Ankilov

D AC B2 0 , то функция в точке M 0 может иметь экстремум, но может и не иметь его. В данном случае экстремум есть, так как z 0 во всех точках, кроме M 0 , и z 0 в точке M 0 , т. е. данная функция в точке M 0 имеет минимум, равный 0.

1.3.3. Условный экстремум

При отыскании экстремумов функции нескольких переменных эти переменные часто бывают связаны дополнительными условиями. Рассмотрим, например, такую задачу. Найти наибольший объем параллелепипеда при заданной сумме 12 a длин его ребер.

Обозначим через x, y, z длины ребер параллелепипеда. Задача сводится к отысканию максимума функции V xyz при условии, что x y z 3a . Здесь мы имеем задачу на условный экстремум: переменные x, y, z связаны условием x y z 3a . В данном пункте

будут рассмотрены методы решения таких задач.

Начнем с функции двух переменных. Пусть требуется найти экстремумы функции

Уравнение (1.13) называется уравнением связи. Геометрический смысл задачи заключается в следующем: требуется найти экстремумы функции на линии, заданной уравнением (1.13).

В простейших случаях уравнение связи (1.13) можно разрешить относительно y . Подставляя найденное выражение y y(x) в формулу z f (x, y) , получим функцию одной переменной z f x, y(x) . Тем самым задача сводится к отысканию экстремумов функции одной переменной.

Пример 1.3.4. Найти экстремумы функции z 1 x2 y2 при условии x y 1 0 . Решение. Из уравнения связи находим y 1 x , следовательно, z 1 x2 (1 x)2 =

=2x(1 x) , 0 x 1 . Исследуем полученную функцию на экстремум:

21

Пусть функция y y(x) в явном виде из уравнения (x, y) 0 не выражается. Будем предполагать, что функции f (x, y) и (x, y) имеют непрерывные частные производные,

причем y/ (x, y) 0 . Так как z f (x, y) , а y y(x) , то z f (x, y(x)) – сложная функция от x . Применяя формулу (1.5), получаем

dz z z dy . dx x y dx

Согласно формуле дифференцирования неявной функции (1.9) имеем

Если ввести так называемую функцию Лагранжа L(x, y, ) f (x, y) (x, y) , то полученную систему можно записать в виде

22

Изложенный метод распространяется на функции любого числа переменных. Пусть требуется найти экстремумы функции u f (x1 , x2 ,..., xn ) при условии, что переменные

связаны m (m n) условиями:

максимумы и минимумы, нужно составить функцию Лагранжа

L(x1 , x2 ,..., xn , 1 , 2 ,..., m ) f (x1 , x2 ,..., xn ) 1 1 (x1 , x2 ,..., xn ) 2 2 (x1 , x2 ,..., xn ) …

m m (x1 , x2 ,..., xn )

иприравнять к нулю ее частные производные по x1 , x2 ,..., xn , 1 , 2 ,..., m . Из полученной системы m n уравнений найти x1 , x2 ,..., xn и вспомогательные неизвестные 1 , 2 ,..., m .

Условия (1.15) являются только необходимыми для экстремума функции z f (x, y) с уравнением связи (x, y) 0 , т. е. в точках условного экстремума имеют место равенства (1.15), но не при всяких x и y (и ), удовлетворяющих уравнениям (1.15), будет иметь

место условный экстремум. Требуется дополнительное исследование характера точки возможного экстремума. Сформулируем достаточный признак условного экстремума.

Теорема 1.3.3. Пусть ( x0 , y0 , 0 ) – любое из решений системы (1.15) и

максимум; если 0 – условный минимум.

Пример 1.3.5. Вернемся к задаче, сформулированной в начале этого пункта: найти максимум функции V xyz при условии, что x y z 3a 0 ( x 0, y 0, z 0 ). Составим

функцию Лагранжа

L(x, y, ) xyz (x y z 3a) .

Найдем ее частные производные и приравняем их к нулю

yz 0

xz 0xy 0

x y z 3а 0.

