Ankilov

расположенных уравнениях с помощью ведущего уравнения исключаем xi . После n–1 шага таких преобразований исходная система (1.1) будет приведена к следующему виду:

Преобразованной СЛАУ (7.3) соответствует треугольная расширенная матрица

Исключение одного неизвестного xk (k = 1, 2,…, n) вышеуказанным способом

называется циклом процесса. Выполнение всех циклов, в результате которых получается система (7.3), называется прямым ходом метода Гаусса.

Запишем расчетные формулы процесса исключения неизвестного xk на k-м цикле. Пусть уже исключены x1,..., xk 1 , т. е. получены элементы, равные 0 ниже главной диагонали

в первых (k–1)-м столбцах расширенной матрицы системы A . Тогда остались такие уравнения с отличными от нуля элементами ниже главной диагонали:

Для исключения неизвестной xk переставим уравнения подсистемы (7.4) так, чтобы верхнее уравнение имело самый большой по модулю коэффициент перед xk , т. е. выберем ведущее уравнение. Это необходимо для уменьшения вычислительной погрешности.

Пусть akk(k ) – коэффициент с наибольшей абсолютной величиной среди коэффициентов, стоящих перед неизвестной xk во всех уравнениях системы (7.4). С помощью первого уравнения системы (7.4) исключим неизвестное xk из остальных уравнений. Для этого k-ое

уравнение умножим на число

a(k )

Cmk amk(k ) (7.5) kk

и вычтем из m-го уравнения (m = k + 1,…, n). Тогда коэффициент при xk m-го уравнения обратится в 0, а остальные получатся по следующим формулам:

Вычисления выполняются последовательно для всех указанных индексов. После их окончания xk окажется исключенным из k+1, k+2,…, n-го уравнений. На этом очередной

191

цикл исключения заканчивается. Процесс продолжается дальше аналогично до завершения прямого хода.

В результате выполнения прямого хода метода Гаусса в случае определенной системы в последнем уравнении системы (7.3) остается одно неизвестное xn , в предпоследнем – два:

xn и xn 1 и т. д. Это позволяет из последнего уравнения найти xn , затем, подставив его в предпоследнее, найти xn 1 , и т. д. Этот этап задачи, состоящий в нахождении xn ,..., x1 из

преобразованной системы (7.3), получил название обратного хода метода Гаусса. Замечание 1. Метод Гаусса относится к точным методам решения рассматриваемых

систем. Это значит, что при выполнении всех операций без округлений получится точное решение системы. Так как на практике все вычисления ведутся обычно с округлением, то значения неизвестных неизбежно будут содержать погрешности. Если матрица системы хорошо обусловлена (матрица A плохо обусловлена, если малые изменения ее элементов

приводят к существенным изменениям элементов обратной матрицы A 1 ), то оценить погрешность решения можно с помощью вычисления невязок, представляющих собой модули разностей между правыми и левыми частями уравнений системы (7.1):

r1 b1(1) a11(1) x1 a12(1) x2 ... a1(1n) xn , r2 b2(1) a21(1) x1 a22(1) x2 ... a2(1n) xn ,

...................................................

rn bn(1) an(11) x1 an(12) x2 ... ann(1) xn .

Если невязки малы по модулю, то решение системы найдено достаточно точно.

Замечание 2. Технически решение системы (7.1) методом Гаусса удобнее вести, применяя к расширенной матрице системы A элементарные преобразования строк:

1)перестановка двух строк местами;

2)умножение строки на действительное число, отличное от нуля;

3)сложение двух строк.

Применяя конечное число этих преобразований, получим расширенную матрицу эквивалентной системы, имеющей то же самое решение. При этом этапы выполнения прямого хода обычно оформляются в виде специального расчетного бланка, как это будет показано в примере (табл. 7.2). Для контроля правильности выполнения текущих

вычислений в бланк вводится дополнительный столбец, обозначенный am(i)5 . На начальном этапе заполнения бланка первые элементы этого столбца получаются суммированием других

элементов строк матрицы A . Остальные элементы контрольного столбца вычисляются аналогично другим элементам по формулам (7.6) в каждом цикле. Если в текущем цикле все вычисления были выполнены правильно, то сумма элементов каждой строки (кроме

последнего) должна быть равна последнему элементу am(i)5 . Возможно расхождение между суммой и элементом am(i)5 в последнем знаке из-за ошибок округления.

