- •Специальные разделы математики для транспортных специальностей Сборник задач
- •Часть 1
- •Матрицы, определители и действия над ними
- •Матрицы и действия над ними. Справочный материал.
- •Задачи для самостоятельного решения.
- •1.2. Определители квадратных матриц. Справочный материал.
- •Задачи для самостоятельного решения.
- •1.3. Обратная матрица. Справочный материал.
- •Задачи для самостоятельного решения:
- •1.4. Ранг матрицы. Справочный материал.
- •Пример решения типового варианта.
- •2.2. Типовой расчет. Вариант 1.
- •Вариант 2.
- •Вариант 3.
- •Вариант 4.
- •Вариант 5.
- •Вариант 6.
- •Вариант 7.
- •Вариант 8.
- •Вариант 9.
- •Вариант 10.
- •Вариант 11.
- •Вариант 12.
- •Вариант 13.
- •Вариант 14.
- •Вариант 15.
- •Вариант 16.
- •Вариант 17.
- •Вариант 18.
- •Вариант 19.
- •Вариант 20.
- •Вариант 21.
- •Вариант 22.
- •Вариант 28.
- •Вариант 29.
- •Векторное произведение векторов.
- •Смешанное произведение векторов.
- •4.2. Аналитическая геометрия в пространстве.
- •4.2.1. Плоскость.
- •4.2.2. Прямая линия в пространстве.
- •4.2.3. Прямая линия и плоскость в пространстве.
- •Задачи для самостоятельного решения.
- •Пример решения типового расчета.
- •4.3. Типовой расчет:
- •5. Линейное программирование
- •5.1 Постановка задач линейного программирования
- •Геометрический метод решения задач линейного программирования
- •Программирования симплекс – методом
- •Метод искусственного базиса
- •5.5. Элементы теории двойственности в линейном программировании
- •Модифицированный симплекс-метод (метод обратной матрицы)
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Привести данные задачи к форме основной задачи лп:
- •Решение типового варианта
- •5.9. Типовой расчет
- •Вариант 1
- •Вариант 2
- •Вариант 3
- •Вариант 4
- •Вариант 5
- •Вариант 6
- •Вариант 7
- •Вариант 8
- •Вариант 9
- •Вариант 10
- •Вариант 11
- •Вариант 12
- •Вариант 13
- •Вариант 14
- •Вариант 15
- •Вариант 16
- •Вариант 17
- •Вариант 18
- •Вариант 19
- •Вариант 20
- •Вариант 21
- •Вариант 22
- •Вариант 23
- •Вариант 24
- •Вариант 25
- •Вариант 26
- •Вариант 27
- •Вариант 28
- •Вариант 29
- •Вариант 30
- •6. Литература
- •Оглавление
- •1. Матрицы, определители и действия над ними
- •1.1. Матрицы и действия над ними
- •Специальные разделы математики для транспортных специальностей
- •Часть 1
- •190031, СПб., Московский пр., 9.
Задачи для самостоятельного решения.
Треугольник задан координатами своих вершин .
Требуется:
Написать уравнение стороны ;
Написать уравнение высоты и вычислить ее длину;
Найти угол между высотой и медианой ;
Прямые заданы уравнениями: .
Найти:
Расстояние между прямимы;
Точку пересечения прямых;
Написать уравнение плоскости P, проходящей через точки и параллельно вектору .
Написать канонические уравнения прямой, проходящей через точку параллельно:
Вектору ;
Прямой ;
Прямой ;
5. Задана плоскость и прямая , причем .
Вычислить:
;
координаты точки пересечения прямой и плоскости;
Пример решения типового расчета.
Задание №1.
Даны вершины треугольника.
Найти:
длину стороны ;
внутренний угол в радианах с точностью до 0.001;
уравнение высоты, проведенной через вершину ;
уравнение медианы, проведенной через вершину ;
точку пересечения высот треугольника;
длину высоты, опущенной из вершины ;
систему линейных неравенств, определяющих внутреннюю область треугольника.