Вычитая первое уравнение из второго и третьего, получим соответственно x y и z x . Подставляя x y z в четвертое уравнение, найдем x y z a , следовательно, M 0 (a, a, a) – точка возможного условного экстремума. В этой точке значение функции

V a3 . Из геометрических соображений ясно, что полученное значение является условным максимумом. Действительно, в условиях задачи объем параллелепипеда не может быть неограниченно большим, поэтому естественно ожидать, что при каких-то определенных значениях сторон этот объем будет наибольшим.

23

Таким образом, при заданной сумме 12 а длин ребер параллелепипеда наибольший объем имеет куб со стороной, равной а.

Тем самым доказано неравенство

т. е. среднее геометрическое трех положительных чисел не больше их среднего арифметического.

Пример 1.3.6. Найти условные экстремумы функции z x 2y при x2 y2 5 . Решение. Составим функцию Лагранжа

L(x, y, ) x 2y (x2 y2 5) .

Система уравнений (1.15) принимает вид

1 2 x 02 2 y 0

x2 y2 5 0.

1.3.4.Метод наименьших квадратов

Вразличных исследованиях на основании эксперимента требуется установить аналитическую зависимость y f (x) между двумя переменными величинами x и y .

Например, между температурой и удлинением прямолинейного металлического стержня. Широко распространенным методом решения этой задачи является метод наименьших квадратов.

24

экспериментальным значениям. Пусть, например, эти точки расположены так, как показано на рис. 1.2.

i 1

Подберем параметры a и b так, чтобы эта сумма имела наименьшее значение. Таким образом, задача свелась к исследованию функции S(a, b) на экстремум.

Находим частные производные

и, приравнивая их к нулю, получаем линейную систему двух уравнений с двумя неизвестными a и b .

25

D 0 . Так как 2 S 0 , то в точке M (a,b) функция S(a, b) имеет минимум.

a2

Пример 1.3.7. Пусть в результате эксперимента получены пять значений искомой функции y f (x) при пяти значениях аргумента, которые записаны в таблице.

Более подробно метод наименьших квадратов будет рассмотрен в подразделе 7.6.

1.4. Основные термины

Функция нескольких переменных. Область, граница области. Окрестность точки.

Предел функции.

Непрерывность функции. Точки разрыва. Полное приращение.

Замкнутая область. Ограниченная область.

Наибольшее и наименьшее значения. Частные приращения.

Частные производные. Дифференцируемость функции. Полный дифференциал. Сложная функция.

Неявная функция.

Частные производные m -го порядка. Смешанные производные.

Точки экстремума. Экстремумы функции. Стационарные точки. Условный экстремум.

26

Уравнение связи. Функция Лагранжа.

Метод наименьших квадратов.

1.5.Вопросы для самоконтроля

1.Как определяется функция двух, трех, n переменных?

2.Как можно геометрически истолковать области определения функции двух и трех переменных?

3.Что называется пределом функции двух переменных в точке?

4.Как определяется непрерывность функции двух переменных в точке и в области?

5. Какими свойствами обладает функция двух переменных, непрерывная

вограниченной замкнутой области?

6.Как определяются частные производные?

7.В каком случае функция z f (x, y) называется дифференцируемой в данной точке?

8.Следует ли из дифференцируемости функции z f (x, y) существование ее частных

производных? А наоборот?

9.Что называется полным дифференциалом функции нескольких переменных?

10.Как найти dzdt , если z f (x, y) , x x(t) , y y(t) ?

11.Как найти xz и yz , если z f (u, v) , u u(x, y) , v v(x, y) ?

12.Как определяется неявная функция одной, двух, n переменных?

13.По каким формулам дифференцируются неявные функции одной и двух переменных?

14.Как определяются частные производные высших порядков? Какие из них называются смешанными?

15.Зависит ли результат дифференцирования от порядка дифференцирования?

16.Что называется максимумом (минимумом) функции двух переменных?

17.Является ли точка экстремума дифференцируемой функции ее стационарной

точкой?

18.При каких условиях функция z f (x, y) в стационарной точке имеет экстремум?

19.Что такое условный экстремум? Каковы его необходимые условия?

20.Какова основная идея метода наименьших квадратов?

1.6. Задачи для самостоятельного решения

27