Метод депозитной книжки

Предыдущие рассуждения основывались на предположении, что аннуи­тет возникает в конце периода. Такой аннуитет называется обычным, и гра­фически он может быть представлен следующим образом (рис. 2.4).

Однако на практике возможна ситуация, когда первый платеж произой­дет одновременно с начальным поступлением. В последующем аннуитеты будут возникать через равные интервалы. Такой аннуитет называется аван­совым, или причитающимся аннуитетом (рис. 2.5).

Для того чтобы определить текущую стоимость авансового аннуитета, необходимо проследить движение денежного потока. Поскольку первый аннуитет по времени совпадает с депонированием основного вклада, его не следует дисконтировать. Все последующие аннуитеты дисконтируются в обычном порядке, однако период дисконтирования всегда будет на единицу меньше, следовательно, фактор текущей стоимости авансового аннуитета

Рис. 2.5. Авансовый (причитающийся) аннуитет

соответствует фактору обычного аннуитета для предыдущего периода, к ко­торому добавлена единица. Эта добавленная единица обеспечивает задан­ный поток аннуитета.

Например, фактор текущей стоимости авансового аннуитета, возникаю­щего 7 раз при ставке дисконта 12%, определяется следующим образом:

1. Определим фактор текущей стоимости аннуитета для периода (7 - 1 = 6), ставка дисконта - 12%. В колонке № 5 находим его значение -4,1114.

2. Рассчитаем фактор текущей стоимости авансового аннуитета для за­данного потока: 4,1114 + 1,0 = 5,1114.

Оценка инвестиционной привлекательности требует в ряде случаев диф­ференциации ставок дисконта в зависимости от уровня риска тех или иных операций. Учет различий в уровне неопределенности требует от аналитика применения соответствующих ставок дисконта.

Пример. Владелец кафе предполагает в течение 6 лет получать ежегод­ный доход от аренды в сумме 60 тыс. руб. В конце шестого года кафе будет продано за 1350 тыс. руб., расходы по ликвидации составят 5% продажной цены. Прогнозирование доходов от аренды имеет большую степень вероят­ности, чем возможность продажи объекта за указанную цену. Различия в уровне риска определяют выбранные аналитиком ставки дисконта для дохо­да от аренды и продажи: 8 и 20% соответственно.

Решение.

1. Рассчитаем текущую стоимость потока доходов от аренды:

60[PVA]6^8% = 60 • 4,6229 = 277,4 тыс руб. 48

277,4 + 429,5 = 706,9 тыс. руб.

Меняющаяся конъюнктура рынка, усовершенствование собственником эксплуатационных характеристик объекта, инфляция и многие другие фак­торы оказывают существенное влияние на величину ежегодного дохода. Определение текущей стоимости меняющейся суммы потока доходов тре­бует определенных навыков работы с коэффициентами, приведенными в колонке № 5.

Пример. Аренда магазина принесет его владельцу в течение первых трех лет ежегодный доход в 750 тыс. руб.; в последующие пять лет доход соста­вит 950 тыс. руб. в год. Определите текущую стоимость совокупного дохо­да, если ставка дисконта 10%.

Решение.

Данная задача имеет несколько вариантов решения, суть которых проил­люстрирована рис. 2.6 - 2.8.

Вариант № 1.

В данном случае (рис. 2.6) текущая стоимость совокупного дохода равна текущей стоимости потока доходов в 750 тыс. руб. за первые 3 года и потока доходов в 950 тыс. руб. за последующие 5 лет.

1. Рассчитаем текущую стоимость арендных платежей за первые 3 года:

750[PVA]3^10% = 750 • 2,4869 = 1865,2 тыс. руб.

2. Определим текущую стоимость арендной платы за последующие пять лет. Фактор текущей стоимости аннуитета в этом случае равен разности факторов, соответствующих конечному и начальному периодам возникновения измененной суммы арендной платы по отношению к текущему, т.е. нулево­му, периоду. Повышенная арендная плата поступала с конца третьего до конца восьмого периода, следовательно, в расчетах должны быть использованы факторы - 2,4869 и 5,3349:

950[PVA]8-5^10% = 950(5,3349-2,4869) = 2705,6 тыс. руб. 3. Суммарная текущая стоимость арендной платы равна:

1865,2 + 2705,7 = 4570,8 тыс. руб. Вариант № 2.

Текущая стоимость суммарного потока доходов, как видно на рис. 2.7, равна разности потока доходов в 950 тыс. руб., полученных за % лет, и несу­ществующего потока доходов в 200 тыс. руб. (950-750) за первые три года.

Решение.

