Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Ульяновский Государственный Педагогический Университет им. И. Н. Ульянова

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Ankilov

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.02.2015

Размер:

2.14 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 2815 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 > Следующая >>>

		1 2					1		2			1		cos nx			2	1 2
		1 2					1		2			1		cos nx			2	1 2
bn				f x sin nxdx						x sin nxdx			x
bn				f x sin nxdx						x sin nxdx			x		n		0	n	cos nxdx
				0					0								0		0
				0					0										0
	2			1	sin nx	02		2		.
	2			1				2

	n			n2				n
Следовательно,										f x 2 sin nx .

											n 1		n
Этот ряд			дает		заданную					функцию	во		всех			точках,			кроме	точек разрыва
xk k , k 0, 1, 2,... . В этих точках сумма ряда равна:
												.
					1 f (xk 0) f (xk 0)								1 (2 0) .
					2								2

5.3.3. Ряд Фурье для четных и нечетных функций

Из определения четной функции следует, что если x – четная функция, то

x dx 2 x dx .

				0
Действительно,
	0
x dx		x dx x dx x dx			x dx x dx x dx 2 x dx,
		0	0	0	0	0	0

так как по определению четной функции x x .

Аналогично доказывается, что если x – нечетная функция ( x) (x) , то


	x dx x dx				x dx x dx				x dx 0.
			0	0				0	0
Пусть	в ряд Фурье		разлагается нечетная					функция	f x . Тогда произведение
f x cos nx	– нечетная функция, а			f x sin nx – четная. Следовательно,
		1
	an	1	f x cos nxdx 0, n 0,1,2,...,
	an		f x cos nxdx 0, n 0,1,2,...,


		1			2
	bn	1	f x sin nxdx		2	f x sin nxdx, n 1,2,3,...,
	bn		f x sin nxdx			f x sin nxdx, n 1,2,3,...,
						0
т. е. ряд Фурье нечетной функции содержит только синусы
							2
		f x bn sin nx,				bn	2	f x sin nxdx.
		f x bn sin nx,				bn		f x sin nxdx.
			n 1					0

141

Если в ряд Фурье разлагается четная функция, то произведение f x cos nx – четная функция, а f x sin nx – нечетная и, следовательно,

	2
an	2	f x cos nxdx, n 0,1,2,...,
an		f x cos nxdx, n 0,1,2,...,
		0
	1
bn	1	f x sin nxdx 0,		n 1,2,3,...,
bn		f x sin nxdx 0,		n 1,2,3,...,


т. е. ряд Фурье четной функции содержит только косинусы
f x a0				2		x cos nxdx.
	an cos nx,		an	2	f
	an cos nx,		an		f
2		n 1			0

Полученные формулы позволяют упрощать вычисления при разыскании коэффициентов Фурье в тех случаях, когда заданная функция является четной или нечетной.

Пример 5.3.3. Рассмотрим 2π-периодическую функцию, которая на –π, π задана формулой
f x x2	(рис. 5.3). Так как функция f x			четная, то
			2		2 x3		2 2


	bn 0,	a0		x2 dx				,

					3		3
				0		0	3
				0		0

an x2 cos nxdx, n 1,2,3,... .

f x

	0	2	3	4	x

Рис. 5.3

Интегрируя дважды по частям, получаем

2 x sin nx

sin nx

2xdx

x sin nxdx

cos nx

cos n

3 sin nx

2 , n 1,2,3,... .

142

Значит, ряд Фурье данной функции имеет вид

		2		n
f x			4	1	cos nx .
f x	3		4	2	cos nx .
	3		n 1	n

Это равенство справедливо при любом х R, так как функция f(x) непрерывна на всей числовой оси. В частности, при х , имеем

		2		n
х2			4 12		cos nx .
	3		n 1	n

5.3.4. Ряд Фурье для 2l-периодической функции

Пусть f(x) – периодическая функция с произвольным периодом Т=2l. Разложим ее в ряд

Фурье.	f (lt / )
Для этого сделаем замену переменной по формуле х lt / . Тогда функция

будет периодической функцией от t с периодом 2 . Ее можно разложить в ряд Фурье на отрезке x :

an cos nt bn sin nt ,

(5.30)

где

n 1

t dt,

t cos ntdt,

t sin nt dt.

Возвратимся к старой переменной х:

t , t

x , dt

dx .

Тогда будем иметь:

1 l

f x dx,

1 l

f x cos n x dx, b

1 l

f x sin n x dx .

l l

Разложение (5.30) получит вид

f x

n x

cos

bn sin

n 1

(5.31)

(5.32)

где коэффициенты a0, an, bn вычисляются по формулам (5.31). Правая часть формулы (5.32) – ряд Фурье для 2l-периодической функции f(x).

