Ankilov

Решаем систему (6.21) методом Крамера:

D1 cos x D2 sin x 2 ctgx cos x 23 ctgx ctgx sin x

D1 cos x D2 sin x 43 ctgx cos x.

Витоге получили

y D1 cos x D2 sin x 43 ctgx cos x ,

где D1 , D2 – произвольные числа.

171

6.3.4. Понятие о краевой задаче

Краевой задачей называется задача: найти функцию y = y(x), которая в интервале (a;b) удовлетворяет линейному дифференциальному уравнению

y'' P1 (x) y' P2 (x) y Q(x) ,

а на концах интервала краевым условиям 0 y(a) 0 y'(a) A, 1 y(b) 1 y'(b) B .

При этом предполагается, что функции P1(x), P2(x), Q(x) определены и непрерывны на (a; b), а α0, β0, α1, β1, A, B – одновременно не равные нулю заданные постоянные. Краевые условия называются однородными, если А = В = 0.

Краевая задача не всегда имеет решение. Для решения краевой задачи следует сначала найти общее решение уравнения, а затем из краевых условий составить систему для определения значений постоянных С1 и С2.

Пример 6.3.5. Найти частное решение уравнения y'' y 0 , удовлетворяющее краевым

является решением краевой задачи.

6.4. Системы дифференциальных уравнений

6.4.1. Основные понятия

Системой обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го порядка называется

дифференцируемых в интервале (a,b), если они обращают уравнения системы (6.22) в тождества, справедливые для всех t (a,b) .

172

Задачей Коши для системы (6.23) называется задача нахождения решения этой системы, удовлетворяющего начальным условиям

1.Непрерывны.

2.Имеют ограниченные частные производные по переменным x1 и x2, то найдется интервал t0 – h < t < t0 + h изменения t, в котором существует единственное решение системы (6.23), удовлетворяющее начальным условиям (6.24).

Общим решением системы (6.23) называется система функций x1 x1 (t,C1 ,C2 ) , x2 x2 (t,C1 ,C2 ) независимой переменной t и произвольных постоянных С1, С2, если:

1.При любых допустимых значениях С1, С2 система функций х1, х2 обращает уравнения (6.23) в тождества.

2.В области, где выполняются условия теоремы 6.4.1, функции х1, х2 решают любую задачу Коши.

подставляя их и функции х1, х2 в систему, получаем тождества. Таким образом, условие 1 выполнено. Проверим выполнение условия 2. Заметим, что условия теоремы 6.4.1.

задача Коши. Мы доказали, что функции х1, х2 образуют общее решение системы.

Найдем частное решение, удовлетворяющее начальным условиям х1(0) = 0, х2(0) = –4.

x2 2e t 2e3t .

Рассмотрим систему (6.23). Будем рассматривать систему значений t, x1 , x2 , как декартовы координаты точки пространства. Решение задачи Коши изображает в этом пространстве некоторую линию, проходящую через точку M 0 (t0 , x10 , x20 ) . Эта линия

называется интегральной кривой. Задача Коши для системы (6.23) получает следующую геометрическую формулировку: найти интегральную кривую, проходящую через данную точку М0. Теорема 6.4.1 устанавливает существование и единственность такой линии.

Нормальной системе (6.23) и ее решению можно дать еще такое толкование. Будем переменную t рассматривать как время, а систему значений х1, х2 как координаты точки плоскости х1Ох2. Эту плоскость переменных х1, х2 называют фазовой плоскостью. В фазовой плоскости решение x1 x1 (t) , x2 x2 (t) системы изображается линией, проходящей через

точку (x10 , x20 ) . Эту линию называют траекторией системы (фазовой траекторией).

173

Система (6.23) определяет в каждый момент времени t в данной точке фазовой плоскости координаты скорости { f1 ; f2 } движущейся точки.

6.4.2. Метод исключения неизвестных

Рассмотрим нормальную систему:

x' f1 (t, x, y) , y' f2 (t, x, y) ,

где t (a,b) , x x(t) , y y(t) – неизвестные функции. Для того чтобы решить систему

методом исключения, следует:

1.Из первого уравнения системы выразить y через t, x, x'.

2.Подставить у и у' во второе уравнение системы, в результате чего будет получено уравнение 2-го порядка относительно неизвестной функции х.

3.Решить это уравнение и найти х = х(t).

4.Найти у = у(t).

Пример 6.4.2. Решить систему методом исключения неизвестных: х' = y+1, y' = x. Решение. Из первого уравнения находим у = х' – 1, тогда у' = (x' – 1)' = x''. Подставляя

у = х' – 1 и у' = x'' во второе уравнение системы, получаем уравнение x'' = х или x'' – х = 0. Это линейное однородное уравнение 2-го порядка. Его общее решение есть x C1et C2 e t .

Общее решение имеет вид: x C1et C2 e t , y C1et C2 e t 1.