1. Рассчитаем текущую стоимость дохода от аренды исходя из предполо­ жения, что все 8 лет она составляла ежегодно 950 тыс. руб.:

2. Рассчитаем текущую стоимость завышенной суммы аренды, существо-вавшейЗгода: ¹¹"""

торов, соответствующих конечному и начальному периодам возникновения измененной суммы арендной платы по отношению к текущему, т.е. нулево­му, периоду. Повышенная арендная плата поступала с конца третьего до конца восьмого периода, следовательно, в расчетах должны быть использованы факторы - 2,4869 и 5,3349:

950[PVA]8-5^10% = 950(5,3349-2,4869) = 2705,6 тыс. руб. 3. Суммарная текущая стоимость арендной платы равна:

1865,2 + 2705,7 = 4570,8 тыс. руб. Вариант № 2.

Этот вариант предполагает, что текущая стоимость совокупного дохода равна сумме дохода в 750 тыс. руб. за 8 лет и превышения в 200 тыс. руб., достигнутого в последние 5 лет аренды.

Решение.

1. Рассчитаем текущую стоимость доходов от аренды в 750 тыс. руб. за

8 лет:

2. Рассчитаем текущую стоимость дополнительного дохода от аренды, юлученного в последние 5 лет:

3. Текущая стоимость полученной арендной платы:

Если полученные результаты имеют некоторые расхождения, то это яв­ляется следствием округлений, допускаемых при расчетах.

□ 2.4. Периодический взнос на погашение кредита (взнос за амортизацию денежной единицы)

Символ функции

Таблицы типа А - А-2. Фактор используется как делитель. Таблицы типа Б - колонка № 6.

Временная оценка денежных потоков может поставить перед аналити­ком проблему определения величины самого аннуитета, если известны его текущая стоимость, число взносов и ставка дохода.

Таблицы типа Б. ; _; п,-₍ ,,,-лц 1>лш^-^тп лт- г-

1. Найдем фактор взноса на погашение кредита при условии, что взно­сов будет 5, а ставка- 14% (колонка № 6). Фактор равен 0,2913.

2. Рассчитаем величину аннуитета:

РМТ

■■1ъиг-

1500

РУА

= 1500 ■ 0,2913 = 437 тыс. руб.

^: Таблицы типа А.

1. Находим в табл. А-2 фактор текущей стоимости аннуитета, возникаю­щего 5 раз при ставке 14%, 5,5348.

2. Рассчитаем величину аннуитета:

1500

РМТ

РУА

= 1500

1

5,5348

= 437 тыс. руб.

-.8:

Таким образом, если положить на счет под 14% годовых 1500 тыс. руб., можно пять раз в конце года снять по 437 тыс. руб. Дополнительно получен-

S2

ные деньги в сумме 685 тыс. руб. [(437 • 5) - 1500] являются результатом начисления процентов на уменьшающийся остаток вклада.

Функция «периодический взнос на погашение кредита» (рис. 2.9) явля­ется обратной по отношению к функции «текущая стоимость аннуитета». Если

Текущая Фактор

стоимость = Аннуитет • текущей стоимости,

аннуитета аннуитета

то определение величины аннуитета при помощи фактора текущей сто­имости аннуитета (колонка № 5) возможно по формуле

Аннуите т

=

Текущая

стоимость

аннуитета

1 • Фактор текущей

стоимости аннуитета

Аннуитет, по определению, может быть как поступлением (т.е. входя­щим денежным потоком), так и платежом (т.е. исходящим денежным пото­ком) по отношению к инвестору. Поэтому данная функция может использо­ваться в случае необходимости расчета величины равновеликого взноса в погашение кредита при заданном числе взносов и заданной процентной став­ке. Такой кредит называют самоамортизирующимся.

Пример. Рассчитаем величину ежегодного взноса в погашение кредита в сумме 40 000 тыс. руб., предоставленного на 15 лет под 20% годовых.

Решение.

1. Определим фактор периодического взноса на погашение кредита, если стайка - 20%, а число взносов - 15 (колонка № 6), 0,2139.

1. Рассчитаем величину взноса:

Заемщик уплатит кредитору за 15 лет:

128329,3 = (8555,3 • 1 5 ) тыс. руб.,

что превышает величину выданного кредита на 88329,3 тыс. руб. (128329,3 - 40 000).

Разница является суммой процентов, уплаченных заемщиком за весь период кредитования, при условии, что основной долг постоянно уменьша­ется.

53

• 2.5. Будущая стоимость аннуитета (накопление единицы за период)

Символ функции - FVA. Таблицы типа А - А-4. Таблицы типа Б - колонка № 2.

Данная функция позволяет рассчитать величину накопленных равнове­ликих взносов при заданной ставке дохода (рис. 2.10).

;:-1:л'^_;;;!г' он оид^да'Оя 1С - *■»
							1%%
1 * ял^'/^^Т							?
; $*' "* 1 ** . .
	3		3		3			Время

Рис. 2.10. Накопление единицы за период Задача-алгоритм.

Какая сумма будет накоплена на счете, если в течение 4 лет еже­годно вносить 350 тыс. руб., а банк начисляет на вклад 6% годовых?

