Ankilov

где точка M (x0 x, y0 y) , также как и M 0 , принадлежит области определения функции. Полагая в предельном равенстве (1.1) x x0 x, y y0 y , представим его в виде

Таким образом, определение 1.1.4 равносильно следующему определению. Определение 1.1.5. Функция z f (x, y) называется непрерывной в точке M 0 (x0 , y0 ) ,

если бесконечно малым приращениям аргументов соответствует бесконечно малое приращение функции, т. е.

z x2 y2 непрерывна в точке M 0 (x0 , y0 ) .

Введенные выше понятия предела и непрерывности для функций двух переменных легко обобщаются на функции трех и более переменных. Так же как для функций одной переменной, используя определение непрерывности и свойства пределов, можно доказать, что арифметические операции над непрерывными функциями и построение сложных функций из непрерывных функций приводят к непрерывным функциям. Отсюда следует, что элементарные функции нескольких переменных непрерывны в тех областях, в которых они определены.

Приведем без доказательства основные глобальные, т. е связанные со всей областью определения, свойства непрерывных функций двух переменных. Предварительно введем понятие ограниченной замкнутой области. Пусть D – область на плоскостиОxy .

Определение 1.1.6. Замкнутой областью D называется множество точек, образованное областью D и ее границей, т. е. D D C .

Определение 1.1.7. Область D (или D ) называется ограниченной, если существует круг с центром в начале координат, внутри которого она содержится.

Теперь сформулируем основные свойства.

1.Если функция z f (x, y) непрерывна в ограниченной замкнутой области D , то она ограничена в этой области, т. е. существует число K такое, что для всех точек области выполняется неравенство: f (x, y) K .

2.Если функция z f (x, y) непрерывна в ограниченной замкнутой области D , то в

11

Числа M f (x* , y* ) и m f (x* , y* ) называются соответственно наибольшим и наименьшим значениями функции z f (x, y) в D .

3. Если функция z f (x, y) непрерывна в ограниченной замкнутой области D , то она принимает все промежуточные значения между любыми двумя своими значениями, т. е. если

1.2. Частные производные и дифференцируемость функций нескольких переменных

1.2.1. Частные производные

Пусть функция z f (x, y) определена в некоторой окрестности точки M (x, y) . Дадим

M (x, y) и обозначается одним из следующих символов:

zx/ , fx/ , xz , fx (zy/ , f y/ , yz , fy ) .

Из определения следует, что частная производная функции двух переменных по переменной x представляет собой обыкновенную производную функции одной переменной x при фиксированном значении переменной y. Поэтому частные производные вычисляют по формулам и правилам вычисления производных функций одной переменной.

12

1.2.2. Дифференцируемость функции, полный дифференциал

Пусть функция z f (x, y) определена в некоторой окрестности точки M (x, y) .

Известно, что если функция одной переменной дифференцируема в некоторой точке, то она имеет производную в этой точке. И обратно: из существования производной в данной точке следует дифференцируемость функции в этой точке. Выясним, как переносится это свойство на функции двух переменных.

Теорема 1.2.1. Если функция z f (x, y) дифференцируема в точке M (x, y) , то она имеет в этой точке частные производные fx/ (x, y) и f y/ (x, y) , причем fx/ (x, y) A ,

переходя к пределу при x 0 , получаем lim x z lim (A ) A . Следовательно, в точке

x 0 x x 0

M существует частная производная fx/ (x, y) A . Аналогично доказывается, что в точке M существует частная производная f y/ (x, y) B .

Обратная теорема неверна, т. е. из существования частных производных в точке M еще не следует дифференцируемость функции в этой точке.

0 на осях координат

Например, функция f (x, y) имеет частные

1 в остальных точках плоскости

13

x 0 y 0

стороны, если предположить, что функция z f (x, y) дифференцируема в точке О(0,0), то

из (1.3) будет следовать равенство lim z 0 , т. е. непрерывность функции z f (x, y) в

x 0y 0

точке О(0,0). Следовательно, предположение неверно, и данная функция недифференцируема в точке О(0,0), хотя и имеет в этой точке частные производные.

Таким образом, существование частных производных в точке является необходимым, но не достаточным условием дифференцируемости функции в этой точке. Сформулируем достаточное условие дифференцируемости.

Теорема 1.2.2. Если функция z f (x, y) в точке M (x, y) имеет непрерывные частные

производные, то она дифференцируема в этой точке.

Пусть функция z f (x, y) дифференцируема в точке M (x, y) , т. е. ее полное

приращение z в этой точке может быть записано в виде (1.3).

Определение 1.2.3. Полным дифференциалом dz дифференцируемой в точке M (x, y)

Используя теорему 1.2.1, выражение (1.4) можно представить следующим образом: dz fx/ (x, y) x f y/ (x, y) y .

Дифференциалами независимых переменных x и y назовем приращения этих переменных: dx x , dy y . Тогда дифференциал функции запишется в виде:

dz fx/ (x, y)dx f y/ (x, y)dy , или dz xz dx yz dy .

которую широко используют в приближенных вычислениях, так как легче вычислить дифференциал, чем полное приращение.