Отметим, что для 2l-периодической функции f(x) теорема о возможности разложения в ряд Фурье (теорема 5.3.2) формулируется аналогично. При вычислении коэффициентов Фурье по формулам (5.31) интегрировать можно по любому отрезку длиной 2l. Для четной или нечетной функции f(x) вычисление коэффициентов Фурье упрощается так же, как и в случае 2 -периодической функции.

143

Пример 5.3.4. Пусть требуется разложить в ряд Фурье периодическую функцию f(x) с периодом Т=2, которая на отрезке [–1,1] задается равенством f(x)= х (рис. 5.4).

f(x)

												–2					–1		О		1		2		3								x
												–2					–1		О		1		2		3
																					Рис. 5.4
Так как рассматриваемая функция – четная и l=1, то
													bn	0, a0 2						l					1					0	1,
																				l					1
																				f		x dx 2 xdx x2
																														1
		l																	l	0					0		1
															1				l	0					0			1 sin n x										1
	2		f x	cos				n x																sin n x													2
	2							n x																sin n x													2
an											dx			2			x cos n xdx					2 x											dx						sin n xdx
an	l								l		dx			2			x cos n xdx					2 x			n				n				dx				n		sin n xdx
	l								l																n				n								n
		0		1											0												0	0										0
		0													0												0	0										0
2 cos n x								2				cos n 1							2			1 n			1 .
								2											2

n2 2				0			n2 2												n2 2
n2 2				0			n2 2												n2 2
Следовательно, разложение имеет вид
		f x			1			2				1 n 1										1		4 cos x					cos 3 x					cos 5 x
																		cos n x														2				2		...
					2					2				n		2		cos n x				2			2	1				3		2			5	2		...
					2						n 1			n								2				1				3					5
			1		4					cos 2n 1 x
																		.
			2			2											2	.
			2				n 1					2n 1
					5.3.5. Ряд Фурье для непериодической функции
Пусть функция f(x) задана на отрезке [а, b ], причем функции f(x),																																			f (x) непрерывны на

[а, b ] или имеют на этом отрезке конечное число точек разрыва 1-го рода. Покажем, что заданную функцию f(x) в точках ее непрерывности можно представить в виде суммы ряда Фурье.

Для этого рассмотрим функцию f1(x) с периодом 2l b a , совпадающую с функцией f(x) на отрезке [а, b ]. Разложим функцию f1(x) в ряд Фурье

f1 x

n x

x , .

an cos

bn sin

n 1

Если x a,b , то f1(x)≡ f(x), следовательно,

n x

f x

x a,b .

an cos

bn sin

n 1

Это и есть разложение в ряд Фурье функции f(x), заданной на отрезке [а, b ].

144

Рассмотрим два частных случая.

1.Пусть функция f(x) задана на отрезке [0,l]. Доопределим функцию так, чтобы при

l x 0 было f(x)= f(–x), в результате получится четная функция

f x ,	l x 0
g x	0 x l	.
f x ,	0 x l	.

В этом случае говорят, что функция f(x) продолжена четным образом (рис. 5.5).

	y=f(x)			y=f(x)
–l	l	х	–l	l х

Рис. 5.5									Рис. 5.6
Разложим функцию g(x) на отрезке l,l в ряд Фурье
		g x a0		an cos n x ,

			2	n 1				l
где
an 2 l	g x cos n x dx			2 l	f x cos n x dx, n 0,1,2,... .
l 0		l		l 0				l
Коэффициенты b n=0, так как g(x) – четная функция.
Если x [0,l] , то g(x) f x		, следовательно,
		f x a0		an cos n x .

			2	n 1				l
2. Аналогично, продолжая		f x	нечетным образом, получим нечетную функцию
(рис. 5.6)
		f x ,				l x 0
	h x		f	x ,			0 x l ,
			f	x ,			0 x l ,
которая разлагается в ряд Фурье по синусам.
На отрезке [0,l]		f x h x bn sin n x ,


где				n 1				l
где
		bn	2 l	f x sin			n x	dx.
		bn	l 0	f x sin				dx.
			l 0				l

Таким образом, функцию f x , заданную на отрезке 0,l , можно разложить в ряд Фурье как по косинусам, так и по синусам.

145

Пример 5.3.5. Пусть требуется разложить функцию

f x x на

отрезке 0,1 в ряд по

косинусам.

Продолжая эту

функцию

четным

образом,

получим

f x

1 х 1

(рис. 5.4). Разлагая ее в ряд, найдем

cos 2n 1 x

f x

n 1

2n 1

(см. пример 5.3.4). При x [0,1] будем иметь

cos 2n 1 x

n 1

2n 1

Пример 5.3.6. Разложить функцию f x = х на отрезке [0, 1] в ряд Фурье по синусам.

