Федеральное агентство железнодорожного транспорта
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«петербургский государственный университет путей сообщения»
В. Г. ДЕГТЯРЕВ, Н. М. РЕПНИКОВА,
И. А. САВУШКИНА, Н. В. ШАДРИНЦЕВА
Специальные разделы математики для транспортных специальностей Сборник задач
Часть 1
Санкт-Петербург 2008
УДК 519.1(075.6)
ББК В183
С71
Рецензенты:
доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой высшей математики Балтийского государственного технического университета М. С. Попов;
кандидат технических наук, профессор, заведующий кафедрой высшей математики ПГУПС В. В. Гарбарук
С71
Специальные разделы математики для транспортных специальностей : сборник задач. ч. 1 / В. Г. Дегтярев, Н. М. Репникова, И. А. Савушкина, Н. В. Шадринцева. – СПб.: Петербургский гос. ун-т путей сообщения, 2008. – 161 с.
В доступной для студентов форме излагаются основные элементы теории (кратко, без доказательств), приводится решение некоторого количества задач и примеров, а также типовые расчеты (примеры для самостоятельного решения) по следующим разделам дисциплины высшая математика: «Матрицы и определители», «Элементы векторной алгебры», «Элементы аналитической геометрии» и «Линейное программирование».
Пособие соответствует типовой программе Научно-методического совета по математике Министерства науки и образования РФ и может быть использовано студентами технических вузов в учебном процессе.
УДК 519.1(075.6)
ББК В183
© Петербургский государственный
университет путей сообщения,
2008
Матрицы, определители и действия над ними
Матрицы и действия над ними. Справочный материал.
Матрицей размера
называется таблица чисел, содержащая
строк и
столбцов.
,
где
- элемент матрицы, стоящей в
- ой строке и
- ом столбце.
Если
(т.
е. число строк равно числу столбцов),
то матрица называется квадратной
порядка
.
Элементы квадратной
матрицы
называются диагональными, а их совокупность
образует главную диагональ.
Сложение (вычитание) матриц одного и того же размера осуществляется поэлементно:
,
если
(
;
).
При умножении матрицы на число – каждый элемент матрицы умножается на это число:
,
если
(
;
).
Транспонирование матрицы – переход от матрицы
к матрице
,
в которой строки и столбцы поменялись
местами с сохранением номеров.Умножение матрицы на матрицу
определено
только тогда, когда число столбцов
матрицы
равно числу строк матрицы
.
Тогда произведением
матриц
называется такая матрица
,
каждый элемент которой
равен сумме произведений элементов
строки
матрицы
на соответствующие элементы
столбца матрицы
:
(
;
)
Примеры:
Даны матрицы
и
.
Найти
.
Решение:
Найдем матрицу
,
транспонированную к
,
.
Найдем матрицу
,
умножив все элементы матрицы
на
3.
Проведем вычитание матриц и .
Таким образом:
.
Даны матрицы
и
.
Найти
.
Решение:
произведение матриц
не определено, так как число столбцов
матрицы
не
равно числу строк матрицы
.
Даны матрицы и .
Найти
и
Решение:
по формуле (1)
.
Аналогично:
.
Следует обратить
внимание на то, что в общем случае,
произведение матриц не
коммутативно,
то есть:
.