Для функции n 2 переменных дифференцируемость и полный дифференциал определяются аналогично. Как и в случае n 2 , если функция u f (x1 , x2 ,..., xn ) в точке

14

M (x1, x2 ,...xn ) имеет непрерывные частные производные, то она в этой точке дифференцируема и имеет полный дифференциал

1.2.3. Производные сложных функций

Пусть z f (x, y) – функция двух переменных x и y , каждая из которых, в свою очередь, является функцией независимой переменной t : x x(t) , y y(t) . Тогда функция z f x(t), y(t) является сложной функцией независимой переменной t . Переменные x и y

или, что то же самое,

15

1.2.4. Производные неявных функций

Рассмотрение этого вопроса начнем с неявной функции одной переменной. Говорят, что функция y f (x) , x (a, b) , неявно задана уравнениемF(x, y) 0 , если F(x, f (x)) 0

для всех x (a, b) .

Например, уравнение 2x 3y 1 0 на всей оси определяет неявно функцию, которую

Предполагая условия теоремы 1.2.3 выполненными, покажем, что производная неявной функции y f (x) в некоторой окрестности точки x0 выражается по формуле

F(x x, y y) 0 . Следовательно, F F(x x, y y) F(x, y) 0 .

Представляя полное приращение F в виде (1.3), получим

справедливо как для одной, так и для другой функции.

Неявная функция двух переменных определяется уравнением вида F(x, y, z) 0 . Имеет

место теорема существования неявной функции двух переменных, аналогичная теореме

1.2.3.

17

Предполагая, что в некоторой области уравнение F(x, y, z) 0 определяет неявно функцию z f (x, y) , найдем ее частные производные zx/ и zy/ . Чтобы найти zx/ , фиксируем

y . Здесь применима формула (1.9), в которой независимая переменная по-прежнему x , а функцией является z . Следовательно,

1.2.5. Частные производные высших порядков

Пусть функция z f (x, y) определена в окрестности точки M (x, y) и в каждой точке этой окрестности существуют частные производные fx/ (x, y) и f y/ (x, y) . Назовем их

частными производными первого порядка. Эти производные являются функциями

называются частными производными второго порядка от функции z f (x, y) в этой точке и обозначаются следующими символами:

Производные второго порядка можно снова дифференцировать как по x , так и по y . Получим частные производные третьего порядка. В общем случае, частной производной m -го порядка ( m =2,3,…) функции u f (x1 , x2 ,..., xn ) называется частная производная от

частной производной (m 1) -го порядка.

18

Дифференцируя еще раз, получим

смешанными, так как берутся по разным переменным) совпадают, т. е. результат дифференцирования не зависит от порядка дифференцирования. Совпадение смешанных производных не случайно, оно имеет место в широком классе случаев при соблюдении определенных условий. А именно, справедлива

Замечание. Для функции n переменных имеет место аналогичная теорема о равенстве смешанных производных любого порядка.

Решение. Последовательно находим

1.3. Экстремумы функций нескольких переменных

1.3.1. Необходимые условия экстремума

Пусть функция z f (x, y) определена в некоторой окрестности точки M 0 (x0 , y0 ) . Определение 1.3.1. Функция z f (x, y) имеет максимум (минимум) в точке

M 0 (x0 , y0 ) , если существует такая окрестность точки M 0 , в которой для всех точек M (x, y)

отличных от M 0 , выполняется неравенство f (x, y) f (x0 , y0 ) ( f (x, y) f (x0 , y0 ) ). Максимум или минимум функции называется ее экстремумом, а точки, в которых

функция имеет экстремум, называются точками экстремума (максимума или минимума). Теорема 1.3.1. (Необходимый признак экстремума). Если дифференцируемая функция

z f (x, y) , достигает экстремума в точке M 0 (x0 , y0 ) , то в этой точке частные производные первого порядка равны нулю, т. е.

Доказательство. Докажем, например, равенство нулю частной производной fx/ (x, y) в точке M 0 (x0 , y0 ) . Для этого рассмотрим в окрестности M 0 только те точки, для которых

19

y y0 . Получаем функцию z f (x, y0 ) одной переменной x , которая имеет в точке x x0 экстремум. Следовательно, в этой точке выполняется необходимое условие экстремума функции одной переменной: fx/ (x0 , y0 ) 0 , что и требовалось доказать.

Аналогично, рассматривая функцию z f (x0 , y) одной переменной y, находим

f y/ (x0 , y0 ) 0 .

Замечание 1. Аналогичная теорема имеет место для функции n переменных (n 2) . Замечание 2. Условия (1.12) не являются достаточными условиями экстремума.

Например, частные производные функции z x2 y2 равны нулю в точке M 0 (0,0) , однако функция не имеет экстремума в этой точке. Действительно, z f (0,0) 0 и ни в какой окрестности точки M 0 функция не сохраняет знак: если x 0 , то z 0 , а если y 0 , то

z 0 , следовательно, значение z 0 не является ни максимумом, ни минимумом.

Таким образом, условия (1.12) являются только необходимыми условиями экстремума. Точки, в которых выполняются условия (1.12), называются стационарными точками функции z f (x, y) .

1.3.2. Достаточные условия экстремума

Достаточные условия экстремума для функции n переменных имеют вид значительно более сложный, чем для функции одной переменной. Ограничимся формулировкой достаточного признака экстремума для функции двух переменных.

Введем обозначения A fxx// (x0 , y0 ) , B fxy// (x0 , y0 ) , C f yy// (x0 , y0 ) , D AC B2 . Теорема 1.3.2. (Достаточный признак экстремума). Пусть M 0 (x0 , y0 ) – стационарная

Пример 1.3.1. Исследовать на экстремум функцию z x2 xy y2 3x 6 y .

Решение. Сначала применим необходимый признак экстремума (Теорема 1.3.1). Для этого найдем частные производные первого порядка

Система имеет единственное решение x 0 , y 3 , следовательно, функция имеет одну

20