Решение.

Искомое

разложение

имеет

вид

f x bn sin n x

n 1

гдеbn 2 l

f x sin

n x dx . Так как l=1, а f(x)=x 0 х 1 , то

l 0

cos n x

2 cos n

sin n x

bn 2

x sin n xdx 2

2cos n

2 1 n

2 1 n 1

следовательно,

n 1

x 0, 1 .

sin n x,

n 1

5.4. Основные термины

Числовой ряд. Общий член ряда. Частичная сумма ряда. Остаток ряда.

Сходимость и расходимость ряда. Сумма ряда. Геометрический ряд. Гармонический ряд. Обобщенный гармонический ряд.

Знакоположительный, знакочередующийся, знакопеременный ряды. Абсолютная сходимость ряда.

Условная сходимость ряда. Степенной ряд. Область сходимости.

Интервал сходимости. Радиус сходимости. Ряд Тейлора. Ряд Маклорена. Тригонометрический ряд.

Основная тригонометрическая система. Ортогональность функций на отрезке. Ряд Фурье. Коэффициенты Фурье.

146

5.5.Вопросы для самоконтроля

1.Является ли необходимый признак сходимости ряда достаточным? Почему? Приведите пример.

2.Нарушится ли сходимость ряда, если отбросить конечное число его членов? Изменится ли сумма ряда?

3.С помощью каких достаточных признаков можно исследовать сходимость знакоположительного ряда?

4.Какой ряд называется обобщенным гармоническим рядом? Что можно сказать о его сходимости?

5.Сходится ли знакочередующий ряд, если абсолютные величины его членов монотонно убывают?

	( 1)	n 1
6. Сколько первых членов ряда			нужно взять, чтобы найти его сумму с
	4
n 1	n

точностью 0,01?

7.Зависит ли сумма абсолютно (условно) сходящегося ряда от порядка его членов?

8.Что можно сказать об области сходимости степенного ряда?

9.Может ли степенной ряд всюду сходиться (всюду расходиться)?

10.Как найти радиус сходимости степенного ряда?

11. Верно ли утверждение: радиус сходимости любого степенного ряда an xn можно

n 0

найти по формуле R lim an ?

n an 1

12.Изменяется ли радиус сходимости степенного ряда при почленном дифференцировании (интегрировании) ряда?

13.Можно ли утверждать, что ряд Тейлора бесконечно дифференцируемой функции f(x) сходится к функции f(x)?

14.Каковы основные свойства функций, образующих основную тригонометрическую систему?

15.	Можно ли функцию f	x	sin x	разложить в ряд Фурье на отрезке , ?
			x

16.	Функция f x x3 разложена в ряд Фурье на отрезке [0,2π]. Чему равна сумма ряда
в точках х = 0, х = – ?
17.	По каким функциям разлагается в ряд Фурье четная (нечетная) функция?				0, 1 . Чему
18.	Функция f x x2 1	разложена в ряд Фурье по синусам на отрезке
равна сумма ряда в точках х=0,		х 1 , х 1 ? Чему равен период суммы ряда?
		2		2

147

5.6. Задачи для самостоятельного решения

Задание 1. Исследовать сходимость знакоположительного ряда, применяя признаки сравнения (№1-№4), признак Даламбера (№5-№8), радикальный признак Коши (№9- №12), интегральный признак Коши (№13, №14)

Ответы

n(2n 1)

Сходится

n 1 n 1 2

n 1

sin

Сходится

Расходится

n 1

n 1 ln(n 1)

Сходится

Расходится

n 1

n 1 3

Сходится

8. n!sin

Расходится

1 3 5

...(2n 1)

n 1

Сходится

10. n

arctg

Сходится

2n 1

n 1

Расходится

n 2

Сходится

11.

12. n

n 1

13.

Сходится

14.

Расходится

(n 1) ln

(n 1)

(2n 1) ln(n 1)

n 1

Задание 2. Исследовать

сходимость знакопеременного ряда

Ответы

n 1

Сходится

( 1)

(2n 1)2

абсолютно

ln(n 1)

условно

n 1

( 1)

n 1

Сходится

sin(n 1)

Сходится

n 1

3 n

условно

n 1

абсолютно

Сходится

( 1)

(n 1)!

