Формулы математической логики.

Формулой математической логики называется сложное высказывание, которое получено из элементарных высказываний с использованием логических операций.

Две формулы равносильны, если они принимают одинаковые логические значения на любом наборе значений входящих в формулу элементарных высказываний. Равносильность формул обозначается  A  B.

Формулы равносильности.

1. Коммутативность

АVВ  ВVА А&В  В&А

2. Ассоциативность

АV(ВVС)  (АVВ)VС А&(В&С)  (А&В) &С

3. Дистрибутивность

АV(В&С)  (АVВ)&(АVС) А&(ВVС)  (А&В)V(А&С)

4. Идемпотентность

АVА  А А&А  А

5. Поглощение

АV(А&В)  А А&(АVВ)  А

6. Закон де Моргана

 &  V

7. Закон исключающий третьего

АV1  1 А&1  A

8. Закон противоречия

AV  A A&  

9. Закон двойного отрицания

 A

10.  1 ,  0

11. AB  VB

12. AB  (AB)&(BA)

13. AB  A& V &B

14. A | B   V

15. AB   &

ПРИМЕР

Доказать:

Представление произвольной функции алгебры логики в виде формулы алгебры логики

Пусть - произвольная функция алгебры логики переменных.

Рассмотрим формулу

(2.1)

которая составлена следующим образом: каждое слагаемое этой логической суммы представляет собой конъюнкцию, в которой первый член является значением функции при некоторых определенных значениях переменных , остальные же члены конъюнкции представляют собой переменные или их отрицания. При этом под знаком отрицания находятся те и только те переменные, которые в первом члене конъюнкции имеют значение 0..

Вместе с тем формула (2.1) содержит в виде логических слагаемых всевозможные конъюнкции указанного вида.

Ясно, что формула (2.1)полностью определяет функцию . Иначе говоря, значения функции и формулы (2.1) совпадают на всех наборах значений переменных . То есть функция

Составление формул по таблице истинности. может быть представлена в виде:

(2.2)

ПРИМЕР Пусть функция имеет следующую таблицу истинности:

0	0	0	1
0	0	1	0
0	1	0	0
0	1	1	1
1	0	0	0
1	0	1	1
1	1	0	1
1	1	1	0

Тогда функция может быть определена в следующем виде:

Нетрудно заметить, что для определении функции берутся только те наборы переменных , при которых функция принимает значения 1, что значительно упрощает процедуру определения функции .

Формула (2.1) обладает свойствами:

1. Каждое логическое слагаемое формулы содержит все переменные , входящие в функцию .

2. Все логические слагаемые формулы различны.

3. Ни одно логическое слагаемое формулы не содержит одновременно переменную и ее отрицание.

4. Ни одно логическое слагаемое формулы не содержит одну и ту же переменную дважды.

5. Перечисленные свойства называются свойствами совершенства.