Ankilov

где absf1(x) и absf2(x) модули первой и второй производной.

С помощью графического метода отделим начальный отрезок [a,b], на котором уравнение имеет единственный корень (точка пересечения с осью Ox)

30

20

f(x) 10

0

x

По графику видно, что корень уравнения (точка пересечения графика функции с осью Ox)

расположен внутри отрезка [a,b], где (введите значения a и b для своего задания)

Убедимся, что данный начальный отрезок выбран верно, т.е. функция имеет значения разных знаков на концах отрезка

f(a) f(b) 1.719

Построим график функции f(x) на начальном отрезке от a до b

2

1

f(x)

1

x

Графики первой и второй производной на этом отрезке имеют вид

211

Убеждаемся, что на выбранном начальном отрезке действительно содержится единственный корень уравнения, а также первая и вторая производные функции f(x) знакопостоянны. Найдем его с помощью стандартной функции

Запишите в свою лабораторную работу точное значение корня и вычислите погрешность, с которой этот же корень найден вами.

Рассмотрим несколько методов отыскания корней уравнений с одним неизвестным с заданной точностью

10 5

Метод половинного деления

Запрограммируем самый простой метод - метод половинного деления. Начальный отрезок [a,b] разбивается пополам и среди полученных двух отрезков выбираем тот, на концах которого функция f(x) принимает значения разных знаков. К вновь получаемым уточненным отрезкам применяется эта же процедура, до тех пор, пока на n-ом шаге длина

Приближения корня будем заносить в вектор-столбцы A и B

i 0 ( N 1)

f(a) f(b) 1.719

Ввектор-столбцах A и B построена последовательность отрезков [ai,bi],

приближающих корень.

212

Приближение корня находим как середину отрезка [AN,BN], оно равно

AN BN 1.131889343 2

Тогда находим значение функции

а также, зная точное значение корня, находим абсолютную погрешность

Убедившись, что , перепишите 3 первых и 3 последних строки из таблицы

приближений (A,B), получившееся значение корня и количество потребовавшихся шагов N в вашу лабораторную работу.

Метод Ньютона

Запрограммируем метод Ньютона (метод касательных). В качестве начального приближения выбираем тот из концов отрезка [a,b], в котором функция f(x) и ее вторая производная f"(x) имеют один и тот же знак, т.е. f(x)*f"(x)>0

Таким образом, начальное приближение

X0 if(f(a) f2(a) 0 a b)

Зададим количество шагов

N 4

По формуле Ньютона приближение корня строится по рекуррентной формуле xn+1=xn- f(xn)/f'(xn)

i 0 1 N 1

f Xi Xi 1 Xi f1 Xi

В вектор-столбце X построена последовательность приближений корня:

На практике, так как точное значение корня не известно, погрешность по методу Ньютона определяется по формуле

x1 a

213

Подобрав N так, чтобы было , перепишите получившийся столбец

приближений X, значение корня XN и количество потребовавшихся шагов N в вашу

лабораторную работу (например, в данном примере при N 3 погрешность 2.971 10 3 ).

Самое точное приближение находится в последнем элементе XN, которое равно

XN 1.13189206336642

Зная точное значение корня, находим погрешность

R XN 3.302 10 9

Метод Хорд

Запрограммируем метод хорд. В качестве начального приближения выбираем тот из концов отрезка [a,b], в котором функция f(x) и ее вторая производная f"(x) имеют противоположные знаки, т.е. f(x)*f"(x)<0

Таким образом, начальное приближение

Y0 if(f(a) f2(a) 0 a b)

Другой конец отрезка обозначим через с

c if(f(a) f2(a) 0 b a)

Зададим количество шагов

N 14

По методу хорд приближение корня строится по рекуррентной формуле xn+1=xn- f(xn)*(xn-с)/(f(xn)-f(c))

i 0 1 N 1

Yi c Yi 1 Yi f Yi f Yi f(c)

В вектор-столбце Y построена последовательность приближений корня.

214

На практике, так как точное значение корня не известно, погрешность по методу хорд определяется по формуле

приближений Y, значение корня YN и количество потребовавшихся шагов N в вашу

лабораторную работу (например, в данном примере при N 13 погрешность 2.885 10 5 ).

Самое точное приближение находится в последнем элементе YN, которое равно

YN 1.13189201213822

Зная точное значение корня, находим погрешность

R YN 4.793 10 8

Комбинированный метод

Комбинированным методом один конец уточняется методом хорд, а другой - методом Ньютона. В качестве начального приближения методом хорд выбираем тот из концов отрезка [a,b], где f(x)*f"(x)<0.

Таким образом, начальное приближение по методу хорд

K0 if(f(a) f2(a) 0 a b)

Другой конец отрезка уточняем методом касательных

L0 if(f(a) f2(a) 0 a b)

Зададим количество шагов

N 4

Применяя рекуррентные формулы методов хорд и касательных, получим

Ввектор-столбцах K и L построена последовательность отрезков [ai,bi],

приближающих корень.

Приближение корня находим как середину отрезка [KN, LN], оно равно

215

Тогда вычисляем значение функции

f KN LN 1.749737155166 10 8

2

и находим погрешность комбинированного метода

Найдем теперь абсолютную погрешность, зная точное значение корня:

R Rk 5.185 10 9

Подобрав N так, чтобы было , перепишите получившуюся таблицу

приближений, значение корня Rk и количество потребовавшихся шагов N в вашу лабораторную работу.