7.1.2.Задание на лабораторную работу

1.Найти методом Гаусса с выбором ведущего элемента решение системы линейных уравнений:

8,30 x1 (2,62 ) x2 4,10 x3 1,90 x4 10,65 , 8,21 x1 (3,65 ) x2 1,69 x3 6,99 x4 8,35,

3,92 x1 8,45 x2 (7,78 ) x3 2,46 x4 12,21, 3,77 x1 (7,21 ) x2 8,04 x3 2,28 x4 15,45 .

192

2.Решить систему уравнений методом Гаусса с помощью микрокалькулятора (МК). Вычисления на МК вести с 6 знаками после запятой.

3.Заполнить расчетный бланк.

4.Найти невязки полученного решения.

5.Продолжить выполнение работы в компьютерном классе. Решить систему с помощью ЭВМ.

6.Сравнить результаты машинного решения и полученного по расчетному бланку.

7.Оформить результаты в виде отчета, в который входят: титульный лист; исходная система уравнений; расчетный бланк; невязки; результаты сравнения машинного и ручного решения системы.

7.1.3.Порядок выполнения работы в компьютерном классе

1.Прежде чем начать выполнение лабораторной работы на ЭВМ, внимательно ознакомьтесь с данной инструкцией.

2.При необходимости включите сами (или попросите лаборанта) питание компьютера. После того, как система загрузится, запускаем двойным щелчком левой кнопки мыши на

рабочем столе программу Mathcad, если же ярлык отсутствует, то открываем программу через кнопку «Пуск» (Программы Mathsoft Mathcad).

3.Узнайте у лаборанта расположение пакета Lab и откройте файл Lab1.mcd (File Open или, если программа русифицирована, Файл Открыть). При любой ошибке ввода программы нужно обратиться к лаборанту.

4.Прочитайте в начале файла задание на лабораторную работу и просмотрите пример выполнения работы, для которого исследование уже проведено. В файле Lab1.mcd в первом разделе «Получение решения в системе Mathcad» отыскивается решение определенной системы линейных уравнений с помощью стандартной функции системы Mathcad lsolve(A,B). Во втором разделе «Метод Гаусса решения СЛАУ» в первом пункте запрограммирован одноименный метод с выбором ведущего элемента, а во втором пункте приведены примеры нахождения решения несовместных, определенных и неопределенных систем линейных

метод решения определенных систем линейных уравнений по формуле X A 1B , где A 1 – обратная матрица для основной матрицы системы A . В последнем разделе «Решение линейных и нелинейных систем уравнений аналитически» приведены дополнительные сведения о возможностях системы Mathcad по нахождению точных аналитических решений

193

систем линейных и нелинейных уравнений с помощью программного блока системы

Mathcad «Given – – Find(var1, var2,…)», где var1, var2,… – отыскиваемые переменные.

5.Введите вместо элементов матрицы системы A и столбца свободных элементов B в задании примера свои значения. При вводе числовых данных, являющихся десятичными дробями, целую и дробную части нужно разделять точкой (например, 8.30, 1.90 и т. д.).

6.Дальнейший порядок выполнения работы Вам укажет программа подсказками и заданиями, выделенными жирным шрифтом.

7.1.4.Программа в системе MathCAD и тестирующий пример

Вданном подразделе приведен текст программы Lab1.mcd, разработанной для решения систем линейных уравнений. В тексте разбирается применение метода Гаусса и матричного метода решения систем. Так же показано отыскание корней систем нелинейных уравнений в системе Mathcad. Для примера разбирается отыскание решения системы A X B , где

Лабораторная работа №1 «Решение систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)»

Задание на лабораторную работу

1.Записать систему уравнений четвертого порядка в соответствии с параметрами и

своего варианта.

2.Используя калькулятор, решить эту систему методом Гаусса с выбором ведущего элемента.

3.Вычислить невязки уравнений r1 , r2 , r3 , r4 .

4.С помощью компьютера найти точное решение.

5.Вычислить погрешности решения 1 , 2 , 3 , 4 .