Решение.

Таблицы типа Б.

1. Определим фактор будущей стоимости аннуитета 4-го периода при ставке 6% (колонка X? 2) 4,3746.

1. Рассчитаем величину накопления:

350[РУА]4^6Й - 350 ■ 4,3746 = 1531 тыс. руб.

Таблицы типа А.

1. В табл. А-4 на пересечении колонки 6% и строки 4-го периода нахо­дим фактор 4,3746.

1. Рассчитаем величину накопления:

350ГРУА14⁶''⁴ = 350 ■ 4,3746 = 1531 тыс. руб.

54

Таким образом, депонирование 1400 тыс. руб. (350 • 4) обеспечивает накоп­ление в сумме 1531 тыс. руб. Разница представляет величину процентов, начис­ленных на возрастающую сумму вклада по технике сложного процента.

Рассмотрим процесс накопления в динамике:

1. Первоначальный взнос - 350.

2. Процент за 1-й период - 0.

3. Накоплено - 350.

4. Процент за 2-й период - 2 1 .

5. Второй взнос - 350.

6. Накоплено - 721.

7. Процент за 3-й период - 43.

8. Третий взнос - 350.

9. Накоплено - 1114.

10. Процент за 4-й период - 67.

11. Четвертый взнос - 350.

12. Накоплено - 1351.

Таблицы типа А - А-4. Фактор используется как делитель.

Таблицы типа Б - колонка № 3.

55

Данная функция позволяет рассчитать величину периодически депони­руемой суммы, необходимой для накопления нужной стоимости при задан­ной ставке процента (рис. 2.11).

Задача-алгоритм.

Какую сумму следует 5 раз внести на пополняемый депозит под 8% годовых, чтобы накопить 1700 тыс. руб.?

Решение. >■■•'■■ " ■■•'

Таблицы типа Б.

1) Находим фактор периодического пятикратного взноса при ставке 8%

(колонка №3)0,1705.

2) Рассчитаем величину депозита: ' ^!'"^г'

1700 р^Ъ^% = 1700 • 0,1705 - 290 тыс. руб.

Таким образом, суммарный взнос в 1540 (290 • 5) тыс. руб. при начисле­нии 8% годовых позволит накопить 1700 тыс. руб. Таблицы типа А.

1. Определим фактор будущей стоимости аннуитета при ставке сложно­го процента 8% по табл. А-4 5,8666.

2. Рассчитаем величину депозита:

. ¹⁷⁰⁰' 7^777 =290 тыс. руб. 5,8666

Функция «периодический внос на накопление фонда» является об­ратной по отношению к функции «будущая стоимость аннуитета».

функциями между разл

Расчет факторов всех шести функций основан на использовании базовой формулы сложного процента. Главным условием, обеспечивающим матема­тическую взаимосвязь между функциями, является предположение, что на­численный процент не снимается с депозитного счета, а капитализируется.

Таблица 2.3. Взаимосвязь функций

Основная функция	Обратная функция
Сложный процент (колонка № 1, А-3)	Дисконтирование (колонка № 3, А-1)
Будущая стоимость аннуитета (колонка №2, А-4) - -■-«■•■ Текущая стоимость аннуитета (колонка 76 5.А-2) Щ:г-а*	Периодический взнос на накопление фонда (колонка № 3, А-4; фактор используется как делитель) Периодический взнос на погашение кредита (колонка № 6, А-2; фактор используется как делитель)

56

Использование таблиц требует четкого понимания экономической сущ­ности функции. При решении различных проблем, возникающих в процессе оценки недвижимости, аналитик должен сформулировать следующее:

• правильность применения конкретной функции;

• необходимость использования комбинации функций;

• необходимость корректировки процентной ставки и периодов в зависи­мости от частоты начисления процентов;

• возможность возникновения денежного потока в начале или конце пе­риода, т.е. его конструкция.

....

Выводы

Временная оценка денежных потоков необходима для объективного со­поставления денежных сумм, возникающих в различное время.

Сложный процент - базовая функция, позволяющая определить будущую стоимость при заданных периоде, процентной ставке и текущем взносе.

Дисконтирование позволяет рассчитать настоящую (приведенную) сто­имость при заданных периоде, процентной ставке и конкретной сумме в будущем.

Текущая стоимость аннуитета дает возможность определить текущую стоимость взноса, обеспечивающего в будущем получение заданных равно­великих поступлений при известных числе периодов и процентной ставке.

Периодический взнос в погашение кредита позволяет рассчитать вели­чину аннуитета при заданных текущей стоимости аннуитета, процентной ставке и периоде.

Будущая стоимость аннуитета позволяет определить будущую стоимость периодических равновеликих взносов при заданных величине аннуитета, процентной ставке и периоде.

Периодический взнос на накопление фонда позволяет рассчитать вели­чину равновеликих взносов при заданных будущей стоимости, процентной ставке и периоде.