сделать чертеж;
Решение:
Расстояние между точками определяется на плоскости по формуле
(1).
Тогда длина стороны находится , .
Угол между прямыми, угловые коэффициенты которых равны , вычисляются по формуле
(2),
где - угловой коэффициент , - угловой коэффициент .
Найдем уравнение прямых и по формуле
(3).
: .
Чтобы найти угловой коэффициент запишем уравнение в виде: .
Значит .
Уравнение прямой также находим по формуле (3).
: ; ; ;
Применяя формулу (2), имеем
.
Используя таблицу перевода градусной меры в радианную, находим рад.
Запишем уравнение высоты, проведенной через точку , используя уравнение прямой, проведенной по точке и направляющему вектору : .
В качестве направляющего вектора может быть выбран нормальный вектор прямой , т.е. .
Уравнение высоты имеет вид: .
Аналогично найдем уравнение высоты .
Направляющий вектор высоты .
Из курса средней школы, известно, что три высоты пересекаются в одной точке. Чтобы найти точку пересечения высот и , нужно решить систему уравнений.
. Точка пересечения высот .
Известно, что медиана представляет отрезок, соединяющий вершину с серединой противоположной стороны ( ). Найдем координаты середины отрезка по формулам:
;
.
Уравнение медианы находим по формуле (3):
.
Длина высоты - расстояние от точки до прямой : .
Воспользуемся формулой расстояния от точки до прямой
Получим ед.
Запишем с помощью системы неравенств множество точек, лежащих внутри треугольника с вершинами . Уравнения сторон треугольника:
:
:
Множество внутренних точек можно рассматривать как пересечение трех полуплоскостей, из которых первая ограничена прямой и содержит точку , вторая ограничена прямой и содержит точку , третья ограничена прямой и содержит точку .
Подставим в левую часть уравнения : координаты точки .
Получим .
Следовательно, неравенство для первой полуплоскости будет .
Найдем полуплоскость, ограниченную прямой , .
Второе неравенство: .
Аналогично находится третья полуплоскость. : , .
Третье неравенство: .
Таким образом, множество внутренних точек треугольника определяется системой неравенств: .
Задача №2.
Докажите, что векторы компланарны и найдите линейную зависимость между ними.
Решение:
Векторы компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю.
Вычислим смешанное произведение векторов :
Следовательно данные векторы компланарны.
Компланарность означает их линейную зависимость. Найдем эту зависимость. Выразим векторы через векторы и , т.е. .
Запишем последнее равенство в координатах:
или
Из равенства матриц получили систему линейных уравнений:
Решим эту систему методом Гаусса:
или .
Ответ: .
Задача №3.
Даны вершины пирамиды : .
Найти:
длину ребра ;
уравнение и площадь грани ;
уравнение и длину высоты, опущенной из вершины на грань ;
угол между ребром и гранью ;
объем пирамиды;
Решение:
Воспользуемся уравнением прямой в пространстве, проходящей через две точки :
(1)
Подставим координаты точек в (1), получим
:
: .
Длину ребра можно рассматривать как длину вектора .
Длина вектора определяется по формуле: .
Тогда .
Площадь грани находим, используя векторное произведение
;
Уравнение грани представляет собой уравнение плоскости, проходящей через три точки:
(2)
Подставляя в формулу (2) координаты точек , получим
- уравнение грани .
Уравнение высоты в данном случае представляет собой уравнение прямой в пространстве.
Используем каноническое уравнение прямой:
, (3)
- координаты точки ,
- координаты направляющего вектора прямой, которая перпендикулярна грани .
Следовательно, вектор нормали плоскости коллинеарен вектору высоты из вершины .
Уравнение высоты имеет вид:
Длина высоты - расстояние от точки до плоскости , воспользуемся формулой:
ед.
Угол между ребром и гранью найдем как угол между векторами и .
Объем пирамиды равен:
; ;