Вычисление точных аналитических корней уравнений

В системе Mathcad можно находить символьные значения корней. Для этого необходимо записать уравнение в следующем виде

sin (2x) cos (2x) 0

Затем мышью выделить переменную x и в верхней панели нажать кнопку Symbolics, далее в открывшемся окне Variable => Solve. После этого система автоматически выдаст решение:

18

7.2.10. Расчетная часть лабораторной работы для тестирующего примера

Найдем наименьший положительный корень уравнения (7.21)

пересечения графиков.

Рис. 7.6.

216

По рис. 7.6 видно, что наименьший положительный корень данного уравнения лежит внутри отрезка [0,5;1,5] . Проверим аналитически, что корень отделен на этом отрезке. Вычисляем:

возрастает на [0,5;1,5] . Поэтому, на основании теоремы 7.2.2, внутри этого отрезка имеется один корень уравнения, и он может быть взят в качестве начального.

3. С помощью микрокалькулятора делаем 3 шага методом половинного деления; результаты заносим в табл. 7.4.

правый – методом Ньютона. Поэтому используем формулы (7.19). Результаты вычислений заносим в табл. 7.5.

Так как b2 a2 0,000164 2 , вычисления прекращаем на втором шаге. Находим корень

уравнения

x0 1,131882 1,132046 1,131964 . 2

4. Продолжаем выполнение работы в компьютерном классе. Запускаем программу Mathcad. Открываем файл Lab2.mcd. Вводим функцию

существуют и знакопостоянны на этом отрезке (т. е. функция монотонна и не меняет направление выпуклости) и что корень уравнения x* , причем единственный, лежит в интервале [0,5;1,5]. Таким образом, можем применить все вышеперечисленные методы.

После этого находим корень с точностью до 10 15 с помощью встроенной функции системы

Mathcad

root( f (x), x,0.5,1.5) 1.13189206006462 .

217

8. Вычисляем на компьютере значение корня методом хорд с точностью 10 5 . Для этого вводим в начале соответствующего раздела N : 12 и с помощью

запрограммированной формулы (7.16) получим и оценим погрешность 9,737 10 5 . Следовательно, увеличиваем N на единицу, вводим N : 13 , для которого 2,885 10 5 .

Увеличиваем N еще на единицу, вводим N : 14 , для которого 8,554 10 6 . Теперь требуемая точность достигнута (если это не так, то продолжаем увеличивать N на единицу).

Выписываем первые и последние два шага из получившейся таблицы для N Х 14 .

| R x0 Х | 4,793 10 8 .

9.Вычисляем на компьютере значение корня комбинированным методом с точностью

10 5 . Для этого вводим в начале соответствующего раздела N : 3 и получаем по

погрешность которого | R x0К | 5,185 10 9 .

10. Все расчеты оформляются в виде отчета по лабораторной работе.

7.2.11. Основные термины

Нелинейное уравнение Корень уравнения

Приближенные методы решения Графический метод Метод половинного деления Метод касательных Метод хорд Комбинированный метод Начальный отрезок

219

Рекуррентная формула Погрешность метода

7.2.12.Вопросы для самоконтроля

1.Какого типа уравнения решаются в данной работе?

2.Что называется корнем уравнения f (x) 0 ?

3.Как графически решить уравнения f (x) 0, f1(x) f2 (x) ?

4.Перечислите достоинства и недостатки графического метода.

5.В чем состоит этап отделения корней уравнения f (x) 0 ?

6. Сколько корней должна иметь функция f (x) на начальном отрезке [a0 ,b0 ]?

7.Как определить аналитически: возрастает или убывает функция на промежутке?

8.Как определить аналитически: выпукла или вогнута функция на промежутке?

9.Какие условия, наложенные на f (x) , гарантируют наличие хотя бы одного корня

уравнения на начальном отрезке [a0 ,b0 ]?

10.Какие условия, наложенные на f (x) , гарантируют наличие не более одного корня уравнения на начальном отрезке [a0 ,b0 ]?

11.Привести алгоритм решения уравнения f (x) 0 методом половинного деления. Какие условия при этом должны быть наложены на функцию f (x) ?

12.Какие условия должны быть наложены на f (x) , чтобы уравнение можно было решить методом Ньютона?

13.Как выбирается начальная точка x0 в методе Ньютона?

14.Вывести формулу для вычисления последовательных приближений методом Ньютона, записать формулу оценки погрешности.

15.Какие условия должны быть наложены на f (x) , чтобы уравнение f (x) 0 можно

было решить методом хорд?

16.Как выбирается начальная точка x0 в методе хорд?

17.Вывести формулу для вычисления n последовательных приближений методом хорд, записать формулу оценки погрешности.

18.Какие условия должны быть наложены на f (x) , чтобы уравнение f (x) 0 можно

было решить комбинированным методом?

19. Выписать формулы, по которым уточняются концы начального отрезка [a0 ,b0 ]

комбинированным методом. В зависимости от каких условий осуществляется выбор формул?

20. Указать условие, по которому процесс уточнения отрезка комбинированным методом должен быть прерван? Как затем найти корень?

220