абсолютно

ln 1

условно

n 1

Задание 3. Найти область

сходимости степенного ряда

Ответы

( 2,4)

[ 1,1]

( 1)n

n 0

n 1

(x 2)

( 1,1)

[ 3, 1)

2n 1

n n

n 0

n 1

( 1)

( 2,2]

6. n

( , )

n 2n

n 0

n 1

Задание 4. Вычислить интеграл с точностью до 0,001

Ответы

sin xdx

0,946

cos(x2 )dx

0,497

0,5

0,25

x dx

x2 dx

0,747

ln 1

0,071

148

Задание 5. Разложить в ряд Фурье 2l

– периодическую

Ответы

функцию

2,0 x 1,

f (x)

l 1

f (x) 1

sin(2n 1)x

0,1 x 2;

n 1

2n 1

n 1

sin n x

f (x) 2 3x,

5 x 5 ; l 5

f (x) 2

( 1)

n 1

f (x)

x ,

0 x 2 ; l

f (x) sin x

n 1

2 3x2

n 1 cos nx

f (x)

, x ; l

f (x) ( 1)

n 1

1, x 0,

f (x)

f (x) 1

sin(2n 1)x

;

2,0 x

n 1

2n 1

5.7. Итоговый контроль

Изучив тему, студент должен:

знать:

определения сходимости и суммы числового ряда, основные свойства сходящихся

рядов;

необходимый признак сходимости ряда;

достаточные признаки сходимости рядов (признаки сравнения, признак Даламбера, радикальный и интегральный признаки Коши, признак Лейбница, признак сходимости знакопеременного ряда);

определения абсолютной и условной сходимости рядов;

определение степенного ряда и теорему Абеля о его области сходимости;

теорему о разложении функции в ряд Тейлора;

разложение основных элементарных функций в ряд Маклорена;

определение ряда и коэффициентов Фурье;

теорему о сходимости ряда Фурье;

разложение четных и нечетных функций в ряд Фурье;

разложение функции с произвольным периодом в ряд Фурье;

уметь:

исследовать сходимость числовых рядов;

вычислять с заданной точностью сумму ряда, удовлетворяющего условиям признака Лейбница;

находить области сходимости степенных рядов;

раскладывать элементарные функции в ряды Тейлора и Фурье;

иметь представление:

о единственности разложения функции в ряд (степенной или тригонометрический);

о разложении в ряд Фурье непериодической функции.

149

5.7.1. Тест


1. Если limU n 0 , то ряд U n :
n	n 1

а) сходится; б) расходится;

в) может как сходиться, так и расходиться; г) сходиться условно;

д) сходится только в том случае, если все его члены положительны.

2.Какие из следующих утверждений верны?

а) если ряд сходится, то общий член ряда стремится к нулю; б) если общий член ряда стремится к нулю, то ряд сходится;

в) если общий член ряда не имеет конечного предела, то ряд расходится; г) если ряд расходится, то его общий член не стремится к нулю; д) если общий член ряда не стремится к нулю, то ряд расходится.

3.Какие из следующих рядов сходятся абсолютно?

а) sin2n ;

n 1		n
	( 1)			n		ln n
б)	( 1)					ln n		;
n 1			n
	( 1)			n		n	2
в)	( 1)					n			;
в)	2				1				;
n 1		n			1
			2		n
г)			3			;
n 1			3

д) cos n .

n 1 n

4. Какие из предыдущих рядов сходятся условно?

5. Ряд ( 1)n ln n :

n 1 n5

а) сходится; б) расходится;

в) сходится абсолютно; г) сходится условно.

6.Выберите верные утверждения:

а) всякий степенной ряд сходится хотя бы в одной точке; б) всякий степенной ряд расходится хотя бы в одной точке; в) степенной ряд может всюду расходиться; г) степенной ряд может всюду сходиться;

д) степенной ряд расходится при всех x > 0 и сходится при всех x ≤ 0.

7. Известно, что ряд an (x 1)n сходится при х = 3. Выберите верные утверждения

n 0

для данного степенного ряда:

а) ряд сходится при х = 2; б) ряд сходится при х = – 2; в) ряд расходится при х = – 2;

г) о сходимости ряда при х = – 2 ничего сказать нельзя; д) ряд расходится при х = –12 .

150

<<< < Предыдущая 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 2815 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
07.02.201581.23 Кб168.docx
#
20.09.2019105.47 Кб18_beR.doc
#
07.02.2015282.72 Кб399-105.docx
#
06.02.2015219.14 Кб17Abl_BH_Met_Flash.doc
#
06.02.201526.62 Кб14about_myself_1.doc
#
07.02.20152.14 Mб37Ankilov.pdf
#
18.11.2019159.23 Кб3Arkhivovedenie-1.doc
#
13.08.2019157.18 Кб3B7.doc
#
20.12.2018451.58 Кб21Batychko_V_T_Trudovoe_pravo_v_voprosah_i_otveta....doc
#
26.04.2019304.13 Кб3bilety_po_yazykoznaniyu_Vosstanovlen.doc
#
05.08.201967.37 Кб2Bilet_ps.docx