7. Поняття відношення. Задання відношень.

Відношенням (n-місним відношенням) в теорії множин називається підмножина декартового степеня Mⁿ деякої множини M. Кажуть також, що елементи a₁,a₂,...,a_n∈M знаходяться у відношенні R, якщо кортеж (a₁,a₂,...,a_n)∈R.

До відношень можна застосовувати теоретико-множинні операції і алгебру множин.

Поняття відношення є певним теоретико-множинним узагальненням відомого з елементарної арифметики набору таких відношень, як "=" (дорівнює) або "<" (менше). Поняття відношення і операцій з ними в практичних застосуваннях грає ключову роль в побудові реляційних моделей систем управління базами даних.

В математичній літературі часто не розрізняють поняття відношення та відповідності між множинами (тобто, в такому випадку, відношення можуть мати місце між різними множинами). В цій енциклопедії поняття відношення на множині та відношення між множинами (відповідності між множинами) розрізняються, якщо інше не вказано окремо.

8. Операції над відношеннями.

1)Обернене відношення:

2) Композиція відношень:

3) Степінь відношення:

4) Переріз та фактор-множина:

9. Властивості бінарних відношень.

Нехай R — деяке відношення на множині M. Відношення R називається

• рефлексивним, якщо для всіх a∈M має місце aRa.

• антирефлексивним (іррефлексивним), якщо для жодного a∈M не виконується aRa.

• симетричним, якщо для всіх a,b∈M таких, що aRb маємо bRa.

• асиметричним, якщо для всіх a,b∈M таких, що aRb не виконується bRa.

• антисиметричним, якщо для всіх a,b∈M таких, що aRb і bRa маємо a = b.

• транзитивним, якщо зі співвідношень aRb і bRc випливає aRc.

• повним, якщо для будь-яких a,b∈M випливає, що aRb або bRa.

Якщо відношення R має будь-яку з перерахованих вище властивостей, то обернене відношення R⁻¹ також має ту саму властивість. Таким чином, операція обернення зберігає всі ці властивості відношень.

Відношення, яке є рефлексивним, симетричним та транзитивним, називається відношенням еквівалентності.

Відношення, яке є рефлексивним, антисиметричним та транзитивним, називається відношенням часткового порядку.

Відношення часткового порядку, яке є повним, називається відношенням лінійного порядку (чи лінійним порядком).

10. Відношення еквівалентності.

Відно́шення еквівале́нтності в математиці — бінарне відношення, яке є рефлексивне, симетричне та транзитивне.

Формально, для деякого бінарного відношення R⊆M:

1. aRa для всіх a∈M (рефлексивність)

2. Якщо aRb, то bRa для a,b∈M (симетричність)

3. Якщо aRb і bRc, то aRc для a,b,c∈M (транзитивність)

Приклади

1. Відношення рівності на будь-якій множині M є відношенням еквівалентності.

2. Відношення рівнопотужності множин є еквівалентністю.

3. Відношення "мають однакову остачу при діленні на k" або конгруентність за модулем k, яке є відношенням еквівалентності на множині N натуральних чисел для будь-якого фіксованого k∈N. Відношення конгруентності за модулем k часто позначають a ≡ b (mod k). Цьому відношенню належать, наприклад, пари натуральних чисел (17,22), (1221,6), (42,57) для k=5, тобто 17 ≡ 22(mod 5), 1221 ≡ 6 (mod 5), 42 ≡ 57 (mod 5).

11. Відношення порядку.

12. Відношення толерантності.

13. Функціональні відношення.

14. Реляційна модель даних.

Реляцíйна модéль дáних — розроблена Едгаром Коддом в 1970 логічна модель даних, що описує:

• структури даних у вигляді наборів відношень, що, можливо, змінюються в часі;

• теоретико-множинні операції над даними: об'єднання, перетин, різниця і декартів добуток;

• спеціальні реляційні операції: селекція, проекція, з'єднання і розподіл;

• а також спеціальні правила, що забезпечують цілісність даних.

Обробка даних в реляційній моделі ґрунтується на принципах реляційної алгебри.