a a (M ) поле скоростей текущей жидкости,

то в этом поле векторные линии, очевидно, будут являться траекториями частиц жидкости; называются они в этом случае линиями тока. В силовых полях векторные линии называются

силовыми линиями.

4.2.2. Поток векторного поля

Пусть S – гладкая или кусочно-гладкая двусторонняя поверхность, n – единичная нормаль к поверхности S. Выберем одну из сторон поверхности S, т. е. одно из двух

возможных направлений нормали n .

Определение 4.2.2. Потоком векторного поля a a (M ) через поверхность S в

Обозначим через α, β, γ углы, составленные нормалью n с осями координат. Выражая в (4.6) скалярное произведение через координаты перемножаемых векторов, получаем

K (a, n) d .

S

101

В точках, где векторные линии выходят из области Т (жидкость вытекает), внешняя

нормаль образует с вектором a острый угол и скалярное произведение ( a , n ) > 0; в точках же поверхности, где векторные линии входят в область Т (жидкость втекает), внешняя

нормаль составляет с вектором a тупой угол, поэтому ( a , n ) < 0. Отсюда следует, что поток вектора, определяемый интегралом (4.6), дает разность между количествами жидкости, вытекающей из области Т и втекающей в нее за единицу времени.

Пусть поток К > 0; это значит, что из области Т вытекает больше жидкости, чем втекает. Если жидкость предполагать несжимаемой, то такое возможно только тогда, когда внутри области Т существуют источники, питающие поток. Наоборот, если поток К < 0, то количество вытекающей жидкости меньше количества жидкости втекающей. Следовательно, внутри Т имеются стоки, поглощающие излишек жидкости. Если в области Т нет ни источников, ни стоков, то количества жидкости вытекающей и втекающей в Т равны и поток

К = 0.

Пример 4.2.2. Найти поток векторного поля Е (см. пример 4.2.1) через сферу x2 y 2 z 2 R2 в направлении внешней нормали.

4.2.3. Дивергенция векторного поля

Рассмотрим векторное поле a a(M ) и некоторую замкнутую поверхность S в этом поле. Допустим, что поток вектора через внешнюю сторону поверхности S положителен:

(a, n)d 0 .

S

Если данное векторное поле рассматривать как поле скоростей движущейся жидкости, то положительность потока означает, что количество жидкости, вытекающей из области Т, ограниченной поверхностью S, больше, чем количество жидкости, втекающей в эту область. Иначе говоря, внутри объема должны находиться источники поля, интенсивность (мощность) которых характеризуется величиной потока векторного поля через поверхность S. Аналогично обстоит дело и когда поток векторного поля отрицателен; в этом случае в области Т должны находиться стоки. Однако возможно, что в обоих случаях в области Т находятся и источники, и стоки, но при положительности потока общая интенсивность источников превосходит интенсивность стоков, а при отрицательности потока дело обстоит наоборот. Поэтому величина потока характеризует интенсивность источников и стоков лишь суммарно. Более точной характеристикой является средняя интенсивность, которая определяется отношением потока вектора через поверхность S к объему V области Т, ограниченной этой поверхностью:

(a, n)d

102

В поле скоростей текущей жидкости при положительности потока это отношение дает среднее количество жидкости, поступающей из единицы объема за единицу времени. Если поток отрицателен, то отношение определяет количество жидкости, поглощаемой в среднем единицей объема за единицу времени.

Чтобы получить характеристику интенсивности источника (стока) в точке М0 Т,

Дивергенция векторного поля – скалярная величина. Она образует скалярное поле в данном векторном поле.

Имея в виду физическое значение потока векторного поля, можно сказать: если divа M 0 > 0, то точка М0 представляет собой источник, откуда жидкость вытекает, а если

divа M 0 < 0, то точка М0 – сток, поглощающий жидкость. При этом число divа M 0

характеризует интенсивность (мощность) источника или стока. В точках поля с положительной дивергенцией векторные линии начинаются, а в точках поля с отрицательной дивергенцией – кончаются. В электростатическом или магнитном поле источниками будут, соответственно, положительные заряды или северный полюс магнита, а стоки – отрицательные заряды или южный полюс магнита.

Получим формулу, удобную для вычисления дивергенции векторного поля. С этой целью преобразуем интеграл в правой части формулы (4.11). Предполагая условия теоремы 3.2.1 выполненными, согласно формуле Остроградского-Гаусса (3.34) будем иметь:

103

если r 0 . Итак, дивергенция вектора Е равна нулю всюду за исключением начала координат, где помещен заряд.

Чтобы найти дивергенцию в точке, где находится заряд, воспользуемся формулой (4.11), взяв в качестве S сферу радиуса R c центром в начале координат. Как было

установлено при решении примера 4.2.2, поток (E, n)d 4 q , следовательно,

S

поверхность (4.6), формулу Остроградского-Гаусса (3.34) можно записать в более компактной форме

поверхность S в направлении ее внешней нормали равен тройному интегралу по области T, ограниченной этой поверхностью, от дивергенции этого векторного поля.

4.2.4. Циркуляция векторного поля

Пусть в некоторой области D задано векторное поле a(M ) P(x, y, z)i

+ Q(x, y, z) j R(x, y, z)k и пусть L – гладкая или кусочно-гладкая кривая, расположенная в этой области. Выберем на L одно из двух направлений движения и обозначим через d r dx, dy, dz вектор, имеющий в каждой точке кривой L направление, совпадающее с направлением движения по этой кривой.

104

LL

Втом случае, когда a a(M ) – силовое поле, линейный интеграл (4.14) равен работе

сил поля при перемещении точки вдоль L (см. п. 3.1.3).

Особый интерес представляет случай, когда кривая L замкнута.

Определение 4.2.4. Циркуляцией векторного поля a a(M ) вдоль замкнутой линии L

называется линейный интеграл

+ R2 cos2 )d 2 R2 2 S , где S – площадь круга, ограниченного окружностью L.

Данный пример показывает, что циркуляция линейной скорости жидкости, вращающейся вокруг оси, пропорциональна угловой скорости вращения и площади S

круга, охватываемого при этом вращении. Поэтому величина Г (a, d r) может служить

L

мерой мощности потока жидкости, движущейся вдоль окружности L с линейной скоростью a . Удельная циркуляция ГS 2 (или средняя мощность рассматриваемого потока)

характеризует интенсивность вращательного движения жидкости и является мерой завихренности потока.

105

4.2.5. Ротор векторного поля

Определение 4.2.6. Ротором (или вихрем) векторного поля a a(M ) называется вектор