Получение решения в системе Mathcad

Введите систему уравнений в матричном виде AX=B, где A – основная матрица системы, B – столбец свободных элементов, X = (x1, x2, . . . , xn) - столбец неизвестных.

Здесь n – число неизвестных, m – число уравнений. Расширенная матрица системы имеет вид

194

j 2 0

196

Получили решение

а) Ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы системы и равен числу неизвестных Rang(A)=Rang(C)=n, тогда решение существует и единственное (т.е. система совместна и определена)

Следовательно, получили решение (последний столбец в ступенчатой матрице)

X rref(C) m

2.596325684506

Rang(A) Rang(C), тогда по теореме Кронекера-Капелли решение не существует (т.е. система не совместна). Например,

197

Таким образом, получили противоречивое уравнение 0=1 (последняя строка), значит, система не совместна.

в) Ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы системы, но меньше числа неизвестных Rang(A)=Rang(C)<n, тогда существует бесконечно много решений (т.е. система совместна и неопределена). Например,

Таким образом, для трех неизвестных получили два уравнения:

Пусть x1, x2 – базисные, а x3 – свободная переменная. Считая свободные переменные произвольными (в данном примере x3 C) и выразив базисные переменные через свободные,

получим общее решение

Матричный метод решения СЛАУ

Найдем определитель матрицы системы

A 469.43263276

Так как определитель отличен от нуля, то обратная матрица существует

Матричным методом находим решение

Для проверки погрешности решения вычислим невязки уравнений r1 , r2 , r3 , r4

198

Решение линейных и нелинейных систем уравнений аналитически

Для этого используются ключевые слова Given - Find. Рассмотрим несколько примеров. а) Система линейных уравнений совместна и определена:

б) Система линейных уравнений совместна и неопределенна:

Given

a 2 b 3 c 1 4 a 5 b 6c 2 7 a 8 b 9c 3

Т.е. получили общее решение.

в) Система уравнений несовместна (тогда функция Find будет выделена красным цветом)

Given

a 2 b 3 c 1 4 a 5 b 6c 2 7 a 8 b 9c 4

Find(a b c)

г) Решения системы нелинейных уравнений выдаются в виде матрицы, где каждый столбец представляет одно решение этой системы

Given

Т. е. получили три решения (a,b,c)

199

7.1.5. Расчетная часть лабораторной работы для тестирующего примера

1.Сначала выбираем максимальный по модулю элемент среди элементов первого столбца матрицы A. Он равен 8,30 и находится в первом уравнении. Поэтому нет необходимости в перестановке строк.

2.Заносим коэффициенты системы в первые 4 строки бланка расчета в столбцах,

отмеченных буквами am(11) ,..., bm(1) (табл. 7.2).

3.Суммируем элементы в каждой строке и записываем сумму в последний, контрольный столбец, обозначенный am(15) .

4.Заполняем далее столбец Cmk(1) (m – номер уравнения, m=2,3,4). Во второй –

четвертой строках этого столбца записываем числа, которые вычисляются по формулам

(7.5):

Первые 4 строки бланка заполнены полностью (табл. 7.2).

5. Для получения следующих трех строк применим формулы (1.6). Так, элементы первой из этих строк будут равны

a22(2) 3,15 3,12 0,266265 2,319253; a23(2) 1,69 4,10 0,266265 0,598314; a24(2) 6,99 1,90 0,266265 6,484097; b2(2) 8,35 10,15 0,266265 5,647410;

a25(2) 5,69 7,27 0,266265 3,754253.

Для выполнения контроля суммируем элементы этой строки (кроме последнего). Получаем

2,311253 + 0,598314 + 6,484097 – 5,644710 = 3,754254.

Сравниваем этот результат с a25(2) . Отличие наблюдается лишь в последнем десятичном

знаке, значит, наши вычисления верны. Аналогично находим и контролируем элементы остальных строк. Первый цикл закончен. Для выполнения второго цикла необходимо

выбрать новую ведущую строку по коэффициентам при x2 . Это будет уже вторая строка ( a32(2) 6,976458 ). Переставляем ее на место первой и повторяем уже проделанные расчеты; и так до окончания прямого хода.

200