3.1.2 Метод Зейделя

Метод Зейделя относится к приближенным (итерационным) методам решения систем линейных уравнений. В ряде ситуаций эти методы оказываются более эффективными, чем точные методы. Рассмотрим вначале метод простой итерации.

Метод простой итерации

Решается система уравнений

А x = b,

имеющая вид

Будем рассматривать случай, когда определитель системы не равен нулю, т.е. det А  0. В этом случае система имеет единственное решение.

Предположим, что диагональные элементы матрицы А не равны нулю - а_ii  0 (i = 1,2,...,n), - и разрешим первое уравнение системы относительно х1, второе – относительно Х₂ и т.д.

Тогда получим

Здесь

Полученная система является эквивалентной исходной системе и называется приведенной. Систему решим методом последовательных приближений. В качестве нулевого приближения примем, например, столбец свободных членов

х^{( 0 )} = 

Далее последовательно строим матрицы-столбцы

х ⁽¹⁾ =  + х⁽⁰⁾ – первое приближение,

х ⁽²⁾ =  + х⁽¹⁾ – второе приближение и т.д.

В развернутом виде запишем

Условие сходимости метода простой итерации состоит в следующем

то есть в каждой строке исходной матрицы коэффициентов А модуль диагонального элемента должен быть больше суммы модулей остальных элементов строки.

3.1.2.1 Метод Зейделя

Метод Зейделя представляет собой модификацию метода простой итерации. Здесь при вычислении (к+1)-го приближения X_i учитываются уже вычисленные ранее (к+1)-е приближения всех х до x_i (то есть x₁, х₂, . . . , Х_i-1).

Таким образом, для приведенной линейной системы

3.1.2.2 Алгоритм метода Зейделя

Пусть задана система в виде (5.1) и число s > 0 (не больше допустимой погрешности приближенного решения).

1.Анализируем систему. Если для всех уравнений выполнено условие сходимости, то переходим к пункту 3 алгоритма. В противном случае переходим к пункту 2.

2. Строим систему, эквивалентную исходной системе так, чтобы было выполнено условие сходимости. Практически поступают следующим образом. Из заданной системы выделяют уравнения, для которых условие сходимости не выполняется (уравнения с коэффициентами, модули которых больше суммы модулей остальных коэффициентов уравнения). Каждое выделенное уравнение выписывают в такую строку новой системы, чтобы наибольший по модулю коэффициент оказался диагональным.

Из оставшихся неиспользованных и выделенных уравнений системы составляют линейно независимые между собой линейные комбинации с таким расчетом, чтобы был соблюден указанный принцип комплектования системы и свободные строки оказались заполненными. При этом нужно позаботиться, чтобы каждое неиспользованное ранее уравнение попало хотя бы в одну линейную комбинацию.

3.Делим каждое из уравнений системы на соответствующий диагональный коэффициент и выражаем последовательно х₁, х₂, х_з и т.д., то есть получаем приведенную систему. Выбираем начальное приближение

и переходим к пункту 4 алгоритма.

4. На каждой итерации по формулам метода Зейделя определяем (к+1) –ое приближение решения системы.

5.Определяем разности