2. Принцип максимума Понтрягина.
1. Теорема (см. ниже) будет справедлива для линейных уравнений. Система описывается линейными дифференциальными уравнениями.
(1)
-
фазовые координаты,
-
управляющее воздействие.
Ставиться задача отыскать такое управление U(t), чтобы доставить экстремум функционалуIпри определённых краевых условиях.
U(t) - ?
(2)
ограничение на управление :
(3)
U(t)
Ω
краевые
условия : 
(4)
Можно
ввести специальные функции 
-
в (1).
Геометрической интерпретацией является переход от n-мерного пространства к (n+1)-мерному пространству.
Вводится понятие Гамильтониана.
(5)
-
неизвестная функция времени, для её
определения имеется канонически
сопряженная система уравнений вида :
Гамильтонова
система уравнений (6)
Теорема принципа максимума Понтрягина
Для
оптимальности управления U(t)
и соответствующее ему в силу уравнений
(1) траектория y(t),
необходимо существование такой ненулевой
непрерывной функции ψ(t)
с координатами ψ1,…ψn
, соответствующее U(t)
и y(t)
в силу уравнений (6), что при любом
t в пределах
t0 ≤ t ≤ T
функция 
параметра U
принимает при 
максимальное
значение.
Для доказательства теоремы принципа максимума Понтрягина используем вариационное исчисление.
Вычесть значение функционала
неприварьированного и из значния
функционала приварьированного
и приравнять к нулю.
В вариационном исчислении вариации – это непрерывные гладкие функции.
В принципе максимума Понтрягина – скачкообразное изменение управления, которое с самого начала включено в класс отыскиваемых экстремалей. Кусочно-непрерывные функции являются во многих экстремальных задачах оптимальным управлением.
Алгоритм принципа максимума.
Формируется система уравнений объекта
Формируется гамильтониан Н
Определяется U, максимизирующее H из системы уравнений
(7)
Возможно,
что max
Н достигается на границе допустимой
области управления (Ω), тогда для
некоторых j
равенство (7) может не выполняться для
ненулевой, непрерывеой функции 
(как
следовало из теоремы принципа max).
Для некоторых j max Н достигается на границе U.
Неизвестны
: 
-----------------------------
(2n+2+r) – штук
(8)
В последующих примерах решения совместной системы (8) избежим благодаря низкому порядку n и физическому смыслу задачи.
особенность
принципа максимума
– вариационная задача нахождения
функции 
,
экстремизирующей
i, заменяется
более простой задачей нахождения
параметра
U,
максимизирующей
H.
Пример
: 1.
нахождение с помощью принципа максимума
оптимального управления
двигателем постоянного тока с независимым
возбуждением.
1)
(9)
?
Принцип
максимума Понтрягина требует существования
ненулевой функции. Значит U,
максимизирующее H
следует брать на границе : либо +1, либо
–1. Очевидно, что при 
надо
брать U
= +1, а при
надо
брать U
= –1.
Этот закон можно записать в виде выражения (9) :
;
;
Пример : 2 задача о безударной стыковке (оптимальная встреча 2-ух объектов)
(1)
(мишень)
ya
-a
а yb
(объект)
-b
τ
Ставится задача так изменить U(t), чтобы за минимальное время положение и скорости объектов A и B в пространстве совпали.
2.
В
задачах о максимальном
быстродействии
можно опустить в гамильтониане Н первое
слагаемое, равное
.
,
U
максимизирующее Н : 
меняет
знак не более одного раза, следовательно
оптимальное управление меняет знак не
более одного раза или имеет не более
двух интервалов постоянства.
U
+1
b
t1=τ1 τ2=t2 t
-1
Из физического смысла задачи ясно, что в начальный момент управление должно обеспечивать разгон объекта B, а затем его торможение (см. рис.). В момент перехода с тяги не торможение – t1; в момент сближения – τ2=t2, после которого движение должно проходить одинаково и при этом U=b.
Введём
относительное время регулирования
конечн.
усл.
а) [0 ; τ1]
(2)
(3)
(4)
н.у.
(6)
б)
(5)
интегрируя (5) с учётом н.у. (6) получим :
(7)
(8)
По
условию задачи в момент окончания
процесса
.
Если в (7) и (8) подставить
и приравнять к нулю, то получим сложные
функции, содержащие
и
.
(9)
(10)
Эти выражения решаются графически :
из
(9) : 
из
(10) : 
Теорема об n интервалах (Фельдбаум А.А.)
Для
линейной системы
n-го порядка,
у которой все корни характеристического
уравнения действительны, а на управление
наложено ограничение
оптимальное управление, доставляющее
экстремум линейному функционалу,
представляющему собой кусочно-постоянную
функцию, принимающую граничные значения
и имеющую не более
n интервалов постоянства. (1949г. Фельдбаум
А.А.)
Пример 3 : Оптимальное управление консервативным объектом
1.
(1)
-
консервативный объект
корни : p = ±j
2.
(2)
(3)
U
+1
t0
t1
t2
t3
t
-1
Для изучения кусков траекторий соответствующих отрезкам времени, на которых либо +1 U, либо –1 U, рассмотрим вспомогательную систему :
(4)
,
отличающуюся от (1) тем, что U=0.
Если построить фазовые траектории для системы (4), то получим :
x2
x1
R
Движение по физической траектории по часовой стрелке, движение осуществляется равномерно, с линейной скоростью 2πR (один оборот за время 2π, половина за π).
x2
x2
0+1
x1
0-1 x1
Зададимся каким-то видом управления :
U0
β<π
t0
t1
t
π+α
2π+α
α<π
р
ис.1
Заключим отрезки оптимальной траектории соответствующего угла ОА при U=+1 и действующем при отрезке β<π.
В т.А фазовая точка, двигаясь в течение отрезка π, попала под действие управления U=–1, т.е. предыдущим для дуги АО является дуга АВ, являющаяся полуокружностью АВ с центром в (0-1) или т.В располагается симметрично точке А на полуокружности N1N2 c центром симметрии (0-1).
Дуге ВА предшествует дуга СВ, соответствующая отрезку времени π, на котором U=+1, т.е. точка С располагается симметрично точке В с центром симметрии на полуокружности М2М3.
Линии переключения: полуокружности радиуса 1
…N4N3N2N1M1M2M3…
Возьмём другое управление:
U
α<π
α
t0
π+α 2π+α t1
t
β<π
рис. 2
Объединяя рис.1 и рис.2 получим общий портрет:
Задача с ограничением на фазовые координаты
U
a
x2m
t
t0 I tA II tB III t1
t0 - tA – разгон (тяга), скорость нарастает и достигает x2m в момент tA
tA- tB – управление = 0, режим выбега
tB- t1 – торможение с замедлением -а
II-го участка может не быть
