5. Методы нелинейного программирования,

как методы решения задач оптимального

управления

При заданной структуре регулятора оптимальное управление, как линейная комбинация фазовых координат. Критерии оптимальности зависят от коэффициентов регулятора - получилась задача нелинейного программирования : нахождение такого сочетания коэффициентов , при которых значения критерия оптимальности будут минимальны. Это и будет являться решением данной задачи.

Найти при ограничениях:

1. параметрических

2. функциональных ,

или

Отыскать такой вектор , который обеспечит минимум Q при ограничениях 1-го и 2-го рода.

Q и φ являются нелинейными функциями, следовательно – задача нелинейного программирования.

Если в задачах линейного программирования существует 1 метод, который может успешно или неуспешно решить задачу (симплекс-метод), то для решения задачи нелинейного программирования существуют десятки, сотни методов решений. Строго формализованной цепочки движения от к Q нет.

Классификация методов НЛП :

1. Детерминированные.

2. Случайные.

1. Нулевого порядка (используют только значения функции)

2. Первого порядка (используют градиенту)

3. Второго порядка (используют 1-ую и 2-ую производную)

0-ой порядок : Q или ∆Q

1-ый порядок : Q и

2-ой порядок : Q, и (или)

Q метод x

оптимизации

3. Локальные

y

x

x1 x2 x3 x4 x5 x6

точки локального минимума

х3 – глобальный минимум

Перебор (сканирование)

1 ) Х1 Х2 Q

- это количество точек.

В них надо определить критерий оптимальности.

2 )

Метод Гаусса-Зейделя

( покоординатный спуск)

Вычисления по этому методу заканчиваются тогда, когда мы окажемся в точке (если ресурс по шагам не исчерпан), из которой движение в любом направлении параллельно координатным осям приводит к возрастанию функции качества.

Вышерассмотренные методы – методы локального поиска.

Для любого шагового метода:

а – рабочий шаг

S – вектор направления поиска

k – номер шага

орты

Для того, чтобы избежать ситуации зацикливания в области экстремума, необходимо предусмотреть процедуру уменьшения шага поиска по мере приближения к точке экстремума.

Градиентный метод

градиент

при поиске минимума мы должны двигаться в сторону антиградиента.

Q

Вычисляем составляющий градиенты в следствие опосредственного влияния параметров Х на целевую функцию Q , составляющую градиента нужно вычислять численным методом.

1. 

( n+1 вычисляем Q(x) )

2. 

( 2n вычисляем )

специальной процедуры для ускоренного продвижения не требуется

Направление движения выбирается, как перпендикуляр к касательной линии уровня.

Достоинство градиентного метода заключается в том, что мы идём в сторону по антиградиенту, сразу к min, но при этом на каждом шаге необходимо делать дополнительные вычисления для определения антиградиента по формулам 1) и 2).

1/

метод градиента не работает в ситуации площадки !

2 /

при учёте ограничений на независимые переменные метод градиент так же не работает.

Для устранения ситуации возможно :

либо “ отскок ” от этой границы, либо случайный выбор следующей точки поиска.

Можно идти из т.А в сторону min большими шагами (например, через 2 линии уровня).

Метод наискорейшего спуска

Отличается от градиентного тем, что определение направления движения к экстремуму определяется не на каждом шаге (A , B , C , …), а через 3÷5 шагов :

А D G этот метод экономит машинное время, но можно проскочить мимо экстремума.