Множество путей в графе

По матрице смежности можно определить, сколько различных путей существует между i-той и j- той вершинами длиной в к единиц. Для этого необходимо определить матрицу , где - матрица смежности.

Если элемент матрицы :

- между i-той и j- той вершины не существует пути длиной в к единиц;

- между i-той и j- той вершины существуют различных путей длиной в к единиц;

Если - нулевая матрица, это означает, что графе нет путей в к единиц, а максимальный путь – это путь длиной в (к -1) единиц.

Алгоритм фронта волны. Поиск минимального пути в графе.

Одной из самых распространенных задач в теории графов является задача поиска минимального пути в графе.

Рассмотрим некоторые свойства минимальных путей

Любой минимальный путь является простым путем.
Если путь - минимальный, то любые пути внутри минимального пути также будут минимальны.

Пусть Г^-1_х – прообраз вершины x_i – это множество вершин, из которых исходят дуги в вершину x_i.

Одним из алгоритмов поиска минимального пути в графе является алгоритм фронта волны (FW –Front Wave)

Алгоритм фронта волны.

Пусть необходимо найти минимальный путь из вершины в вершину .

Выписываются все вершины с 1 по n. Вершина помечается индексом 0.
Находится первый фронт волны как множество вершин образа вершины .

(3.17)

Все вершины, принадлежащие первому фронту волны, помечаются индексом 1.
Вводится счетчик шагов (фронтов волны) .
Если или , то вершина недостижима из вершины, и работа алгоритма на этом заканчивается. В противном смысле переходим к пункту 6.
Если , то переходим к пункту 8. В противном случае существует путь из вершины в вершину длиной в единиц, и этот путь минимальный:

Находятся промежуточные вершины z по правилу:

, (3.18)

где - прообраз вершины - множество вершин, из которых заходят дуги в вершину

Определяется фронт волны как все непомеченные вершины, принадлежащие образу вершин - го фронта волны. Помечаются индексом вершины фронта волны. Далее осуществляется переход к пункту 5.