6.4.3. Метод Эйлера

Линейной однородной системой 2-го порядка с постоянными коэффициентами

называется система д. у. вида

где коэффициенты aik – постоянные, а х = х(t), у = у(t) – неизвестные функции от t. Систему (6.25) можно коротко записать в виде одного матричного уравнения Х' = А·Х,

называется фундаментальной, на (а,b), если ее определитель Вронского

W (t) x1 (t) x2 (t) 0 y1 (t) y2 (t)

для всех t (a,b) .

Теорема 6.4.2. Если система частных решений однородного уравнения Х' = А·Х является фундаментальной, то общее решение этого уравнения имеет вид Х = Х(t) = C1Х1(t) + C2X2(t), где С1, С2 – произвольные постоянные.

174

Для интегрирования систем (6.25) применяется метод Эйлера. Решение системы (6.25) ищем в виде x ert , y ert , где λ, µ, r – постоянные. Подставляя х, у в (6.25) и сокращая

на ert , получаем систему:

1.Пусть уравнение (6.27) имеет два различных действительных корня r1, r2. Подставив

в(6.26) вместо r число r1, получим числа λ1, 1 . Затем положим в (6.26) r = r2 и найдем λ2, 2.

Общее решение системы есть:

определения λ1, µ1: –4λ1 + 8µ1 = 0, λ1 – 2µ1 = 0, из которых одно является следствием другого (в силу того, что определитель системы (6.29) равен нулю). Положим µ1 = 1, тогда λ1 = 2.

Аналогично, подставляя в (6.29) r2 = –3, получаем 2 2 8 2 0 , 2 4 2 0 . Полагая µ2 = 1, находим λ2 = –4. Подставляем найденные значения в (6.28), получаем общее решение

мнимую части комплексного числа z, т. е. если z i , то Rez = α, Imz = β.

175

6.5. Основные термины

Дифференциальное уравнение. Порядок д. у.

Решение д. у. Интегральная кривая.

Задача Коши для д. у. 1-го порядка. Общее решение д. у.

Частное решение д. у. Общий интеграл д. у. Особое решение.

Уравнение с разделяющимися переменными. Однородное уравнение 1-го порядка. Линейное уравнение 1-го порядка. Уравнение Бернулли.

Уравнение в полных дифференциалах. Задача Коши для д. у. n-го порядка. Общее решение д. у. n-го порядка. Начальные условия.

Линейное однородное дифференциальное уравнение. Линейное неоднородное д. у.

Линейно зависимая система функций. Линейно независимая система функций. Определитель Вронского.

Фундаментальная система решений линейного однородного уравнения. Характеристическое уравнение.

Краевая задача. Краевые условия. Система д. у. 1-го порядка. Нормальная система 2-го порядка. Решение системы д. у.

Задача Коши для системы д. у. Начальные условия.

Общее решение системы д. у. Интегральная кривая системы 2-го порядка. Фазовая плоскость, фазовая траектория. Линейная однородная система.

Фундаментальная система решений линейной однородной системы д. у.

6.6. Вопросы для самоконтроля

5. Может ли линейное уравнение y' P(x) y Q(x) быть уравнением в полных дифференциалах?

6.Является ли задача y'' y' x , y(0) 0 – задачей Коши?

7.Является ли задача y'' y' x , y(0) 0 , y(1) 1 – задачей Коши?

176

8. Является ли функция y C1 cos x C2 sin x общим решением уравнения y'' y' 0 ?

9.Является ли функция y C1 общим решением уравнения y'' y' 0 (проверить, удовлетворяет ли эта функция начальным условиям y(0) 0 , y (0) 1)?

10.Можно ли понизить порядок уравнения y'' y' xy подстановкой p(x) y'(x) ?

11.Можно ли понизить порядок уравнения y'' y' xy подстановкой y' p( y) ?

12.Образуют ли функции y1 (x) sin x , y2 (x) cos x линейно независимую систему на интервале ( ; ) ?

15.Следует ли частное решение уравнения y'' y' 2x 1 искать в виде yч.н. = Ax + B?

16.Является ли задача y'' y x , y(1) =2, y(2) = 0, x (1;2) , краевой задачей?

17.Являются ли функции x = t, y = 2et решениями системы x' = et–x, y' = 2ex?

18. Можно ли утверждать, что система функций x 3C1 cos 3t 3C2 sin 3t ,

yC2 cos 3t C1 sin 3t является общим решением системы уравнений х' = –9у, у' = х?

19.Является ли задача х' = –9у, у' = х, х(0) = 1, у(1) = 0 задачей Коши?

20.Является ли система уравнений x' 2x y t , y' x y 2t линейной однородной

системой?

21.Можно ли систему уравнений x' x2 y , y' x y решить методом Эйлера?

22.Сформулируйте теорему 6.4.1 существования и единственности для линейной однородной системы 2-го порядка с постоянными коэффициентами.

6.7.Задачи для самостоятельного решения

177