- •Розділ 3. Вступ до математичного аналізу
- •Тема 1: Границя функції в точці і на нескінченності. Перша і друга «чудові» границі.
- •Короткі теоретичні відомості
- •Питання для контролю вивченого матеріалу
- •Література
- •Тема 2: Точки розриву. Асимптоти.
- •Короткі теоретичні відомості
- •Тема 1: Геометричний і фізичний зміст похідної. Рівняння дотичної та нормалі до графіка функції.
- •Питання для контролю вивченого матеріалу
- •Література
- •Тема 2: Складена функція та її похідна.
- •Короткі теоретичні відомості
- •Питання для контролю вивченого матеріалу
- •Література
- •Тема 3: Похідні і диференціали вищих порядків.
- •Короткі теоретичні відомості.
- •Література:
- •Тема 4: Теореми Ролля, Лагранжа, Коші, їх геометрична ілюстрація та застосування. Правило Лопіталя.
- •Питання для контролю вивченого матеріалу
- •Література
- •Тема 5: Задачі на максимум та мінімум.
- •Короткі теоретичні відомості
- •Питання для контролю вивченого матеріалу
- •Література
Розділ 3. Вступ до математичного аналізу
Тема 1: Границя функції в точці і на нескінченності. Перша і друга «чудові» границі.
Границя функції в точці.
Границя функції на нескінченності.
Основні теореми про границі функцій.
Обчислення границі.
«Чудові» границі.
Короткі теоретичні відомості
Нехай функцію f визначено в деякому околі точки . Число називається границею функції f у точці ,якщо для довільного числа ε >0 існує число таке, що для всіх x , для яких 0<|x-a|< справджується нерівність |f(x)-A| < ε.
Якщо число А є границею функції f у точці а, то це записують так:
(1)
Рівність (1) має таке геометричне тлумачення: які б не взяти дві прямі та (ε>0), знайдуться дві прямі і (δ>0) такі, що частина графіка функції f, яка відповідає всім точкам xє(а-δ;а+δ),x≠a, потрапляє в середину прямокутника, обмеженого прямими y=A-ε, y=A+ε, x=a-δ та x=a+δ (мал. 1). Що ж до точки (a;f(a)) (якщо в точці а функція f визначена), то вона може належати або не належати цьому прямокутнику. Нехай функція f визначена для всіх х, що задовольняють нерівність |x|>k (x>k,x<-k) при деякому k>0. Ч
Мал. 1.
исло А називається границею функції f при x→∞ (x→+∞, x→-∞), якщо для довільного числа ε >0 існує число M=M(ε)>k таке, що для всіх х для яких |x|>M (x>M, x<-M), виконується нерівність |f(x)-A|<ε.
Символічний запис у цьому випадку такий:
(2)
Рівність (2) має таке геометричне тлумачення:
які б не взяти дві прямі y=A-ε та y=A+ε, знайдеться пряма x=M (M≥k , k>0) така, що частина графіка функції f, яка відповідає всім х>M, потрапляє в середину півсмуги, обмеженої прямими y=A-ε , y=A+ε та х=М, що лежить праворуч від прямої х=М (мал. 2).
Мал.2.
Теорема 1.(про представлення функції у вигляді суми своєї границі та нескінчено малої функції).
тоді й тільки тоді, коли , де α(x) – нескінчено мала функція при x→a.
Теорема2 (про границі суми, добутку та частки) Якщо функції і визначені в деякому околі точки , можливо , за визначенням самої точки та існують границі , , то існують границі їх суми (різниці) , добутку , та якщо , то й частки та мають місце рівності:
;
;
.
Наслідки з теореми 2.
1). Постійний множник можна виносити за знак границі
.
2). Границя степеня дорівнює степеню границі
.
Приведемо деякі прийоми обчислення границь на конкретних прикладах.
1). Границя многочлена.
Обчислити .
Використовуючи теорему 2, отримуємо .
Таким чином, для обчислення границі многочлена f(x) при x→x0 достатньо замість змінної х поставити значення х0 до якого вона прямує та виконати відповідні дії, тобто .
2). Границя відношення двох многочленів.
.
а). Якщо g(x0)≠0 , можна використати теорему про границю частки.
б
x→x0
). Якщо g(x0)=0, то теорему про границю частки використати не можна. Тоді якщо -то маємо невизначеність . В цьому випадку можна обчислити розкладанням многочленів f(x) і g(x) на множники або заміною y=x-x0.П
риклад. Обчислити .
. Так як х≠2, маємо .
3). Граничне відношення многочленів.
при х→∞.
П
риклад. Обчислити .
.
4). Границі деяких ірраціональних функцій.
Для обчислення (3)
Н
X→-1
априклад, lim = = =3.Приклад. Обчислити .
Так як , то теорему про границю частки використати не можна. Помножимо чисельник та знаменник на вираз, спряжений до знаменника, отримаємо
l
x→0
x→0
x→0
im lim =lim = =-8.
Дуже часто при обчисленні границь використовують «чудові» границі.
I-ша «чудова» границя (4)
II-га «чудова» границя (5)
П
риклад. Обчислити .
П
риклад. Обчислити .
.