3. Анализ данных как этап принятия решений.

3.0 Численные методы в среде информационных технологий 1

3.1 Решение систем линейных алгебраических уравнений 2

3.1.1 Метод Жордана-Гаусса 4

3.1.1.1 Обыкновенные жордановы исключения 4

3.1.1.2 Алгоритм метода Жордана-Гаусса 5

3.1.1.3 Численный пример метода Жордана-Гаусса 6

3.1.2 Метод Зейделя 8

8

8

3.1.2.1 Метод Зейделя 9

3.1.2.2 Алгоритм метода Зейделя 10

3.1.2.3 Численный пример Метода Зейделя 10

3.2 Численные решение нелинейных уравнений 11

3.2.1 Теоретические сведения 11

3.2.2 Метод дихотомии 12

3.2.3 Метод хорд 13

3.2.4 Метод Ньютона (метод касательных) 14

3.3 Задание к работе 15

3.0 Численные методы в среде информационных технологий

Большинство прикладных задач, в том числе и связанных с решением проблем управления, результат которых представляет собой числовую информацию, решаются различными численными методами с помощью компьютера.

Последовательность решения таких задач представляется в виде ряда этапов:

– содержательная постановка задачи;

– математическая формулировка – модель задачи;

– выбор средств реализации - метод, алгоритм, программа;

– реализация (технология) решения задачи на компьютере;

– анализ полученных результатов.

Первый этап связан с исходной информацией, условиями решения и требованиями к результатам.

Например: Решить квадратное уравнение с заданными коэффициентами и требуемой погрешностью.

Здесь математическая модель очевидна:

ах² + bх + с = 0

В некоторых ситуациях выбор модели является довольно сложной задачей.

Выбор метода, алгоритма и программы - важный элемент процесса решения, существенно влияющий на результат. Так, методы бывают точными и приближенными, программы имеют разную степень сложности и способы представления исходных и промежуточных результатов, а алгоритм не всегда представляет наилучшую последовательность действий и может быть реализован как в рамках универсальных программных средств, так и конкретной прикладной программой.

Решение задач с помощью компьютера, как правило, связано с приближенными значениями величин, приближенными вычислениями. В таких случаях математическая модель, исходные данные, численные методы являются приближенными и требуют определенной оценки погрешности.

Таким образом, пользователю, который решает задачи в среде информационных технологий, необходимо знакомство с методами решения, однако, как правило, лишь в той мере, чтобы суметь правильно выбрать программное средство, грамотно контролировать ход поиска решения, правильно интерпретировать результаты, верно реагировать на нестандартные ситуации, возникающие в процессе поиска.

3.1 Решение систем линейных алгебраических уравнений

К решению систем линейных алгебраических уравнения (СЛАУ) сводятся задачи анализа (прямого расчета) и синтеза (оптимального выбора) процессов и объектов различной природы. Рассмотрим систему п линейных алгебраических уравнений с п неизвестными:

a₁₁ · х₁ + a₁₂ · х₂ +...+ a_1n · х_n = b₁

a₂₁ · х₁ + a₂₂ · х₂ +...+ a_2n · х_n = b₂

....................................................

a_n1 · х₁ + a_n2 · х₂ +...+ a_nn · х_n = b_n

или в векторно-алгебраической форме:

Ах = b,

где

соответственно, матрица коэффициентов, вектор-столбец искомых неизвестных, вектор-столбец свободных членов. Совокупность всех возможных решений системы называется множеством решений.

Определение

Две системы уравнений называются эквивалентными, если обе системы имеют одно и то же множество решений, или, другими словами, если решение одной системы автоматически является решением другой и наоборот.

Метод решения систем уравнений основан на построении эквивалентной системы, решение которой легко найти непосредственно. Решение этой системы уравнений одновременно является решением исходной системы. При построении эквивалентных систем можно использовать элементарные операции двух типов:

1) умножение любого уравнения системы на положительное или отрицательное число;

2) сложение любого уравнения с любым другим уравнением системы, умноженным на константу (положительную, отрицательную или равную нулю).

Если определитель матрицы А не равен нулю, то система имеет единственное решение. Значения независимых переменных Х_i (i = 1, 2, …, n) могут быть получены по формулам Крамера:

Здесь det A_i и det A - соответственно, определители матриц А_i и А. Матрица A_i образуется из матрицы А заменой i - го столбца столбцом свободных членов. Однако этот метод с вычислительной точки зрения неэффективен, так как его реализация требует значительного количества операций и больших затрат машинного времени.

Применяемые на практике численные методы решения систем линейных уравнений делятся на два класса: прямые (точные) и итерационные (приближенные). В прямых методах вычисления ведутся без округлений, и точное решение можно получить за конечное число арифметических операций.

Итерационные методы дают приближенное решение систем с наперед заданной

точностью.